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2025-02-08T12:47:19Z

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Der '''Erzeuger''', '''Generator''', '''infinitesimale Erzeuger''' oder '''infinitesimale Generator''' der [[Übergangshalbgruppe]] eines zeithomogenen [[Markow-Kette|Markow-Prozesses]] in stetiger Zeit ist ein [[Operator (Mathematik)|Operator]], welcher das stochastische Verhalten des Prozesses in infinitesimaler Zeit erfasst. Aufgrund der [[Schwache Markow-Eigenschaft|Markow-Eigenschaft]] und der zeitlichen Homogenität wird der Prozess unter bestimmten Voraussetzungen durch seinen [[infinitesimaler Erzeuger|infinitesimalen Erzeuger]] bestimmt bzw. generiert.

== Allgemeiner Fall (nach Breiman) ==
Gegeben sei ein zeithomogener Markow-Prozess <math>(M_{t})_{t\geq0}</math> auf einem Zustandsraum <math>(E, \mathfrak E)</math> mit [[Übergangshalbgruppe]] <math>(P^{t})_{t\geq0}</math>, das heißt für alle <math>t\in\R_{\geq0}</math> ist <math>P^{t}</math> der entsprechende [[Übergangswahrscheinlichkeit|Übergangskern]].
Ferner sei <math>X</math> der Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen <math>f \colon E\rightarrow \R</math>,
dann kann jeder Übergangskern als Abbildung <math>P^{t} \colon X\to X</math> aufgefasst werden.

Der [[Infinitesimaler Erzeuger|infinitesimale Erzeuger]] <math>A</math> des Prozesses ist der Operator mit Definitionsbereich

:<math>\mathcal{D}(A):=\left\{f \in X \;\left|\; \forall x\in E \text{ existiert } \lim_{t\downarrow 0} \frac{P^tf(x) - f(x)}{t} \right.\right\}</math>,

der für alle <math>f\in\mathcal{D}(A)</math> gegeben ist durch
:<math>Af=\lim_{t\downarrow0}\frac{P^tf - f}{t}</math>.

Ausführlich bedeutet das, dass für alle <math>x\in E</math> gilt
:<math>A f(x)=\lim_{t\downarrow0}\frac{P^tf(x) - f(x)}{t}=\lim_{t\downarrow0}\frac{\operatorname{E}_x[f(M_t)]-f(x)}{t}</math>
mit
:<math>P^tf(x)=\int f(y)P^t(x,dy)=\int f(y)\operatorname{P}_x^{M_t}(dy)=\operatorname{E}_x[f(M_t)]</math>.
Dabei bezeichnet <math>\operatorname{P}_x^{M_t}</math> die [[Verteilung einer Zufallsvariablen|Verteilung]] von <math>M_t</math> und <math>\operatorname{E}_x</math> den [[Erwartungswert]] bedingt auf den Startwert <math>M_0 = x \in E</math>.

== Spezialfall abzählbarer Zustandsraum ==
Sei <math>(M_t)_{t \ge 0}</math> ein zeitlich homogener [[Markow-Prozess]] mit kontinuierlicher Zeit, diskretem Zustandsraum <math>E</math> und [[Übergangshalbgruppe]] <math>(P^t)_{t\geq0}</math> mit [[Übergangswahrscheinlichkeit|Übergangsmatrix]] <math>P^t := (p_{ij} (t))_{(i,j)\in E^2}</math> für alle <math>t \geq 0</math>.

=== Halbgruppe, Intensitätsmatrix, Q-Matrix ===
Die Übergangsfunktion bzw. Übergangsmatrizen <math>(P^t)_{t\geq0}</math> bilden wegen der [[Chapman-Kolmogorow-Gleichung]]en eine [[Halbgruppe]]. Sie können wie oben aufgefasst werden als Abbildungen <math>P^{t} \colon X\to X</math> wobei <math>X</math> den Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen <math>f:E\rightarrow \R</math> bezeichnet.

<math>(P^t)_{t\geq0}</math> ''besitzt die Standard-Eigenschaft'' bzw. wird ''Standard-Übergangsfunktion'' genannt, wenn
:<math>\lim_{t \downarrow 0} p_{ij}(t) = p_{ij}(0) \;\;\;\forall (i,j)\in E^2</math>
bzw. kurz
:<math>\lim_{t \downarrow 0} P^t = I</math>
mit der [[Einheitsmatrix]] <math>I</math>.

