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2026-01-18T12:46:39Z

Das Prinzip und die Formel

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[[Datei:Trapez-formel-einf.svg|mini|hochkant=1.2|Jeder Polygonkante wird der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt eines Trapezes zugeordnet. Der Flächeninhalt des Polygons ergibt sich dann durch Aufsummieren dieser Trapezflächen]]
Mit Hilfe der '''gaußschen Trapezformel''' (nach [[Carl Friedrich Gauß]]) ist es möglich, die Fläche eines einfachen [[Polygon]]s zu berechnen.<ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-06809-0, S. 116.</ref> Dabei wird jeder Polygonkante ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze.

Eine Variation der Trapezformel ist die ''Dreiecksform'', deren Analogon für stückweise glatte Kurven die [[Sektorformel von Leibniz]] ist.

== Das Prinzip und die Formel ==
[[Datei:Trapez-formel-prinz.svg|mini|hochkant=1.3|Prinzip]]
Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte <math>P_i=(x_i,y_i), i=1,...n</math> des Polygons mit wachsendem <math>i</math> im ''mathematisch positiven'' Sinn (Gegenuhrzeigersinn) durchlaufen werden. Aus praktischen Gründen wird angenommen, dass <math>P_{n+1}=P_1</math> ist. Der Kante <math>P_i P_{i+1}</math> wird dann der Flächeninhalt
:<math>A_i=\tfrac 1 2(y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1})</math>
des Trapezes <math>(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_i,0),(x_{i+1},0)</math> zugeordnet.
Ist <math>x_i<x_{i+1}</math> so ist <math>A_i</math> negativ, im anderen Fall positiv oder <math>A_i=0</math> falls <math>x_i=x_{i+1}</math> ist. In der Zeichnung ist die Orientierung der Kanten durch Pfeile gekennzeichnet. An der Farbe der Pfeile ist das Vorzeichen der jeweiligen Trapezfläche zu erkennen: rot steht für <math>A_i<0</math>, grün für <math>A_i> 0</math>. Im ersten Fall heißt das Trapez ''negatives Trapez'', im zweiten Fall ''positives Trapez''. Die negativen Trapeze löschen die außerhalb des Polygons liegenden Flächenteile positiver Trapeze. Am einfachsten ist dies an dem Beispiel eines konvexen Polygons (im Bild oben) zu erkennen: Der Flächeninhalt des Polygons ist gleich der Summe der Flächeninhalte aller positiven Trapeze (mit grünen Kanten) minus den Flächeninhalten aller negativen Trapeze (mit roten Kanten).

Für den Flächeninhalt, des von dem Polygon <math>P_1,...,P_n</math> eingeschlossenen Gebiets ergibt sich also
:<math>A = \frac 1 2 \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1})</math>
:<math>\quad =\frac 1 2
\Big((y_1+y_2)(x_1-x_2)+ \cdots +(y_n+y_{\color{red}1})(x_n-x_{\color{red}1})\Big)</math>
[[Datei:Trapezformel-3eckform.svg|mini|hochkant=1.2|Dreiecksform: Die Farben der Polygonkanten deuten an, welche Dreiecksfläche positiv (grün) bzw. negativ (rot) ist]]
Multipliziert man die Klammern aus und beachtet
<math>\sum_{i=1}^n x_iy_i=\sum_{i=1}^n x_{i+1}y_{i+1}</math>, erhält man die ''Determinantenform'' der Flächenformel:

:<math>A = \frac 1 2 \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)
=\frac 1 2\sum_{i=1}^{n}\begin{vmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{vmatrix}</math>
<math>\qquad =\frac 1 2
\Big(x_1y_2-x_2y_1+\cdots +x_ny_{\color{red}1}-x_{\color{red}1}y_n\Big)</math>

Da die Hälfte der [[Determinante]] die vorzeichenbehaftete [[Dreiecksfläche|Fläche des Dreiecks]] <math>O P_i P_{i+1}</math> ist, wird diese Formel auch als ''Dreiecksform'' bezeichnet.

