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2025-08-06T03:58:00Z

Beweis mit vollständiger Induktion

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Die '''gaußsche Summenformel''' (nicht zu verwechseln mit einer [[Gaußsche Summe|gaußschen Summe]]), auch '''kleiner Gauß''' genannt, ist eine [[Formel]] für die [[Summe]] der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]:
: <math>1+ 2 + 3 + 4 + \dotsb + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}</math>
Die Summen <math>1; \, 3; \, 6; \, 10; \, \dotsc </math> für <math>n= 1; \, 2 ; \, 3 ; \, 4 ; \, \dotsc </math> werden [[Dreieckszahl]]en genannt.

== Veranschaulichungen ==

=== Numerische Veranschaulichung ===
Die Formel lässt sich folgendermaßen veranschaulichen: Man schreibt die Zahlen von 1 bis <math>n</math> aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge:
: <math>
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\
n & n-1 & \ldots & 2 & 1 \\ \hline
n+1 & n+1 & \ldots & n+1 & n+1
\end{array}
</math>

Die Summe jeder Spalte ist <math>n+1.</math> Da es <math>n</math> Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich <math>n \cdot (n+1).</math> Um die Summe der Zahlen ''einer'' Zeile zu ermitteln, wird das Ergebnis halbiert, und es ergibt sich die obige Formel:
: <math>1 + 2 + 3 + 4 + \dotsb + n = \frac12 \cdot n \cdot (n+1)</math>

=== Geometrische Veranschaulichung ===
Im Bild unten werden die einzelnen [[Summand]]en als grüne Kästchenreihen zu einem [[Dreieck]] angeordnet, das durch die weißen Kästchen zu einem [[Quadrat]] mit [[Seitenlänge]] <math>n</math> erweitert wird. Die einfache Halbierung des Quadrats entlang einer seiner [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] würde die genau auf der Diagonale liegenden Kästchen ebenfalls teilen, was unerwünscht ist.
Daher wird das Quadrat rechts um eine Spalte mit <math>n</math> blauen Kästchen zu einem [[Rechteck]] ergänzt, dessen Halbierung entlang der roten Linie wie gewünscht ''genau'' die grünen Kästchen abspaltet.

[[Datei:Gaußsche Summenformel geometrisch.svg|400px]]

Man braucht nun nur mehr die Anzahl <math>n \cdot (n+1)</math> ''aller'' Kästchen zu halbieren, was sofort zur gesuchten Anzahl <math>\frac{n \cdot (n+1)}{2}</math> der ''grünen'' Kästchen führt.

== Geschichtliche Aspekte ==

=== Geschichte der Formel ===

Die beschriebene Summenformel wie auch die Summenformel für die ersten <math>n</math> Quadratzahlen war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.<ref>Ravi P. Agarwa: [https://www.researchgate.net/publication/354218239_Pythagoreans_Figurative_Numbers_The_Beginning_of_Number_Theory_and_Summation_of_Series ''Pythagoreans Figurative Numbers: The Beginning of Number Theory and Summation of Series'']. In: ''Journal of Applied Mathematics and Physics'', 2021, 9, S. 2038–2113</ref>

=== Geschichte der Bezeichnung ===
Die Verwendung des Terminus ''gaußsche Summenformel'' im Sinne dieses Artikels hat sich in der Literatur erst im 21. Jahrhundert verbreitet,<ref>Frühe Belege sind: Peter Ziesche: ''Nebenläufige und verteile Programmierung''. W3L-Verl, 2005, S. 207 ([https://www.google.de/books/edition/Nebenl%C3%A4ufige_verteilte_Programmierung/oBCKlaQo0WgC?hl=de&gbpv=1&dq=gau%C3%9Fsche+summenformel&pg=PA375&printsec=frontcover online]). sowie Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen (Hrsg.): ''Voller Knobeleien''. Universitätsverlag Göttingen, 2005, S. 99 ([https://www.google.de/books/edition/Voller_Knobeleien/D9d8STdQFEAC?hl=de&gbpv=1&dq=gau%C3%9Fsche+summenformel&pg=PA99&printsec=frontcover online]).</ref> inzwischen hat sie auch Einzug in Lehrbücher für das Mathematikstudium gefunden.<ref>siehe beispielsweise Friedrich Sauvigny: ''Analysis''. Springer Spektrum, 2013, S. 14 ([https://www.google.de/books/edition/Analysis/lc0-AgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=%22gau%C3%9Fsche+summenformel%22&pg=PA14&printsec=frontcover online]). und Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: ''Primzahltests für Einsteiger''. Springer Spektrum, S. 10, 2015 ([https://www.google.de/books/edition/Primzahltests_f%C3%BCr_Einsteiger/Ixw3CwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=%22gau%C3%9Fsche+summenformel%22&pg=PA10&printsec=frontcover online]).</ref> Hingegen wird bereits seit Ende des 19. Jahrhunderts eine Formel für eine gaußsche Summe ''gaußsche Summenformel'' genannt.<ref>Für einen frühen Beleg siehe: Felix Klein, Robert Fricke: ''Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen'', Band 2. S. 305, 1892 ([https://books.googleusercontent.com/books/content?req=AKW5Qacqumxfph1WSzqOZKfQVRZJoiXVR9c4xujPIp41ITT-eBeowNaG7d4Kww9dnwZoeEFtv7_OJWdBIDdEEieoGFLhPmK8JqaSGl9MlSwyRN2_8UMD0_3mAzMtuH5GKBXdwQ2flCDYuyMlprQsJ63e6czRwnGn4J8mJZzBXoB9oWy3sCVwqUkJYziY1zhb8L6yNRQD6OogMDwgtD3oKFbVW75apOT7vZ3KACwUjWaVCU39Ze4baVNMzfa3_uu80o6O8xjvRaoMOzz5kXr5TM-4zMuoIzOW-OgtLPJ07dXtc6u3BfQnNIs online]). Für die aktuelle Verwendung siehe beispielsweise den Eintrag ''Gaußsche Summenformel'' In: ''Lexikon der Mathematik''. Springer Spektrum ([https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/gausssche-summenformel/3398 online])</ref>

