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Die '''Gaußsche Summe, Gaußsumme''' oder '''Gauß-Summe''' (nicht zu verwechseln mit der [[Gaußsche Summenformel|gaußschen Summenformel]]) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von [[Einheitswurzel]]n, typischerweise

:<math>G(\chi) := G(\chi, \psi)= \sum_r \chi(r)\cdot \psi(r)</math>

Dabei geht die Summe über die Elemente <math>r</math> eines endlichen kommutativen [[Ring (Algebra)|Rings]] <math>R</math>, <math>\psi</math> ist ein [[Gruppenhomomorphismus]] der [[abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]] <math>R^+</math> in den [[U(1)|Einheitskreis]] und <math>\chi</math> ist ein Gruppenhomomorphismus der [[Einheitengruppe]] <math>R^\times</math> in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten.
Solche Summen sind in der [[Zahlentheorie]] allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen [[L-Funktion]], wo für einen [[Dirichlet-Charakter]] <math>\chi</math> die Gleichung in der Beziehung zwischen <math>L(s, \chi)</math> und <math>L(1-s, \chi^*)</math> den Faktor

:<math>\frac{G(\chi)}{|G(\chi)|}</math>

verwendet, wobei <math>\chi^*</math> die [[Komplex konjugiert|komplex Konjugierte]] von <math>\chi</math> ist.

Ursprünglich betrachtete [[Carl Friedrich Gauß]] die [[quadratische Gaußsche Summe]] mit <math>R</math> als einem [[Restklassenkörper]] modulo einer ungeraden Primzahl <math>p</math> und <math>\chi</math> als [[Legendre-Symbol]], dem quadratischen [[Dirichlet-Charakter|Restklassencharakter]] modulo <math>p</math>. Gauß bewies, dass <math>G(\chi) = \sqrt{p}</math> oder <math>G(\chi) = i\sqrt{p}</math> gilt, je nachdem, ob <math>p</math> kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:
:<math>\sum^{p-1}_{r=0} e^{\frac{2 \pi i}{p} r^2}</math>

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der [[Thetafunktion]]en eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der [[Jacobi-Summe]]n und deren Primzahlenzerlegung in [[Kreisteilungskörper]]n, entwickelt. Summen über den Mengen, wo <math>\chi</math> einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der [[Restklassenring]] modulo einer ganzen Zahl <math>N</math> ist, werden durch die Theorie der [[Gaußschen Periode]]n beschrieben.

Der [[Komplexe Betragsfunktion|Absolutbetrag]] einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des [[Satz von Plancherel|Satzes von Plancherel]] auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass <math>R</math> ein Körper von <math>p</math> Elementen und <math>\chi</math> nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich <math>\sqrt{p}</math>. Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe [[Kummer-Summe]].

== Siehe auch ==
* [[Satz von Stickelberger]]

== Referenzen ==
* Kenneth Ireland, [[Michael Rosen (Mathematiker)|Michael Rosen]]: ''A Classical Introduction to Modern Number Theory'' (= ''Graduate texts in mathematics.'' Bd. 84). 2nd edition. Springer-Verlag, New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97329-X.
* [[Bruce Berndt|Bruce C. Berndt]], Ronald J. Evans, Kenneth S. Williams: ''Gauss and Jacobi Sums'' (= ''Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts.'' Bd. 21 = A Wiley-interscience publication). Wiley, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-12807-4.

{{SORTIERUNG:Gausssche Summe}}
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gaußsche Summe - Versionsgeschichte

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