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Die '''generalisierten''' (oder '''verallgemeinerten''') '''Koordinaten''' bilden in der [[Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]] und der [[Technische Mechanik|technischen Mechanik]] einen minimalen Satz von unabhängigen [[Koordinaten]] zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustands des betrachteten [[Physikalisches System|Systems]]. Sie werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, die [[Zwangsbedingung]]en unterliegen, möglichst einfach wird.<ref name="Kuypers" /> Als Variablen tragen generalisierte Koordinaten oft das Formelzeichen <math>q</math>.

Z. B. genügt beim [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendel]] statt der <math>x</math>- und <math>z</math>-Koordinate des Massenpunkts die Angabe des Auslenkwinkels, um die Lage eindeutig zu beschreiben. Die konstante Seillänge ist durch die Bindungsgleichung <math>l = \text{const}</math> gegeben.

Die Anzahl der generalisierten Koordinaten, die zur Beschreibung eines Systems mindestens erforderlich sind, stimmt mit der Anzahl seiner [[Freiheitsgrad]]e überein. Die generalisierten Koordinaten spannen den [[Konfigurationsraum]] auf. Wichtige Beispiele sind die [[Wirkungs-Winkelkoordinaten]], die [[Jacobi-Koordinaten]] und die (allesamt [[Lagrange-Formalismus#Zyklische_Variablen_und_Symmetrie|zyklischen]]) Koordinaten des [[Hamilton-Jacobi-Formalismus]].<ref>{{Literatur|Autor=Herbert Goldstein|Titel=Classical Mechanics|Verlag=Addison-Wesley|Jahr=1980|Auflage=2.|ISBN=0-201-02918-9|Sprache=en}}</ref>

== Beispiel ==
[[Datei:Pendel.PNG|mini|Fadenpendel:<br />''<math>\varphi</math>'' ist die Auslenkung aus der [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Gleichgewichtslage]] und generalisierte Koordinate]]
Die Masse des ''ebenen'' [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]] in der x-y-Ebene kann sich bei konstanter Seillänge <math>l</math> (skleronom-holonome Zwangsbedingung) nur auf einer [[Kreis]]bahn bewegen, der Winkel <math>\varphi</math> ist der einzige Freiheitsgrad der Bewegung. Die Position der Pendelmasse lässt sich somit eindeutig durch die einzige generalisierte Koordinate <math>q_1 = \varphi</math> beschreiben:

: <math> \vec r_\text{2D} = l \, \begin{pmatrix} \sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math><ref>{{Literatur |Autor=L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel=Mechanik |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=1970 |ISBN=978-3-528-03005-6 |DOI=10.1007/978-3-322-85937-2 |Seiten=14 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-322-85937-2 |Abruf=2024-07-10}}</ref>

Fasst man das Problem als dreidimensional auf, so hat man zusätzlich die Zwangsbedingung <math>z=0</math> des ''ebenen'' Pendels zu berücksichtigen:

:<math> \vec r_\text{3D} = l \, \begin{pmatrix} \sin \varphi \\ \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix}</math>

Alle weiteren Größen der Bewegung wie [[Geschwindigkeit]] oder [[Beschleunigung]] lassen sich ebenfalls in Abhängigkeit von der verallgemeinerten Koordinate <math>\varphi</math> ausdrücken.

Die [[Bewegungsgleichungen]] lassen sich stets nach den zweiten [[Zeitableitung|zeitlichen Ableitungen]] der verallgemeinerten Koordinaten auflösen, im Beispiel erhält man eine [[Differentialgleichung]] zweiter Ordnung für den Winkel <math>\varphi</math>.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Kuypers">
Friedhelm Kuypers: ''Klassische Mechanik''. 5. Auflage. VCH, 1997, ISBN 3-527-29269-1
</ref>
</references>

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Generalisierte Koordinate - Versionsgeschichte

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