imported>Layzay: Deutlich erweitert, aufgespalten in Bezeichung(en) und Beispiele, die jetzt jeweils auch etwas mit dem Thema zu tun haben

2025-07-03T21:37:06Z

Deutlich erweitert, aufgespalten in Bezeichung(en) und Beispiele, die jetzt jeweils auch etwas mit dem Thema zu tun haben

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In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und [[Analysis]] bezeichnet der Begriff '''Gebiet''' meist eine [[Offene Menge|offene]], nichtleere und [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] [[Teilmenge]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]]. In vielen Sätzen der [[Funktionentheorie]] wird vorausgesetzt, dass die betrachteten [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] in einem Gebiet definiert und dort [[Holomorphe Funktion|holomorph]] oder [[meromorph]] sind.

== Bezeichnung ==
Der Begriff eines Gebiets wird nicht einheitlich verwendet und hat vor allem praktische Bedeutung. Man möchte (in einem Sinne) „schöne“ [[Definitionsmenge]]n charakterisieren. Insbesondere für [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] bzw. holomorphe, aber auch konvexe Funktionen und [[Vektorfeld]]er soll dabei die Quellmenge abgeschlossen unter „Operationen“ sein, die für den Typ der Abbildung erforderlich sind.

Insbesondere heißt das, dass für unterschiedliche Anwendungsgebiete unterschiedliche Eigenschaften der Definitionsmenge erforderlich sind. Folgende Abweichungen von der obigen Definition können dabei vorgenommen werden (es sei <math>G\subseteq\Complex</math>):
* Für einige Autoren ist die [[leere Menge]] nicht zusammenhängend, sodass ein Gebiet eine offene und zusammenhängende Menge ist.
* Man kann fordern, dass ein Gebiet [[beschränkt]] ist.
* Es mag sinnvoll sein, dass ein Gebiet [[Konvexe Menge|konvex]] oder wenigstens [[Sterngebiet|sternförmig]] sein soll.
* In jedem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] kann man fordern, dass ein Gebiet [[reguläre Menge#Verallgemeinerung|regulär offen]] sein soll.
Einige Charakteristiken können sich auch auf den [[Rand (Topologie)|Rand]] <math>\partial G</math> einer Menge beziehen:
* Der Rand kann überall oder [[fast überall]] als [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|glatt]] gefordert werden, wie beim [[Gaußscher Integralsatz|Satz von Gauß]].
* Man könnte aber auch einen Anwendungsfall haben, in dem es wichtig ist, dass der Rand selbst zusammenhängend oder sogar [[Wegzusammenhang|wegzusammenhängend]] ist. Betrachte z. B. <math>B_2(0)\setminus B_1(0)\subseteq\Complex</math> ([[Kreisring]]): diese Menge ist ein Gebiet im oberen Sinn, aber ihr Rand hat zwei Zusammenhangskomponenten.
Darüber hinaus kann man von einem Gebiet <math>G</math> (selten) auch wollen, statt offen [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] oder [[Kompakte Menge|kompakt]] zu sein.

== Beispiele ==
* Der ganze [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] ist ein (unbeschränktes, unberandetes) Gebiet.
* Der [[Einheitsball]] <math>B_1(0)</math> ist ein (konvexes, beschränktes, regulär offenes) Gebiet; wenn die Dimension des Raums <math>\ge2</math> ist, hat sie einen glatten und wegzusammenhängenden Rand.
* Der Einheitswürfel <math>(0,1)^n</math> ist ebenfalls ein solches Gebiet, hat aber nur fast überall glatten Rand.

== Siehe auch ==
* [[Komplexe Zahl]]en
* [[Schlichtes Gebiet]]
* [[Sterngebiet]]

== Literatur ==
* Kurt Endl, [[Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 224.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Gebiet}}
* [https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite13.html Gebiet in ''Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder'' auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)]

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Gebiet (Mathematik) - Versionsgeschichte

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