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2026-03-10T08:36:20Z

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Ein '''gemischtes Modell''' ({{enS}} ''mixed model'') ist ein [[statistisches Modell]], das sowohl [[Lineare Paneldatenmodelle#Schätzer im Modell mit festen Effekten|feste Effekte]] als auch [[Lineare Paneldatenmodelle#Schätzer im Modell mit zufälligen Effekten|zufällige Effekte]] enthält, also '''gemischte Effekte'''. Diese Modelle werden in verschiedenen Bereichen der Physik, Biologie und den Sozialwissenschaften angewandt. Sie sind besonders nützlich, sofern eine wiederholte Messung an der gleichen statistischen Einheit oder [[Messung]]en an [[Cluster (Datenanalyse)|Clustern]] von verwandten statistischen Einheiten durchgeführt werden.

== Geschichte und momentaner Stand der Forschung ==
[[Ronald Aylmer Fisher|Ronald Fisher]] führte das Modell mit zufälligen Effekten ein, um [[Korrelationen]] von charakteristischen Merkmalen zwischen Verwandten zu untersuchen.<ref>{{Literatur |Autor=R. A. Fisher |Titel=The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance |Sammelwerk=Transactions of the Royal Society of Edinburgh |Band=52 |Datum=1918 |Seiten=399–433}}</ref> In den fünfziger Jahren entwarf [[Charles Roy Henderson]] [[Beste Lineare Erwartungstreue Schätzfunktion|beste lineare erwartungstreue Schätzer]] für feste Effekte und [[Lineare Vorhersage|beste lineare erwartungstreue Vorhersagen]] (BLEV) für zufällige Effekte.<ref name="GKR1991">{{Literatur |Autor=G. K. Robinson |Titel=That BLUP is a Good Thing: The Estimation of Random Effects |Sammelwerk=Statistical Science |Band=6 |Nummer=1 |Datum=1991 |Seiten=15–32 |DOI=10.1214/ss/1177011926 |JSTOR=2245695}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=C. R. Henderson, Oscar Kempthorne, S. R. Searle and C. M. von Krosigk |Titel=The Estimation of Environmental and Genetic Trends from Records Subject to Culling |Sammelwerk=Biometrics |Band=15 |Nummer=2 |Verlag=International Biometric Society |Datum=1959 |Seiten=192–218 |DOI=10.2307/2527669 |JSTOR=2527669}}</ref><ref name="LDVV1989">{{Internetquelle |autor=L. Dale Van Vleck |url=https://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/henderson-charles.pdf |titel=Charles Roy Henderson, April 1, 1911 – March 14, 1989 |hrsg= [[United States National Academy of Sciences]] |format=PDF |abruf=2012-05-28}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Robert A. McLean, William L. Sanders, Walter W. Stroup |Titel=A Unified Approach to Mixed Linear Models |Sammelwerk=[[The American Statistician]] |Band=45 |Nummer=1 |Verlag=American Statistical Association |Datum=1991 |Seiten=54–64 |DOI=10.2307/2685241 |JSTOR=2685241}}</ref> Anschließend wurde gemischte Modellierung eines der Hauptforschungsfelder der statistischen Forschung, einschließlich Arbeiten zur Berechnung von [[Maximum-Likelihood-Methode#Maximum-Likelihood-Schätzung|Maximum-Likelihood-Schätzern]], nichtlinearen gemischte-Effekte-Modellen, fehlenden Daten in gemischten Modellen und [[Bayessche Statistik|bayessche Schätzungen]] von gemischten Modellen. Gemischte Modelle werden in vielen Disziplinen angewandt, insbesondere sofern verschiedene korrelierte Messungen an jeder zu untersuchenden Einheit gemacht werden. Sie werden besonders häufig bei Forschung über Menschen oder Tieren benutzt, wobei die Spanne der Einsatzmöglichkeiten von [[Genetik]] bis zu Marketing reicht.

