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[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer-Polynome mit ''α''=1]]
[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer-Polynome mit ''α''=2]]
Die '''Gegenbauer-Polynome''', auch '''ultrasphärische Polynome''' genannt, sind eine Menge [[Orthogonale Polynome|orthogonaler Polynome]] auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1,1]</math> mit der [[Gewichtung]]sfunktion <math>(1-x^2)^{\alpha - 1/2}</math>, mit <math>\alpha > -1/2</math>. Sie sind benannt nach dem Mathematiker [[Leopold Gegenbauer]] und bilden die Lösung der [[Gegenbauer-Differentialgleichung]]. Die Polynome haben die Form

:<math>
C_n^{(\alpha)} (z) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{\Gamma(\alpha+n-m)}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math>
für <math>\alpha \neq 0</math>, andernfalls
:<math>
C_n^{(0)} (z) = \sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math>

Sie lassen sich auch durch eine [[Gaußsche hypergeometrische Funktion|hypergeometrische Funktion]] <math>{}_2 F_1</math> darstellen:
:<math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math>

Der Wert für <math>z=1</math> ist

:<math>C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .</math>

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

:<math>C_0^{(\alpha)}(z) = 1 </math>
:<math>C_1^{(\alpha)}(z) = 2\alpha z </math>
:<math>C_2^{(\alpha)}(z) = -\alpha+2\alpha(1+\alpha)z^2 </math>
:<math>C_3^{(\alpha)}(z) = -2\alpha(1+\alpha)z+4/3\alpha(1+\alpha)(2+\alpha)z^3 </math>

== Referenzen ==
* {{MathWorld|GegenbauerPolynomial|Gegenbauer Polynomial}}
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_774.htm S. 774].

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Polynom]]

Gegenbauer-Polynom - Versionsgeschichte

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