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2023-07-22T20:15:46Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Hypothesentest von Gauß in der mathematischen Statistik. Für den Gauß-Test zur Reihenkonvergenz siehe [[Kriterium von Gauß]].}}

Der '''Gauß-Test''' oder '''Z-Test''' ist in der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] eine Gruppe von [[Statistischer Test|Hypothesentests]] mit [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilter]] [[Testprüfgröße]] unter der [[Hypothese (Statistik)|Nullhypothese]]. Der Test ist benannt nach [[Carl Friedrich Gauß]].

Mit dem Gauß-Test werden anhand von [[Stichprobe]]n-[[Arithmetisches Mittel|Mittelwerten]] [[Hypothese (Statistik)|Hypothesen]] über die [[Erwartungswert]]e derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.

Der Gauß-Test folgt einer ähnlichen Methode wie der [[t-Test]]. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den [[Empirische Standardabweichung|empirischen Standardabweichungen]] der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichungen der Grundgesamtheiten]] bekannt sein. Des Weiteren verwendet der Gauß-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Kennwerteverteilung, während der t-Test auf die [[Studentsche t-Verteilung|t-Verteilung]] zurückgreift. Somit ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

== Mathematische Grundlagen ==
Sind <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Zufallsvariable]]n mit [[Erwartungswert]] <math>\mu_X</math> und [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\sigma_X</math>, so ist ihr [[arithmetisches Mittel]]
:<math>\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math>

normalverteilt mit Erwartungswert <math>\mu_X</math> und Standardabweichung <math>\sigma_X/\sqrt{n}</math>.

Die [[Stichprobenfunktion]]
:<math>Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}</math>

ist dann unter der Nullhypothese <math>\mu_X=\mu_0</math> [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] und wird als [[Teststatistik]] verwendet. Sie heißt auch Gauß-Statistik.

Die Teststatistik kann geschrieben werden als:
:<math>Z = \frac{\bar X - \mu_X}{\sigma_X}\sqrt{n}+\frac{\mu_X-\mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}=X+\frac{\mu_X-\mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}</math>,

also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>X</math> plus eine Zahl, die auf [[Standardisierung (Statistik)|standardisierte]] Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.

Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen <math>Y_1, Y_2, \dots, Y_m</math> mit Erwartungswert <math>\mu_Y</math>, Standardabweichung <math>\sigma_Y</math> und arithmetischem Mittel
:<math>\bar Y = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i</math>

vor, die zusätzlich unabhängig von der <math>X</math>-Stichprobe sind, so ist <math>\bar X-\bar Y</math> normalverteilt mit Erwartungswert <math>\mu_X - \mu_Y</math> und Standardabweichung <math>\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}</math>.

Die Stichprobenfunktion
:<math>Z = \frac{(\bar X - \bar Y)-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}}</math>

ist dann unter der Nullhypothese <math>\mu_X-\mu_Y=\delta</math> standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

== Einstichproben-Gauß-Test ==
{{Hauptartikel|Einstichproben Gauß-Test}}

=== Anwendung ===
Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittels]] einer [[Stichprobe]], ob der Erwartungswert der zugehörigen [[Grundgesamtheit]] ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Stichprobe <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> bestehe aus den Ausprägungen unabhängiger Zufallsvariablen und entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert <math>\mu</math> und bekannter Standardabweichung <math>\sigma</math>.

Es werden getestet bei einem

* zweiseitigen Test: <math>H_0\colon \mu = \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu \neq \mu_0</math>
* rechtsseitigen Test: <math>H_0\colon \mu \leq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu > \mu_0</math>
* linksseitigen Test: <math>H_0\colon \mu \geq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu < \mu_0</math>

Der Wert von <math>\mu_0</math> wird vom Anwender vorgegeben.

=== Berechnung der Testprüfgröße ===
Mit dem Stichprobenmittelwert <math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math> berechnet man die Testprüfgröße <math>z = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma}</math>.

== Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben ==
=== Anwendung ===
Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die unabhängigen Stichproben <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> und <math>y_1, y_2, \dots, y_m</math> sollen auch untereinander unabhängig sein und normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten <math>\mu_X</math> bzw. <math>\mu_Y</math> und bekannten Standardabweichungen <math>\sigma_X</math> bzw. <math>\sigma_Y</math> entstammen.

Es werden getestet bei einem

* zweiseitigen Test: <math>H_0\colon \mu_X - \mu_Y = \mu_0\!\,</math> gegen <math>H_1\colon \mu_X - \mu_Y \neq \mu_0</math>
* rechtsseitigen Test: <math>H_0\colon \mu_X - \mu_Y \leq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu_X - \mu_Y > \mu_0</math>
* linksseitigen Test: <math>H_0\colon \mu_X - \mu_Y \geq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu_X - \mu_Y < \mu_0</math>

Der Wert von <math>\mu_0</math> wird vom Anwender vorgegeben.

=== Berechnung der Testprüfgröße ===
Mit den Stichprobenmittelwerten <math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math> und <math>\bar y = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i</math> berechnet man die Testprüfgröße <math>z = \frac{\bar x - \bar y - \mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}}</math>.

== Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben ==

=== Anwendung ===
Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare <math>(x_i, y_i)</math> von Messwerten vorliegen, wie man sie z. B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen [[Grundgesamtheit]] ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Differenzen <math>d_i = x_i - y_i</math> sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert <math>\mu</math> und bekannter Standardabweichung <math>\sigma</math> entstammen.

Es werden getestet bei einem

* zweiseitigen Test: <math>H_0\colon \mu = \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu \neq \mu_0</math>
* rechtsseitigen Test: <math>H_0\colon \mu \leq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu > \mu_0</math>
* linksseitigen Test: <math>H_0\colon \mu \geq \mu_0</math> gegen <math>H_1\colon \mu < \mu_0</math>

<math>\mu_0</math> wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ (<math>H_1</math>) getestet; dann ist <math>\mu_0 = 0</math>.

=== Berechnung der Testprüfgröße ===
Die Differenzen <math>d_i</math> bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel <math>\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i</math>. Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße <math>z = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar d - \mu_0}{\sigma}</math>.

== Entscheidung über die Hypothesen ==
Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für [[Statistischer Test|Hypothesentests]] angewendet. Da <math>Z</math> unter der [[Nullhypothese]] eine [[standardnormalverteilte Zufallsvariable]] ist, erhält man die folgenden Regeln.<ref>Patrick Planing: [https://statistikgrundlagen.de/ebook/chapter/z-test-gausstest/ Z-Test/Gaußtest]</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!
!zweiseitiger Test
!rechtsseitiger Test
!linksseitiger Test
|-
! rowspan="2" |Hypothesen
|<math>H_0\colon \mu = \mu_0</math>
|<math>H_0\colon \mu \leq \mu_0</math>
|<math>H_0\colon \mu \geq \mu_0</math>
|-
|<math>H_1\colon \mu \neq \mu_0</math>
|<math>H_1\colon \mu > \mu_0</math>
|<math>H_1\colon \mu < \mu_0</math>
|-
![[Stichprobenfunktion]]
|<math>Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}</math>
|<math>Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}</math>
|<math>Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_X}\sqrt{n}</math>
|-
!Bedingung für Ablehnung von <math>H_0</math> und Annahme von <math>H_1</math>
|<math>|Z| > Z_{1-\tfrac{\alpha}{2}}</math>
|<math>Z > Z_{1-\alpha}</math>
|<math>Z < -Z_{1-\alpha}</math>
|}
== Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen ==
Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatzes]] auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

== Beispiel ==
Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit <math>\sigma = 2</math>. Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d. h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).

Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:

ohne Gabe von P xi 12 13 10 12 14 11 14 18 15 13 15 13 11 17 11 12 13 14 15 13 14 13
mit Gabe von P yi 13 14 13 17 13 16 16 19 17 15 17 15 15 20 15 15 14 15 13 15 16 15

Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau <math>\alpha</math> soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):
* <math>u(1-\alpha/2) = u(0{,}975) = 1{,}960</math>
* <math>u(1-\alpha) = u(0{,}95) = 1{,}645</math>
* <math>u(\alpha) = u(0{,}05) = -1{,}645</math>

Für die Mittelwerte berechnet man <math>\bar x = 13{,}32</math> und <math>\bar y = 15{,}36</math>.

* 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.

: Verfahren: rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test

: <math>H_0: \mu \leq \mu_0 = 15</math> und <math>H_1: \mu > 15\!\,</math>

: <math>z = \sqrt{22} \cdot \frac{15{,}36 - 15}{2} = 0{,}84 < 1{,}645</math>

: Entscheidung: H0 wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.

* 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.

: Verfahren: zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

: <math>H_0: \mu_x - \mu_y = \mu_0 = 0\!\,</math> und <math>H_1: \mu_x \neq \mu_y</math>

: <math>|z| = \sqrt{22} \cdot \frac{|13{,}32 - 15{,}36|}{2 \cdot \sqrt{2}} = 3{,}38 > 1{,}960</math>

: Entscheidung: H0 wird zugunsten von H1 verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.

Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit <math>\sigma = 1{,}6</math>. In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.

* 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.

: Verfahren: linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben

: <math>H_0: \mu \geq \mu_0 = -1{,}25</math> und <math>H_1: \mu < -1{,}25\!\,</math>

: <math>\bar d = \bar x - \bar y = -2{,}045</math>

: <math>z = \sqrt{22} \cdot \frac{-2{,}045 + 1,25}{1{,}6} = -2{,}33 < -1{,}645</math>

: Entscheidung: H0 wird zugunsten von H1 verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.

== Siehe auch ==
* [[t-Test]]
* [[Varianzanalyse]]

== Literatur ==
* Rönz/Strohe (Hrsg.): ''Lexikon Statistik''. Gabler, 1994, ISBN 978-3-409-19952-0.
* Irle: ''Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik''. Kap. 20. Vieweg und Teubner, 2. Aufl. 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.
* Cramer/Kamps: ''Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften''. S. 271ff. Springer, 2. Aufl. 2008, ISBN 978-3-540-77760-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Gausstest}}
[[Kategorie:Parametrischer Test]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gauß-Test - Versionsgeschichte

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