Die neuere, hier relevante, Bedeutung des Terminus ''gaußsche Summenformel'' geht auf die folgende anekdotenhafte Geschichte über [[Carl Friedrich Gauß]] als neunjährigem Schüler und seinem Rechenlehrer Büttner zurück. Die Geschichte findet sich in [[Wolfgang Sartorius von Waltershausen]]s Nachruf ''Gauß zum Gedächtnis'', wobei sich Sartorius verbürgt, Gauß habe die Geschichte „in seinem hohen Alter mit großer Freude und Lebhaftigkeit öfter erzählt“.
{{Zitat
|Text=Das Herkommen [gemeint ist: die Konvention] brachte es nämlich mit sich, dass der Schüler, welcher zuerst sein Rechenexempel beendigt hatte, die Tafel in die Mitte eines großen Tisches legte; über diese legte der zweite seine Tafel u.s.w. Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)
Während die anderen Schüler weiter rechnen, multipliciren und addiren, geht Büttner sich seiner Würde bewusst auf und ab, indem er nur ab und zu einen mitleidigen und sarcastischen Blick auf den kleinsten Schüler wirft, der längst seine Aufgabe erledigt hatte. [...] Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden …
|Autor=[[Wolfgang Sartorius von Waltershausen]]
|ref=<ref>Sartorius von Waltershausen: ''Gauss zum Gedächtnis.'' 1856, S. 12–13 ({{Google Buch |BuchID=h_Q5AAAAcAAJ |Seite=12 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})</ref>}}
Laut Sartorius erkannte Büttner hiernach bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Mit dem Ausdruck „Summation einer [[Arithmetische Reihe|arithmetischen Reihe]]“ ist gemeint, dass die Aufgabe aber darin bestand, Zahlen zu addieren, die in arithmetischer Progression stehen. Dies bedeutet, dass sich die zu addierenden Zahlen durch fortwährende Addition einer Konstanten, der sogenannten ''Schrittweite'', aus einer gegebenen Zahl ergeben. So eine Aufgabe kann durch eine Produktformel gelöst werden, nämlich <math>\frac{n \cdot (u+o)}{2}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der zu addierenden Zahlen ist und <math>u</math> die kleinste und <math>o</math> die größte der Zahlen ist; die Formel kann intuitiv analog zur obigen numerischen Veranschaulichung für die gaußsche Summenformel eingesehen werden.

Heutzutage wird die Anekdote meist in etwa der folgenden Variante erzählt: Gauß’ Lehrer ließ die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Während nun seine Mitschüler fleißig zu addieren begannen, stellte Gauß fest, dass sich die 100 zu addierenden Zahlen zu 50 Paaren gruppieren lassen, die jeweils die Summe <math>101</math> haben: <math>1+100, 2+99, 3+98</math> bis zu <math>50+51.</math> Also musste das gesuchte Ergebnis gleich dem Produkt <math>50\cdot 101 = 5050</math> sein. Die Überlegung Gauß’ wird hierbei auch modifiziert, beispielsweise dahingehend, dass der Durchschnitt der <math>100</math> Zahlen <math>50{,}5</math> ist und somit die Summe <math>5050</math>.

