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Der '''Gegenring''' zu einem [[Ring (Algebra)|Ring]] ist eine Konstruktion aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Ringtheorie]]. Der Gegenring zu einem Ring entsteht dadurch, dass man bei der Multiplikation die Faktoren vertauscht.

== Definition ==
Es sei <math>R</math> ein Ring. Dann wird der Gegenring <math>R^{\operatorname{op}}</math> (engl. opposite ring) wie folgt definiert:<ref>Theodor Bröcker: ''Lineare Algebra und Analytische Geometrie'', Birkhäuser Verlag (2004), ISBN 3-0348-8962-3, Kapitel X, §8, Seite 331</ref><ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Definition 0.1.11</ref>
* Die unterliegende Menge von <math>R^{\operatorname{op}}</math> ist <math>R</math>.
* Die Addition + auf <math>R^{\operatorname{op}}</math> stimmt mit derjenigen auf <math>R</math> überein.
* Die Multiplikation <math>\circ</math> wird mittels der Multiplikation <math>\cdot</math> von <math>R</math> wie folgt definiert: <math>a\circ b:= b\cdot a</math> für alle <math>a,b\in R^{\operatorname{op}}</math>.

<math>R^{\operatorname{op}}</math> ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

== Eigenschaften ==
* Ist <math>R</math> kommutativ, so ist offenbar <math>R^{\operatorname{op}}=R</math>.
* Sätze über [[Linksideal]]e in einem Ring <math>R</math> sind Sätze über [[Rechtsideal]]e in <math>R^{\operatorname{op}}</math>. Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
* Ist <math>R</math> eine [[Algebra über einem Körper|<math>K</math>-Algebra]] über einem [[Körpertheorie|Körper]], so ist auch <math>R^{\operatorname{op}}</math> eine solche Algebra, indem man für <math>R</math> und <math>R^{\operatorname{op}}</math> dieselbe [[Vektorraum]]struktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
* Es sei <math>\mathrm{Mat}_n(K)</math> die Algebra der <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über einem Körper. Dann gilt für die [[Transponierte Matrix|Transposition]] <math>A\mapsto A^T</math> bekanntlich die Regel <math>(A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T</math>. Das bedeutet, dass die Transposition ein [[Ringhomomorphismus]] <math>\mathrm{Mat}_n(K)\rightarrow \mathrm{Mat}_n(K)^{\operatorname{op}}</math> ist, sogar ein [[Isomorphismus]]. Allgemeiner ist ein [[Antihomomorphismus]] <math>R\rightarrow S</math> zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus <math>R\rightarrow S^{\operatorname{op}}</math> bzw. <math>R^{\operatorname{op}}\rightarrow S</math>
* Im Allgemeinen sind <math>R</math> und <math>R^{\operatorname{op}}</math> nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel [[Noetherscher Ring|linksnoethersche Ringe]], die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
* Ist <math>M</math> ein [[Modul (Mathematik)|<math>R</math>-Linksmodul]], so wird <math>M</math> durch die Definition <math>m\cdot a := am,\,a\in R, m\in M</math> zu einem <math>R^{\operatorname{op}}</math>-Rechtsmodul.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Gegenring - Versionsgeschichte

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