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2024-08-26T12:55:46Z

HC: Ergänze Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber

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Die '''Gauß- bzw. Laplace-Pyramiden''', auch '''Burt-Adelson-Pyramiden''' oder '''Gauß- und Laplacepyramide''' genannt, sind [[Algorithmus|Algorithmen]] der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]]. Sie wurden 1981/83 von [[Peter J. Burt]] und [[Edward H. Adelson]] in die [[digitale Bildverarbeitung]] eingeführt, um einige bekannte Algorithmen systematisch zu vereinheitlichen. 1988 wurde der Grundgedanke dieser Datenstruktur von [[Stéphane Mallat]] und [[Yves Meyer]] in die [[Funktionalanalysis]] übertragen. Dort ist er als [[Multiskalenanalyse|Multiskalenanalyse (MRA)]] der [[Wavelet]]theorie bekannt.

Zu den Charakteristika digitaler Bilder, die zur Erkennung bestimmter Strukturen oder Bildmanipulation verwendet werden, gehören [[Unschärfe]] und [[Schärfentiefe|Schärfe]]. Informationen zu diesen Merkmalen finden sich in den [[Frequenzband|Frequenzbändern]]. Um die einzelnen Frequenzbänder zu ermitteln, können [[Filterkern]]e oder die [[Fouriertransformation]] genutzt werden, was mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden ist. Alternativ dazu verwendet man eine Gauß-Laplace-Pyramide.
[[Datei:Frequenzbaender.JPG|mini|Frequenzbänder einer Gaußpyramide]]

== Erstellung einer Gauß-Laplace-Pyramide ==

Um eine Gauß-Laplace-Pyramide zu entwickeln, muss zunächst eine ''Gauß-Pyramide'' konstruiert werden. Das Originalbild stellt die unterste Pyramidenstufe ''G0'' dar. Die nächsthöhere Stufe ''G1'' wird über eine [[Tiefpass]]faltung (<math>fg=f/2</math>) und Halbierung der Stützstellen von ''G0'' errechnet. Dieser Prozess wird von Stufe zu Stufe fortgesetzt, bis das Bild eine Größe von 1 × 1 [[Pixel]] erreicht. Die Tiefpassfaltung wird über eine [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] mit einer [[Gaußglocke]] realisiert. In der Praxis wird das Bild mit einem [[Binomialfilter]] gefaltet. Es ist anzumerken, dass das Originalbild ''G0'' eine Seitenlänge von <math>2^n</math> Pixel aufweisen muss (ein Bild kann in Bildblöcke unterteilt werden). Die sich am Ende ergebende Gauß-Pyramide aus den Bildern der verschiedenen Stufen entspricht einer Unterteilung in Bilder, die jeweils einen gewissen Frequenzanteil repräsentieren. Jeder Nachfolger eines Bildes besitzt nur noch ein Viertel der Pixel des Vorgängers.

[[Datei:Laplaceebene.JPG|mini|Frequenzband einer gebildeten Laplacepyramidenebene]]
Nachdem eine Gauß-Pyramide konstruiert worden ist, wird daraus eine ''Laplace-Pyramide'' entwickelt. Eine Laplace-Pyramidenebene wird über die Bildung der Differenz zwei benachbarter Gauß-Pyramidenebenen erzielt. Dies wird als DoG-Algorithmus ''({{lang|en|difference of Gaussian}})'' bezeichnet. Beide Stufen müssen die gleiche Größe aufweisen. Da dies bei der Gauß-Pyramide nicht der Fall ist, muss das kleinere Bild durch [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] auf die Größe des anderen Bildes gebracht werden. Die einzelnen Laplace-Pyramidenebenen repräsentieren die Schärfeanteile eines Bildes. Das Bild ''L0'' enthält dabei die höchsten Frequenzanteile.

[[Datei:Rekonstruktion.JPG|mini|Rekonstruktion]]
Nachdem die Gauß-Laplace-Pyramidenebene gebildet und eventuell die einzelnen Schichten bearbeitet worden sind, muss die Gauß-Laplace-Pyramide rekonstruiert werden. Dafür werden die gewünschten Laplace-Pyramideebenen und die höchste Gauß-Pyramidenebene aufsummiert.

== Anwendung ==

Die Gauß-Laplace-Pyramide wird zur Lösung zahlreicher Bildverarbeitungsprozesse genutzt. Ein beliebter Anwendungsbereich ist die [[Datenkompression]]. Bei der Datenkompression eines Bildes werden hohe Frequenzen entfernt, da diese den geringsten Informationsanteil darstellen. Dazu werden die höchsten Laplace-Pyramidenebenen weggelassen. Außerdem können die Stützstellen quantisiert und die einzelnen Ebenen mittels eines [[Quadtree]]s dargestellt werden. Ein Vorteil dieser Methode ist die intelligente Dekompression: Die unteren Ebenen der Bildpyramide werden zuerst dekomprimiert, denn die niedrige Frequenzen enthalten die meisten Informationen und benötigen den geringsten Rechenaufwand. Das Bild wird während der Dekompression aufgebaut.

Eine weitere Anwendungsmöglichkeit ist das [[Mosaicing]]. Dabei werden verschiedene Bilder miteinander verschmolzen, indem die Bilder in Bildpyramiden zerlegt und mit Hilfe einer Maske gewichtet und aufsummiert werden. Anschließend wird das Bild rekonstruiert und eventuell nachbearbeitet. Man bearbeitet die Frequenzbänder separat, um eine Kantenbildung zu vermeiden.

Gauß-Laplace-Pyramiden finden zudem Anwendung in der Oberflächen- bzw. Strukturerkennung. Hierbei macht man sich die Schärfe und Unschärfe von Bildern zunutze. Bei diesem Verfahren werden bestimmte Frequenzbänder eines Bildes ermittelt, um diese Informationen anschließend weiter zu verarbeiten.

== Weblinks ==
* [https://www.cs.tau.ac.il/~hezy/Vision%20Seminar/pyramid83.pdf Burt/Adelson: The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code (1983)] (PDF; 992 kB)
* [http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/figures/pyramid1.gif Beispiel]

{{SORTIERUNG:GaussLaplacePyramide}}
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Bildverarbeitung]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Gauß-Laplace-Pyramide - Versionsgeschichte

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