2A02:908:1782:5920:E0A7:C898:7B8D:1DEF: Die 4 Punkte manuell getippten Punkte bei der ersten Formel der Seite wurde durch den Latex Befehl \ldots ersetzt. Damit sind es nun wie üblich 3 Punkte.

2024-03-13T13:03:35Z

Die 4 Punkte manuell getippten Punkte bei der ersten Formel der Seite wurde durch den Latex Befehl \ldots ersetzt. Damit sind es nun wie üblich 3 Punkte.

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Der '''generalisierte Impuls''', auch '''verallgemeinerter''', '''kanonischer''', '''kanonisch konjugierter''', oder '''konjugierter Impuls''', tritt sowohl in der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] als auch in der [[Lagrange-Formalismus|Lagrange-Mechanik]] auf. Zusammen mit dem [[Generalisierte Koordinate|konjugierten Ort]] kennzeichnet er den jeweiligen [[Zustand (Physik)|Zustand]] des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den [[Kanonische Gleichungen|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]] ändert.

Als Funktion des Ortes <math>q</math> und der Geschwindigkeit <math>\dot q</math> ist der generalisierte Impuls die [[partielle Ableitung]] der [[Lagrange-Funktion]] <math>L</math> nach der Geschwindigkeit:

:<math>p_{j} = {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}} \, , \ j = 1 \ldots n</math>

Beim Übergang von der [[klassische Physik|klassischen Physik]] zur [[Quantenmechanik]] wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum [[Impuls|kinetischen Impuls]]) durch den [[Impulsoperator]] <math>\hat p</math> ersetzt:

:<math>p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j}</math>

== Beispiele ==
=== Klassische Bewegung ===

* Bei Bewegung eines [[Teilchen]]s der Masse <math>m</math> in einem [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in [[kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]]

:::<math> L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)</math>

:ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

::<math>\mathbf p = m \dot{\mathbf x}</math>

* Bei Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m</math> in einem Potential <math>V(r,\varphi,z,t)</math> in [[Zylinderkoordinaten]]

:::<math> L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t)</math>

:ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des [[Drehimpuls]]es in Richtung der Zylinderachse:

::<math>p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi}</math>

* Bei Bewegung einer [[Punktladung]] <math>q</math> mit Masse <math>m</math> im [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feld]] (<math>\phi</math> ist das [[elektrisches Potential|elektrische Potential]])

:::<math>L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math>

:hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] <math>\mathbf A</math> des Feldes:

::<math>\mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x)</math>

=== Relativistische Bewegung ===
* Bei der [[relativistisch]]en Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m_0</math> in einem Potential <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

:::<math>L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t)</math>

:ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}</math>

* Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung <math>q</math> mit der Masse <math>m_0</math> im elektromagnetischen Feld

:::<math> L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math>

:hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} + q \, \mathbf{A}(\mathbf{x},t)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Wolfgang Nolting
| Titel=Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik
| Auflage=7
| Verlag=Springer
| Ort=Heidelberg
| Jahr=2006
| ISBN=3-540-30660-9
}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Generalisierter Impuls - Versionsgeschichte

2A02:908:1782:5920:E0A7:C898:7B8D:1DEF: Die 4 Punkte manuell getippten Punkte bei der ersten Formel der Seite wurde durch den Latex Befehl \ldots ersetzt. Damit sind es nun wie üblich 3 Punkte.