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2026-02-17T06:01:59Z

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Ein '''Gegenbeispiel''' ist in der [[Mathematik]] und in der [[Philosophie]], insbesondere in der [[Logik]] ein empirischer oder konstruierter [[Sachverhalt]], der eine bestimmte [[Hypothese]] widerlegt. Seit [[Karl Popper]]s Forderung nach [[Falsifizierbarkeit]] gelten heute nur solche Aussagen als [[wissenschaft]]lich, zu denen Gegenbeispiele prinzipiell möglich sind.

In der Mathematik beweist man Sätze der Form „Wenn A, dann B“. Der Beweis schließt die Existenz von Gegenbeispielen prinzipiell aus, so dass der Begriff der Falsifizierbarkeit hier nicht sinnvoll ist. Für das Nichtbestehen einer solchen Implikation „Wenn A, dann B“ genügt es, ein Beispiel anzugeben, dass A erfüllt, aber nicht B. Ein solches Beispiel nennt man ein Gegenbeispiel. Ferner spricht man bei der Einführung von mathematischen Eigenschaften von Gegenbeispielen, wenn man ein Beispiel für etwas angibt, das diese Eigenschaft nicht hat. Typische Anwendungen des Begriffs Gegenbeispiel sind daher:
* Es gilt „Wenn A, dann B“. Die Umkehrung „Wenn B, dann A“ gilt nicht, wie das Gegenbeispiel x zeigt.
* Einführung einer Eigenschaft E. Beispiele für E sind x und y. z ist ein Gegenbeispiel (d. h. ein Beispiel, das nicht E hat).

== Beispiele ==
* [[Gettiers Problem|Gettiers Gegenbeispiele]] zur Behauptung, [[Wissen]] sei „gerechtfertigter wahrer [[Glaube]]“.
* Aussage: Alle [[Primzahl]]en sind [[Ungerade Zahl|ungerade]]. Diese Aussage ist falsch, wie das Gegenbeispiel 2 zeigt. (Es genügt für die Falschheit die Existenz eines einzigen Gegenbeispiels.)
* Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] heißt abelsch, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Beispiele sind <math>(\Z,+)</math> oder <math>\Z/n\Z</math>. Das Gegenbeispiel [[S3 (Gruppe)|S<sub>3</sub>]] zeigt, dass nicht alle Gruppen abelsch sind.

== Siehe auch ==

* [[Anti-Pattern]] – sinnähnlicher Bezeichner in der auch sogenannten ''Software''-Entwicklung
* [[Pathologisches Beispiel]], das in besonderem Ausmaß der Intuition widerspricht

== Literatur ==
* Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: ''Counterexamples in Analysis.'' Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3.
* Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: ''Counterexamples in Topology.'' Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X.
* {{Literatur |Autor=Joseph P. Romano, [[Andrew F. Siegel]] |Titel=Counterexamples in Probability and Statistics |Verlag=Chapman & Hall |Ort=New York / London |Datum=1986 |ISBN=0-412-98901-8}}
* {{Literatur |Autor=Jordan Stoyanov |Titel=Counterexamples in Probability |Reihe=Dover Books on Mathematics |Verlag=Dover Publications |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-0-486-49998-7 |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=Gary L. Wise, Eric B. Hall |Titel=Counterexamples in Probability and Real Analyses |Verlag=Oxford University Press |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0-19-507068-2}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

[[Kategorie:Logik]]

Gegenbeispiel - Versionsgeschichte

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