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2020-11-15T11:43:55Z

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Der Begriff des '''generischen Punktes''' gehört zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Mengentheoretische Topologie|mengentheoretischen Topologie]], findet jedoch hauptsächlich in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] Anwendung.

== Definition ==
Ein Punkt <math>\eta</math> eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] <math>X</math> heißt ''generisch'', wenn <math>X</math> der [[Abschluss (Topologie)|Abschluss]] der Teilmenge <math>\{\eta\}</math> ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass <math>\eta</math> in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

== Eigenschaften ==
* Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzibel]].
* Erfüllt ein Raum das [[Trennungsaxiom]] T<sub>0</sub>, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
* In [[Hausdorffraum|Hausdorffräumen]], die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
* Ist <math>x</math> ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes <math>X</math>, so ist der Abschluss von <math>\{x\}</math> in <math>X</math> eine irreduzible Teilmenge <math>Y</math> von <math>X</math>, und <math>x</math> ist ein generischer Punkt von <math>Y</math>.

== Beispiel aus der algebraischen Geometrie ==
Ist <math>A</math> ein [[Integritätsring]], so ist das [[Nullideal]] <math>\{0\}</math> der (einzige) generische Punkt des [[Spektrum eines Ringes|Spektrums]] <math>\operatorname{Spec}A</math>; der [[Restklassenkörper]] des generischen Punktes ist der [[Quotientenkörper]] von <math>A</math>.

== Bedeutung für die algebraische Geometrie ==
Ist <math>X</math> ein irreduzibles [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]] und <math>\eta</math> sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von <math>X</math> äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für <math>\eta</math>. Ist beispielsweise <math>M</math> eine [[kohärente Garbe]] auf <math>X</math>, so ist <math>M_\eta=0</math> äquivalent zu <math>M_x=0</math> für alle <math>x</math> in einer geeigneten offenen Teilmenge von <math>X</math>.

== Verwandte Begriffe ==
Besitzt in einem topologischen Raum jede [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzible Teilmenge]] einen generischen Punkt, so heißt der Raum ''[[Nüchterner Raum|nüchtern]]''.

== Literatur ==
* [[Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Einführung in die algebraische Geometrie'' (= ''Vieweg-Studium.'' Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Generischer Punkt - Versionsgeschichte

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