https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Generatormatrix 2026-05-24T12:48:45Z Versionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie MediaWiki 1.43.8 https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Generatormatrix&diff=1931935&oldid=prev 2025-04-11T15:18:44Z

<p><span class="autocomment">growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0</span></p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>In der [[Kodierungstheorie]] ist eine &#039;&#039;&#039;Generatormatrix&#039;&#039;&#039;, auch &#039;&#039;Erzeugermatrix&#039;&#039;, eine [[Matrix (Mathematik)|matrixförmige]] [[Basis (Vektorraum)|Basis]] für einen [[Linearer Code|linearen Code]], der alle möglichen Codewörter erzeugt. Ist &#039;&#039;G&#039;&#039; eine Generatormatrix für einen linearen &#039;&#039;[n, k]&#039;&#039;-Code &#039;&#039;C&#039;&#039; dann ist jedes [[Codewort]] &#039;&#039;c&#039;&#039; von &#039;&#039;C&#039;&#039; von der Form<br /> <br /> : &lt;math&gt;c=wG&lt;/math&gt;<br /> <br /> für einen eindeutigen Zeilenvektor &#039;&#039;w&#039;&#039; mit &#039;&#039;k&#039;&#039; Einträgen. Mit anderen Worten: Die Abbildung &lt;math&gt;K^{1 \times k} \rightarrow C, w \mapsto w G&lt;/math&gt; ist eine [[Bijektive Funktion|Bijektion]]. Eine Generatormatrix für einen &lt;math&gt;[n, k]&lt;/math&gt;-Code &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; hat das Format &lt;math&gt;k \times n&lt;/math&gt;. Dabei ist &#039;&#039;n&#039;&#039; die Länge der Codewörter und &#039;&#039;k&#039;&#039; die Anzahl der Informationsbits (die Dimension von &#039;&#039;C&#039;&#039;). Die Anzahl der [[Redundanz (Informationstheorie)|redundanten]] Bits ist &#039;&#039;r = n - k&#039;&#039;.<br /> <br /> Die [[Systematischer Code|systematische]] Form für eine Generatormatrix ist<br /> : &lt;math&gt;G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix}&lt;/math&gt;<br /> wobei &lt;math&gt;I_k&lt;/math&gt; eine &#039;&#039;k&#039;&#039;×&#039;&#039;k&#039;&#039; [[Einheitsmatrix]] und P von der Dimension &#039;&#039;k&#039;&#039;×&#039;&#039;r&#039;&#039; ist.<br /> <br /> Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Kontrollmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).<br /> <br /> == Äquivalente Codes ==<br /> Codes C&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; und C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; sind äquivalent (geschrieben C&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ~ C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;), wenn der eine Code aus dem anderen durch die folgenden beiden Transformationen erzeugt werden kann<br /> # Komponenten vertauschen<br /> # Komponenten skalieren.<br /> Äquivalente Codes besitzen den gleichen [[Hamming-Abstand]].<br /> <br /> Die Generatormatrizen von äquivalenten Codes kann man über die folgenden Transformationen erzeugen:<br /> <br /> # Zeilen vertauschen<br /> # Zeilen skalieren<br /> # Zeilen addieren<br /> # Spalten vertauschen<br /> # Spalten skalieren.<br /> <br /> == Siehe auch ==<br /> * [[Hamming-Code]]<br /> <br /> == Weblinks ==<br /> * [https://mathworld.wolfram.com/GeneratorMatrix.html MathWorld entry] (englisch)<br /> <br /> [[Kategorie:Kodierungstheorie]]</div>

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