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Ein '''gebundener Zustand''' oder auch '''Bindungszustand''' ist in der [[Physik]] ein Verbund aus zwei oder mehr [[Körper (Physik)|Körpern]] oder [[Teilchen]], die sich wie ein einziges Objekt verhalten. Die Abgrenzung kann gegenüber dem Zustand gelten, in dem ein einzelnes (elementares oder zusammengesetztes) Teilchen von den anderen entfernt ([[Freies Teilchen|frei]]) ist, oder auch gegenüber dem Fall, dass sämtliche Teile des Ganzen voneinander entfernt sind (''dispers''). Ein gebundener Zustand ist im Allgemeinen stabil, also ein [[Stationärer Zustand (Quantenmechanik)|stationärer Zustand]] mit unendlicher Lebensdauer.<ref>{{Literatur|Autor=Albert Messiah|Titel=Quantenmechanik|Verlag=Walter de Gruyter|Jahr=1991|ISBN=3-11-011452-6|Seiten=358|Online={{Google Buch|BuchID=qkpwhsrLc8AC|Seite=358}}}}</ref>

In der [[Quantenmechanik]] ist (sofern die [[Teilchenzahl]] erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im [[Hilbertraum]], der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, deren Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine [[Energie]] aufgewendet wird. Diese zum Lösen der Bindung nötige Energie heißt [[Bindungsenergie]]. Die [[Energieniveau]]s des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum einzelner Teilchen, [[diskret]].

Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem [[Potential (Physik)|Potenzial]] existieren, wenn es eine [[stehende Welle|stehende]] [[Wellenfunktion]] gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ.

Es gibt auch [[Chemische Stabilität|instabile]] gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine [[Potentialbarriere|Energiebarriere]] vorhanden ist, die für den [[Zerfallskanal|Zerfall]] [[Tunneleffekt|durchtunnelt]] werden muss. Dies ist der Fall für einige [[Radionuklid]]e in ihrem [[Grundzustand]] und allgemein für viele [[Angeregter Zustand|angeregte Zustände]] von [[Atomkern]]en.

In [[Relativitätstheorie|relativistischen]] [[Quantenfeldtheorie]]n zeigt sich ein gebundener Zustand mit ''n'' Teilchen der Massen ''m''1, …, ''m''''n'' als ein [[Polstelle|Pol]] in der [[S-Matrix]] mit einer [[Masse (Physik)|Masse]], die kleiner ist als ''m''1+…+''m''''n'' ([[Massendefekt]]). Ein instabiler gebundener Zustand (siehe [[Resonanz #Kernphysik|Resonanz]]) stellt sich als Pol mit [[Komplexe Zahl|komplexer]] Schwerpunktmasse dar.

== Beispiele ==
{{Wechselwirkung Teilchen Kräfte}}
* Ein [[Proton]] und ein [[Elektron]] können sich unabhängig voneinander bewegen; als Gesamtsystem haben sie dann positive Energie. Bilden sie jedoch unter dem Einfluss der [[Coulombkraft]] einen gebundenen Zustand, das [[Wasserstoffatom]], wird die Energie negativ. Dabei ist nur der Zustand mit der kleinsten (also negativsten) Energie, der [[Grundzustand]], stabil. Alle anderen, [[angeregter Zustand|angeregten]] Zustände sind instabil und zerfallen in den Grundzustand. Dabei werden [[Photon]]en [[Spontane Emission|emittiert]].
* Ein [[Atomkern]] ist ein gebundener Zustand von [[Proton]]en und [[Neutron]]en.
* Ein [[Positronium]]-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines [[Elektron]]s und eines [[Positron]]s. Es zerfällt in (meist) zwei Photonen.
* Das [[Proton]] ist ein Bindungszustand von drei [[Quark (Physik)|Quarks]] (zwei [[Quark (Physik)|up]] und ein [[Quark (Physik)|down]]); jeweils ein Quark hat die [[Quantenchromodynamik|quantenchromodynamische]] Farbe Rot, Grün oder Blau. Anders als beim Wasserstoff können die einzelnen Quarks nie getrennt werden (siehe [[Confinement]]).

== Mathematische Struktur in der Quantenmechanik ==
Sei <math>H</math> ein [[Komplexe Zahlen|komplex]] [[Separabler Raum|separabler]] [[Hilbertraum]], <math> U = \lbrace U(t) \mid t \in \mathbb{R} \rbrace </math> sei eine ein-parametrige [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit [[unitärer Operator|unitären Operatoren]] auf <math> H </math> und <math>\rho = \rho(t_0) </math> ein statistischer Operator auf <math>H</math>. Sei <math>A</math> eine [[Observable]] auf <math>H</math> und <math>\mu(A,\rho)</math> die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>A</math> in Bezug auf <math>\rho</math> auf der Borel <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\mathbb{R}</math>. Die Entwicklung von <math>\rho</math> induziert durch <math>U</math> wird '''gebunden''' in Bezug auf <math>A</math> genannt, wenn <math>\lim_{R \rightarrow \infty} \sum_{t \geq t_0} \mu(A,\rho(t))(\mathbb{R}_{> R}) = 0 </math>, wobei <math>\mathbb{R}_{>R} = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x > R \rbrace </math>.

'''Beispiel:'''
Sei <math>H = L^2(\mathbb{R}) </math> und <math>A</math> die Orts-Observable. Sei <math>\rho = \rho(0) \in H</math> mit einem [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] und <math>[-1,1] \subseteq \mathrm{Supp}(\rho)</math>.

* Wenn die Zustandsentwicklung <math>\rho</math> „das Wellenpaket konstant nach rechts bewegt“, z. B. wenn <math>[t-1,t+1] \in \mathrm{Supp}(\rho(t)) </math> für alle <math>t \geq 0</math>, dann ist <math>\rho</math> in Bezug auf den Ort kein gebundener Zustand.
* Wenn <math>\rho</math> sich mit der Zeit nicht ändert, z. B. <math>\rho(t) = \rho</math> für alle <math>t \geq 0</math>, dann ist <math>\rho</math> in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand.
* Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von <math>\rho</math> „<math>\rho</math> nur innerhalb eines begrenzten Bereiches bewegt“, dann ist <math>\rho</math> ein gebundener Zustand bezogen auf den Ort.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zusammengesetztes Teilchen]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Gebundener Zustand - Versionsgeschichte

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