Besitzt <math>(P^t)_{t\geq0}</math> die Standard-Eigenschaft, so gilt für alle <math>(i,j)\in E^2</math>:
<br>Die Abbildungen <math>t\mapsto p_{ij} (t)</math> sind gleichmäßig stetig, für alle <math>t>0</math>
differenzierbar und besitzen im Punkt 0 die rechtsseitige Ableitung
:<math>q_{ij} := \lim_{t \downarrow 0}\frac{p_{ij}(t)-p_{ij}(0)}t\;\;\;\forall (i,j)\in E^2.</math>
Kurz geschrieben, definiert man dies durch
:<math>Q := \lim_{t \downarrow 0}\frac{P^t-I}{t}.</math>
<math>Q = (q_{ij})_{ij}</math> heißt ''Intensitätsmatrix'' oder einfach ''Q-Matrix''.

Für alle <math>i\in E</math> gilt <math>q_{ii}\in[-\infty,0]</math>, und für alle <math>i,j\in E</math> mit <math>i \ne j</math> gilt <math>q_{ij}\in[0,\infty[</math>.

Ein Zustand <math>i\in E</math> heißt ''stabil'', wenn <math>q_{ii}>-\infty</math>, sonst ''augenblicklich''.

Die Übergangsfunktion <math>(P^t)_{t\geq0}</math> heißt ''stabil'', wenn alle Zustände stabil sind; in diesem Fall sind alle Einträge der zugehörigen Intensitätsmatrix endlich.

Ein Zustand <math>i\in E</math> heißt ''absorbierend'', wenn <math>q_{ii}=0</math> gilt, was genau dann der Fall ist,
wenn <math>p_{ii}(t)=1</math> für alle <math>t\geq 0</math> gilt.

Die Matrix <math>Q</math> und der zugehörige Markov-Prozess werden als konservativ bezeichnet, wenn alle Zeilensummen von <math>Q</math> null sind; dies ist genau dann der Fall, wenn
<math>\sum_{i\neq j}q_{ij}=-q_{ii}<\infty</math> für alle <math>i\in E</math> gilt.

Ist <math>Q</math> konservativ, der Prozess stabil und divergiert die Folge der Sprungzeiten vor Erreichen eines absorbierenden Zustands fast sicher, so wird der Prozess als ''regulär'' bezeichnet.

Die Einträge <math>q_{ij}</math> lassen sich wie folgt interpretieren:
* Betrachtet man den zu <math>P_t</math> gehörigen Prozess, kann man mit Hilfe von <math>q_{ii}</math> die Verweilzeit in einem Zustand <math>i \in E</math> angeben. Diese ist [[Exponentialverteilung|exponentialverteilt]] mit Erwartungswert <math>-\tfrac{1}{q_{ii}}</math>, das heißt für <math>t,h > 0, q_{ii} > -\infty</math> gilt <math>P(X_s = i, \forall s\colon t < s < t + h \mid X_t = i) = e^{h q_{ii}}</math>. Ein [[absorbierender Zustand]] hat dann entsprechend eine unendliche Verweilzeit.
* Es gilt <math>\quad p_{ij}(h) = q_{ij}h + o(h)</math>, der Prozess ist also [[Poisson-Prozess|„lokal poisson“]] und <math>q_{ij}</math> gibt für kleine <math>h>0</math> die Rate an, mit der Prozess aus <math>i</math> in den Zustand <math>j</math> springt (<math>i, j \in E, i \ne j</math>).
Über diese Interpretation ist es in der Praxis oft leichter, eine geeignete Q-Matrix aus den Modellannahmen herzuleiten, als <math>P_t</math> direkt anzugeben, zum Beispiel bei [[Kendall-Notation|M/M/1/∞-Systemen]].

