2A00:1E:B000:3601:84BF:6B4D:E066:1685: /* Eigenschaften */

2024-11-05T20:27:47Z

Eigenschaften

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Die '''gemischte Poisson-Verteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]], die [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariat]] ist und zu den [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der [[Versicherungsmathematik]] zu finden und wird auch als [[Epidemiologie|epidemiologisches Modell]] untersucht. Sie verallgemeinert die [[Poisson-Verteilung]] und sollte nicht mit der [[Zusammengesetzte Poisson-Verteilung|zusammengesetzten Poisson-Verteilung]] verwechselt werden.

== Definition ==
Eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> genügt der '''Gemischten Poisson-Verteilung''' mit der Dichte <math>\pi(\lambda)</math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeit]]en
:<math>\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda</math>
besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit <math> q_\lambda(k)\,</math> bezeichnen, gilt folglich
:<math>\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} q_\lambda(k) \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda</math>.

== Eigenschaften ==
*Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ist immer größer als der [[Erwartungswert]]. Diese Eigenschaft nennt man [[Überdispersion]] ({{enS}} ''overdispersion''). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
*In der Praxis werden als Dichten <math>\pi(\lambda)</math> nur Dichten von [[Gamma-Verteilung]]en, [[logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilungen]] und von [[Inverse Gauß-Verteilung|inversen Gauß-Verteilungen]] benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die [[Negative Binomialverteilung]], was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.

Im Folgenden sei <math>\mu_\pi=\int\limits_{0}^{\infty} \lambda \,\,\pi(\lambda)d\lambda\,</math> der Erwartungswert der Dichte <math>\pi(\lambda)\,</math>, und <math>\sigma_\pi^2 = \int\limits_{0}^{\infty} (\lambda-\mu_\pi)^2 \,\,\pi(\lambda)d\lambda\,</math> die Varianz dieser Dichte.

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{E}(X) = \mu_\pi</math>.
=== Varianz ===
Für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man
:<math>\operatorname{Var}(X) = \mu_\pi+\sigma_\pi^2</math>.
=== Standardabweichung ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]
:<math>\sigma = \sqrt{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}</math>.
=== Variationskoeffizient ===
Für den [[Variationskoeffizient]]en ergibt sich:
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}{\mu_\pi^2}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] lässt sich darstellen als
:<math>\operatorname{v}(X) = \Bigl(\mu_\pi+\sigma_\pi^2\Bigr)^{-\frac{3}{2}} \,\Biggl[\int\limits_0^\infty(\lambda-\mu_\pi)^3\,\pi(\lambda)\,d{\lambda}+\mu_\pi\Biggr]</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\varphi_{X}(s) = M_\pi(e^{is}-1)\,</math>.
Dabei ist <math> M_\pi </math> die momenterzeugende Funktion der Dichte.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
:<math>m_{X}(s) = M_\pi(s-1)\,</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der gemischten Poisson-Verteilung ist
:<math>M_{X}(s) = M_\pi(e^s-1)\,</math>.

== Literatur ==
* Jan Grandell: ''Mixed Poisson Processes.'' Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
* Tom Britton: ''Stochastic Epidemic Models with Inference.'' Springer, 2019, {{DOI|10.1007/978-3-030-30900-8}}

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Gemischte Poisson-Verteilung - Versionsgeschichte

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