Setzt man <math>P_0=P_n</math> (zusätzlich zu <math>P_{n+1}=P_1</math> (siehe oben)), so gilt
<math>\ \sum_{i=1}^n x_iy_{i+1}=\sum_{i=1}^n x_{i-1}y_i\ </math> und
:<math>2A=\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)
=\sum_{i=1}^n x_iy_{i+1}- \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i
=\sum_{i=1}^n {\color{red}x_{i-1}y_i}- \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i </math>
Führt man beide Summen wieder zusammen und klammert <math>y_i </math> aus, so erhält man eine weitere Darstellung der Flächenformel:<ref>Josef Schlesinger: ''Der Tachygraph.'' Centralblatt für das gesamte Forstwesen: Organ der K.K. Forstlichen Versuchsanstalt in Mariabrunn, Band 2, Wien, 1876, S. 243.</ref>

:<math>A=\frac 1 2 \sum_{i=1}^n y_i(x_{i-1}-x_{i+1})</math>
:<math>\quad =\frac 1 2
\Big(y_1(x_{\color{red}n}-x_2)+y_2(x_1-x_3)+
\cdots+y_n(x_{n-1}-x_{\color{red}1})\Big)</math>
Verwendet man
<math>\ \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i=\sum_{i=1}^n x_iy_{i-1}\ </math> erhält man
:<math>A=\frac 1 2 \sum_{i=1}^n x_i(y_{i+1}-y_{i-1}) </math>
Geht man von einem Polygon mit negativer Orientierung aus, ist auch der Flächeninhalt <math>A</math> negativ.

''Hinweis:'' In der [[Geodäsie]] ist die x-Achse vertikal und y-Achse horizontal und die Orientierung des Polygons entgegengesetzt. Vertauschen der Koordinaten und der Orientierung des Polygons bewirken bei der Anwendung der Formeln keine Änderung. Falls man eine dieser Änderungen nicht beachtet, erhält man mit den obigen Formeln in jedem Fall mit <math>|A|</math> den gesuchten Flächeninhalt.<br />
Die beiden letzten Formeln werden in Büchern über Vermessungskunde auch als ''Gaußsche Dreiecksformeln'' bezeichnet.<ref>Martin Näbauer: ''Vermessungskunde.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-41866-6, S. 341.</ref><ref>Heribert Kahmen: '' Vermessungskunde.'' Walter de Gruyter, 2020, ISBN 978-3-11-087406-8, S. 259.</ref>

Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der [[Satz von Pick]] anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel problemlos durch Polygone [[approximieren]], so dass man leicht an einen [[Näherungswert]] kommen kann.

== Beispiel und Schnürsenkel-Schema ==
[[Datei:Trapez-formel-beispiel.svg|mini|hochkant=1.2|Beispiel]]
Für das 5-Eck mit den Punkten
:<math>P_1=(1,6), P_2=(3,1), P_3=(7,2),</math>
:<math>P_4=(4,4), P_5=(8,5)</math>
ergibt sich
:<math>2A =
\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix} 8 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}</math>
:<math>\quad \ =1-18\;+6-7\;+28-8\;+20-32\;+48-5=33</math>
:<math>\ \; A= 16{,}5</math>
[[Datei:Trapez-shoelace.svg|mini|hochkant=1.3|Schnürsenkel-Schema für das Beispiel]]
In der englischen Literatur gibt es ein Schema, das das Berechnen der 2x2-Determinanten optimiert: Das ''Schnürsenkel-Schema'' (engl. ''shoelace formula'') (siehe Bild). Diese plastische Beschreibung zeigt die praktische Bedeutung der Gaußschen Trapezformel. Statt 10 Spalten genügen bei dieser Methode 6 Spalten.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblink ==
* [https://fddm.uni-paderborn.de/fileadmin-eim/mathematik/Didaktik_der_Mathematik/Bender_Peter/Veroeffentlichungen/2010FlaecheninhaltPolygone.pdf P. Bender, Uni Paderborn: ''Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen'']

== Literatur ==
* Beat Brüderlin, Andreas Meier: ''Computergrafik und Geometrisches Modellieren.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80111-1, S. 36.
* P. Grobstich, G. Strey: ''Mathematik für Bauingenieure.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80051-0, S. 113 (Dreiecksregel)
* Pietro Labranca: ''Probleme der Festigkeitslehre: Berechnung der Querschnittswerte und der Spannungen.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-663-13976-8, S. 69.
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Harri Deutsch Verlag, Frankfurt, 1977, S. 318.

{{SORTIERUNG:Gausssche Trapezformel}}
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Mathematische Geographie]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gaußsche Trapezformel - Versionsgeschichte

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