== Definition ==
In [[Multiple lineare Regression#Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression|Matrixschreibweise]] kann ein gemischtes Modell dargestellt werden als:

:<math>\mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \mathbf{Z}\mathbf{u} + \boldsymbol{\varepsilon}</math>,

wobei gilt:

* <math>\mathbf{y}</math> ist ein Vektor aus Beobachtungen der abhängigen Variablen, mit [[Erwartungswert]] <math>\operatorname{E}(\mathbf{y}) = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta}</math>

* <math>\boldsymbol{\beta}</math> ist ein Vektor aus festen Effekten

* <math>\boldsymbol{u}</math> ist ein Vektor aus zufälligen Effekten mit Erwartungswert <math>\operatorname{E}(\mathbf{u}) = \mathbf{0}</math> und Varianz-[[Kovarianzmatrix]] <math>\operatorname{Cov}(\mathbf{u}) = \mathbf{G}</math>

* <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> ist ein Vektor aus zufälligen [[Fehlerterm]]en mit Erwartungswert <math>\operatorname{E}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \mathbf{0}</math> und Varianz-Kovarianzmatrix <math>\operatorname{Cov}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \mathbf{R}</math>

* <math> \mathbf{X}</math> ist die [[Datenmatrix]], für die festen Effekte
* <math>\mathbf{Z}</math> ist die Datenmatrix für die zufälligen Effekte. Sie enthält beispielsweise Informationen über die Gruppe zu der ein [[Individuum]] gehört.

== Schätzung ==
Die ''Henderson’schen Mischmodellgleichungen'' ({{enS}} ''mixed model equations'', kurz: ''MME'') lauten:<ref name="GKR1991" /><ref name="LDVV1989" />

:<math>\begin{pmatrix} \mathbf{X}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{X} & \mathbf{X}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{Z} \\ \mathbf{Z}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{X} & \mathbf{Z}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{Z} + \mathbf{G}^{-1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{\beta}} \\ \tilde{\boldsymbol{u}}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{X}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{y} \\ \mathbf{Z}'\mathbf{R}^{-1}\mathbf{y}
\end{pmatrix}</math>

Die Lösungen der Mischmodellgleichungen <math>\tilde{\boldsymbol{\beta}}</math> und <math>\tilde{\boldsymbol{u}}</math> sind beste lineare erwartungstreue Schätzer (''BLES'' bzw. {{enS}} ''Best Linear Unbiased Estimator'', kurz: ''BLUE'') für <math>\boldsymbol{\beta}</math> bzw. <math>\boldsymbol{u}</math>. Dies folgt aus dem [[Satz von Gauß-Markow]], da die konditionelle Varianz des Ergebnisses nicht auf die [[Einheitsmatrix]] skalierbar ist. Falls die konditionelle Varianz bekannt ist, ist der mit der inversen Varianz gewichtete Kleinste-Quadrate-Schätzer BLES. Jedoch ist die konditionelle Varianz selten bekannt, sodass es bei der Lösung der Mischmodellgleichungen erwünscht ist, die Varianz und die gewichteten Parameterschätzungen gemeinsam zu schätzen.

Eine Methode zur Anpassung gemischter Modelle ist der [[EM-Algorithmus]]<ref>{{Literatur |Autor=M. L. Lindstrom, D. M. Bates |Titel=Newton-Raphson and EM algorithms for linear mixed-effects models for repeated-measures data |Sammelwerk=JASA |Band=83 |Nummer=404 |Datum=1988 |Seiten=1014–1021 |DOI=10.2307/2290128}}</ref>, in dem die Komponenten der Varianz als unbeobachtete [[Störparameter]] in der gesamten Wahrscheinlichkeit behandelt werden. Zurzeit ist diese Methode in den wichtigsten Statistiksoftwarepaketen [[R (Programmiersprache)|R]] (lme() im <span style="font-family:monospace;">nlme</span> Paket und lmer() im <span style="font-family:monospace;">lme4</span> Paket) und [[Statistical Analysis System|SAS]] (proc mixed) implementiert. Die Lösung der Mischmodellgleichungen ist eine [[Maximum-Likelihood-Schätzung]], falls die Fehler [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind.<ref>{{Literatur |Autor=Nan M. Laird, James H. Ware |Titel=Random-Effects Models for Longitudinal Data |Sammelwerk=Biometrics |Band=38 |Nummer=4 |Verlag=International Biometric Society |Datum=1982 |Seiten=963–974 |DOI=10.2307/2529876 |PMID=7168798}}</ref>

== Weiterführende Literatur ==
* G. A. Milliken, D. E. Johnson: ''Analysis of messy data: Vol. I. Designed experiments.'' Chapman & Hall, New York 1992.
* B. T. West, K. B. Welch, A. T. Galecki: ''Linear mixed models: A practical guide to using statistical software.'' Chapman & Hall/CRC. New York 2007.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Mixed Model}}
[[Kategorie:Regressionsmodell]]

Gemischtes Modell - Versionsgeschichte

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