Die konkrete Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, und die Lösungsmethode mittels der 50 Paare findet sich wohl das erste Mal in einer Biographie über Gauß von [[Ludwig Bieberbach]] aus dem Jahr 1938. Oftmals wird die Geschichte auch damit ausgeschmückt, dass Gauß’ Lehrer das Verfahren nicht kannte und Gauß es ihm sodann erklärte. In der Literatur sind derartige Darstellungen seit etwa 1990 weit verbreitet.<ref name=":0">Brian Hayes: [https://www.americanscientist.org/article/gausss-day-of-reckoning ''Gauss’s Day of Reckoning.''] In: ''American Scientist.'' 94, 2006, S. 200, [[doi:10.1511/2006.3.200]].</ref>

== Beweise ==
Für die Formel gibt es zahlreiche Beweise.

=== Beweis entsprechend der numerischen Veranschaulichung ===
Die obige [[#Numerische Veranschaulichung|numerische Veranschaulichung]] führt etwas formalisiert zu einem Beweis:

Es sei <math>n \in \mathbb{N}</math>. Dann erhält man mittels Umordnung der Summe die Identität
: <math>\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n \, (n+1-k)</math> .
Somit ist
: <math>2 \cdot \sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \, (n+1-k) = \sum_{k=1}^n \, (k + n + 1 - k) = \sum_{k=1}^n \, (n+1) = n \cdot (n+1)</math> .
Hieraus folgt die zu beweisende Identität
: <math>\sum_{k=1}^n k = \frac{n \cdot (n+1)}{2}</math>.

=== Beweis mit vollständiger Induktion ===
Bei der [[Vollständige Induktion|vollständigen Induktion]] muss gezeigt werden, dass die Aussage für <math>n=1</math> gilt (Induktionsanfang) und dass aus der Gültigkeit der Aussage für beliebiges <math>n</math> deren Gültigkeit für <math>n+1</math> folgt (Induktionsschritt).

''Induktionsanfang'':

: <math>1 = \frac{1(1+1)}{2}</math>.

''Induktionsschritt:''

Für ein <math>n \geq 1</math> gelte die Induktionsvoraussetzung

:<math>1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>.

Damit folgt

:<math>\begin{align}1+2+\cdots+n+(n+1)
&= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\
&= \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \\
&= \frac{(n+1)(n+2)}{2} \\
&= \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2},

\end{align}</math>
d. h. die Gaußsche Summenformel gilt dann auch für <math>n+1</math>. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Aussage somit für alle natürlichen Zahlen.

== Verwandte Summen ==
Aus der gaußschen Summenformel ergeben sich durch Anwenden des [[Distributivgesetz]]es und anderer ähnlich elementarer Rechenregeln leicht auch Formeln für die Summe der geraden bzw. der ungeraden Zahlen.
: <math>\sum_{k=1}^n 2k = 2\cdot\sum_{k=1}^n k = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)</math>

liefert die Summe der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden geraden Zahlen.

Die Formel für die Summe der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ergibt sich so:
: <math>\sum_{k=1}^n (2k-1) = 2\cdot\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^n 1 = (n^2+n)-n = n^2</math>

Die Summe der ersten <math>n</math> aufeinanderfolgenden Quadratzahlen
: <math>\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)</math>

wird als [[quadratische Pyramidalzahl]] bezeichnet. Eine Verallgemeinerung auf eine beliebige positive ganze Zahl als Exponenten ist die [[Faulhabersche Formel]].

== Literatur ==
* [[Wolfgang Sartorius von Waltershausen]]: ''Gauss zum Gedächtniss.'' S. Hirzel, Leipzig 1856, S. 12–13 (Anekdote zu Gauss, {{Google Buch |BuchID=h_Q5AAAAcAAJ |Seite=12 |Linktext=Google-Buch |KeinText=ja}}).
* [[Otto Neugebauer]]: ''Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Vorgriechische Mathematik.'' Springer, 1969, S. 172–173.
* Brian Hayes: [https://www.americanscientist.org/article/gausss-day-of-reckoning ''Gauss’s Day of Reckoning.''] In: ''American Scientist.'' 94, 2006, S. 200, [[doi:10.1511/2006.3.200]].

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Gaußsche Summenformel}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=7v1n8iJH5aY Herleitung der gaußschen Summenformel auf zwei Arten einfach erklärt] ([[YouTube]]-Video)
* [https://vimeo.com/10014698 Geometrischer Beweis der gaußschen Summenformel] auf [[Vimeo]]
* {{Webarchiv |url=http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html |text=''Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote.'' |wayback=20140322030255}}.
* {{TIBAV |19756 |Linktext=Die Gaußsche Summenformel (Teil 1) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19756}}
* {{TIBAV |19757 |Linktext=Die Gaußsche Summenformel (Teil 2) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19757}}
* {{TIBAV |19758 |Linktext=Die Gaußsche Summenformel (Teil 3) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19758}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Addition]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gaußsche Summenformel - Versionsgeschichte

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