=== Gleichmäßig stetige Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger ===
Ist die Übergangsfunktion <math>(P^{t})_{t\geq 0}</math> stabil, so ist sie eine [[gleichmäßig stetige Halbgruppe]] deren [[infinitesimaler Erzeuger]] <math>Q</math> ist.
<br>Dann kann aus dem Verhalten in infinitesimaler Zeit <math>Q</math> das langfristige Verhalten zurückgewonnen werden:
:<math>P(t) = e^{tQ} \quad\text{für alle}\quad t \geq 0</math>,
wobei <math>e</math> das [[Matrixexponential]] bezeichnet. Dies ist zum Beispiel der Fall für endliche Zustandsräume. Die [[stationäre Verteilung]] <math>\pi</math> von <math>(P^{t})_{t\geq0}</math> lässt sich dann als Lösung des folgenden Gleichungssystems
:<math>\pi \cdot Q = \vec{0}</math>
bestimmen, wobei <math>\pi</math> als Zeilenvektor aufgefasst wird.

== Generatoren von Feller-Prozessen ==
[[Feller-Prozess]]e sind Markow-Prozesse, bei denen die [[Übergangswahrscheinlichkeit]]en <math>P^t(x, A)</math> qua <math>(P^t f)(x) := \int P^t(x, dy) f(y) = \operatorname{E}_x f(M_t)</math> einer [[Stark stetige Halbgruppe|stark stetigen Halbgruppe]] auf dem Raum <math>C_0(E)</math> der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen entsprechen. In diesem Fall kann der Generator der entsprechenden Halbgruppe
:<math>A f=\underset{t\downarrow 0}{\operatorname{s-lim}} \frac {P^t f - f}{t}</math>
(definiert für alle <math>f \in C_0(E)</math> für die der Grenzwert bezüglich der [[Supremumsnorm]] existiert)
betrachtet und der [[Satz von Hille-Yosida]] angewendet werden.

== Dynkins charakteristischer Operator ==
Der charakteristische Operator ist eine probabilistische Entsprechung des analytischen Generators <math>A</math>, mit dem oft leichter zu arbeiten ist.<ref>Breiman, S. 377.</ref> Während in obiger Definition der Erwartungswert von <math>f(X_t)</math> zu einem festen Zeitpunkt <math>t</math> gebildet wird (und anschließend <math> t</math> gegen 0 geht), wird hier der Erwartungswert von <math>f(X_\tau)</math> an den unterschiedlichen (zufälligen) Zeitpunkten <math>\tau = \tau(B)</math> gebildet, zu denen der Prozess einen festgelegten räumlichen Bereich <math>B</math>, zum Beispiel eine Kugel <math>B_{\nu,x}</math> um <math>x = X_0</math> mit Radius <math>\nu</math>, verlässt. Für nicht absorbierendes <math>x</math> setzt man
:<math>(U f) (x) := \lim_{\nu\to0} \frac{\operatorname{E}_x [f(X_{\tau(B_{\nu,x})})] - f(x)}{\operatorname{E}_x[\tau(B_{\nu,x})]},</math>
für absorbierendes <math>x</math> setzt man <math>(U f) (x) = 0</math>. Für große Klasse von Feller-Prozessen gilt <math>Af = Uf</math> für stetige, im Unendlichen verschwindende Funktionen <math>f</math> aufgrund von Dynkins Maximum-Prinzip.

Die Definition und der genannte Zusammenhang gehen auf eine Arbeit von [[Eugene Dynkin|E. B. Dynkin]] aus dem Jahr 1955 zurück.<ref>E. B. Dynkin: ''Infinitesimal operators of Markov stochastic processes'', Doklady Akademii Nauk Nr. 105, 1955, S. 206–209.</ref>

== Literatur ==
* Leo Breiman: ''Probability.'' Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts 1968, ISBN 0-89871-296-3.
* Bernt Øksendal: ''Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications.'' Springer Berlin 2003, ISBN 3-540-04758-1.
* Daniel Revuz, Marc Yor: ''Continuous Martingales and Brownian Motion.'' Springer 2001, ISBN 3-540-64325-7.
* [https://www.uni-muenster.de/Stochastik/alsmeyer/Diplomarbeiten/Schmitz_Manuela.pdf Manuela Schmitz, Quasi-Stationarität in einem epidemiologischen Modell, 2006], Kapitel 1.1 (PDF-Datei; 418 kB).

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Generator}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Markow-Prozesse]]

Generator (Markow-Prozesse) - Versionsgeschichte

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