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2022-04-08T01:24:11Z

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Der Begriff '''gebrochenes Ideal''' ist eine Verallgemeinerung des [[Ideal (Ringtheorie)|Idealbegriffes]] aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]], die insbesondere in der [[algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] eine wichtige Rolle spielt. In gewisser Weise ist der Übergang von gewöhnlichen zu gebrochenen Idealen analog zum Verhältnis zwischen [[ganze Zahlen|ganzen]] und [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]].

''Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe [[Kommutative Algebra]].''

== Definition ==
Es sei <math>A</math> ein [[Noetherscher Ring|noetherscher]] [[Integritätsring]] und <math>K</math> sein [[Quotientenkörper]].

Ein ''gebrochenes Ideal'' zu <math>A</math> ist ein [[endlich erzeugt]]er <math>A</math>-[[Modul (Mathematik)|Untermodul]] von <math>K</math>. Teilweise wird auch verlangt, dass dieser nicht nur die Null enthält. Verzichtet man auf diese Zusatzbedingung, so gilt die Aussage, dass jedes (ganze) Ideal insbesondere auch ein gebrochenes Ideal ist.

Ein gebrochenes Ideal <math>\mathfrak a</math> heißt ''eigentlich'', wenn der Ring
:<math>\mathrm{End}\,\mathfrak a=\{x\in K\mid x\mathfrak a\subseteq\mathfrak a\}</math>
gleich <math>A</math> ist. (Es gilt stets <math>A\subseteq\mathrm{End}\,\mathfrak a.</math>)

Zu einem gebrochenen Ideal <math>\mathfrak a</math> ist das ''inverse Ideal'' <math>\mathfrak a^{-1}</math> definiert als
:<math>\mathfrak a^{-1}=\{x\in K\mid x\mathfrak a\subseteq A\}.</math>
Es ist ein gebrochenes Ideal. Es gilt stets
:<math>\mathfrak a\mathfrak a^{-1}\subseteq A.</math>
Gilt Gleichheit, so heißt <math>\mathfrak a</math> ''invertierbar'', und es ist
:<math>\mathfrak a=(\mathfrak a^{-1})^{-1}.</math>

Jedes gebrochene ''Hauptideal''
:<math>(a) = A\cdot a = \{x\cdot a\mid x\in A\}</math>
für <math>a\in K^\times</math> ist ein invertierbares gebrochenes Ideal. Das inverse Ideal ist <math>(a^{-1}).</math>

== Eigenschaften ==
* Ein gebrochenes Ideal ist genau dann invertierbar, wenn es ein [[projektiver Modul|projektiver]] <math>A</math>-Modul ist.
* Jedes invertierbare Ideal ist eigentlich.
* <math>\mathrm{End}\,\mathfrak a</math> ist eine [[Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie|endliche]] Ringerweiterung von <math>A</math>. Ist also <math>A</math> [[Ganzheit (kommutative Algebra)|ganzabgeschlossen]], so ist jedes gebrochene Ideal eigentlich.
* Die invertierbaren gebrochenen Ideale bilden eine Gruppe; ihr Quotient nach der Untergruppe der gebrochenen Hauptideale ist die [[Idealklassengruppe]] oder [[Picardgruppe]] <math>\mathrm{Pic}\,A</math> von <math>A</math> (nach [[Charles Emile Picard]]).

== Beispiele ==
* Das Ideal
::<math>\mathfrak a=(2,1+\sqrt5)\subseteq\mathbb Z[\sqrt5]</math>
:ist nicht eigentlich, denn
::<math>\mathrm{End}\,\mathfrak a=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].</math>

== Siehe auch ==
* [[Dedekindring]]

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Gebrochenes Ideal - Versionsgeschichte

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