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2026-02-12T18:10:49Z

Beispiel

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Der '''Gauß-Jordan-Algorithmus''' ist ein [[Algorithmus]] aus den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und [[Numerik]]. Mit dem Verfahren lässt sich die Lösung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] berechnen. Es ist eine Erweiterung des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußschen Eliminationsverfahrens]], bei dem in einem zusätzlichen Schritt das Gleichungssystem bzw. dessen [[erweiterte Koeffizientenmatrix]] auf die [[Lineares Gleichungssystem#Reduzierte Stufenform|reduzierte Stufenform]] gebracht wird. Daraus lässt sich dann die Lösung direkt ablesen.
Außerdem kann der Gauß-Jordan-Algorithmus zur Berechnung der [[Inverse Matrix#Gauß-Jordan-Algorithmus|Inversen einer Matrix]] verwendet werden.

Namensgeber neben [[Carl Friedrich Gauß]] ist nicht, wie gelegentlich angenommen wird,<ref>Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle: ''Mathematik für Ingenieure,'' Band 1. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2000, S. 110.</ref> der ebenfalls in der Linearen Algebra herausragende französische Mathematiker [[Camille Jordan]], sondern der deutsche Geodät [[Wilhelm Jordan (Geodät)|Wilhelm Jordan]]. Dieser ist aber mit großer Wahrscheinlichkeit nicht der „Erfinder“ des zusätzlichen Algorithmusschrittes, sondern nur derjenige, der es seinem Leser- und Hörerkreis nähergebracht hat.<ref>Steven C. Althoen, Renate McLaughlin: {{Webarchiv|url=http://macs.citadel.edu/chenm/240.dir/12fal.dir/history4.pdf |wayback=20160123200448 |text=''Gauss-Jordan Reduction: A Brief History'' }} (englisch; PDF, 370 kB). In: ''American Mathematical Monthly,'' Bd. 94, 1987, S. 130–142.</ref>

== Umformungsschritte ==

# Man wählt die erste Spalte von links, in der mindestens ein von Null verschiedener Wert steht.
# Ist die oberste Zahl der gewählten Spalte eine Null, so vertauscht man die erste Zeile mit einer anderen Zeile, in der in dieser Spalte keine Null steht.
# Man dividiert die erste Zeile durch das nun oberste Element der gewählten Spalte.
# Man subtrahiert entsprechende Vielfache der ersten Zeile von den darunterliegenden Zeilen mit dem Ziel, dass das erste Element jeder Zeile (außer der ersten) Null wird.
# Durch Streichen der ersten Zeile und Spalte erhält man eine Restmatrix, auf die man diese Schritte wieder anwendet. Das führt man solange durch, bis die Matrix in Zeilenstufenform ist.
# Man zieht danach von den darüberliegenden Zeilen entsprechende Vielfache der jeweils passenden darunterliegenden Zeile ab, sodass über jeder führenden 1 nur noch Nullen stehen.

== Beispiel ==

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
:<math>
\begin{align}
a &+ \ \ b + c = 0\\
4a &+ 2b+ c = 1\\
9a &+ 3b+ c = 3
\end{align}
</math>

Nun wird die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems gebildet. In der ersten Spalte stehen die Faktoren der Variablen <math>a</math>, in der zweiten die der Variablen <math>b</math>, in der dritten die der Variablen <math>c</math> und in der vierten die rechte Seite des Gleichungssystems. Von den einzelnen Zeilen dieser Matrix sollen solche Vielfache der übrigen Zeilen subtrahiert werden, dass schließlich auf der linken Seite die [[Einheitsmatrix]] steht:
: <math>
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 2 & 1 & 1 \\
9 & 3 & 1 & 3
\end{array}\right)
</math>

Nun werden folgende Zeilentransformationen vorgenommen:
* Von Zeile 2 wird subtrahiert: 4 × Zeile 1.
* Von Zeile 3 wird subtrahiert: 9 × Zeile 1.

Damit ergibt sich:
: <math>
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 &\ 1 &\ 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1 \\
0 & -6 & -8 & 3
\end{array}\right)
</math>

* Von Zeile 3 wird subtrahiert: 3 × Zeile 2.
* Zeile 2 wird dividiert durch −2.

: <math>
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 &\ 0 \\
0 & 1 & {3 \over 2} & -{1 \over 2} \\
0 & 0 & 1 &\ 0
\end{array}\right)
</math>

* Von Zeile 1 wird subtrahiert: 1 × Zeile 3.
* Von Zeile 2 wird subtrahiert: 3/2 × Zeile 3.

: <math>
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 &\ 0 \\
0 & 1 & 0 &-{1 \over 2} \\
0 & 0 & 1 &\ 0
\end{array}\right)
</math>

* Von Zeile 1 wird subtrahiert: 1 × Zeile 2.

: <math>
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 &\ {1 \over 2} \\
0 & 1 & 0 & -{1 \over 2} \\
0 & 0 & 1 &\ 0
\end{array}\right)
</math>

Diese Matrix wird nun wieder in ein Gleichungssystem übertragen. Da in jeder Zeile aber nur eine Variable steht, erhält man sofort
: <math>a = \frac{1}{2}, \ b = -\frac{1}{2}, \ c = 0</math>.

== Literatur ==
* Howard Anton: ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg, Berlin, ISBN 3-8274-0324-3.

== Weblinks ==
* [https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm Das Gauß-Jordan-Verfahren interaktiv mit vollständigen Lösungswegen]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:GaussJordanAlgorithmus}}
[[Kategorie:Algorithmus]]
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gauß-Jordan-Algorithmus - Versionsgeschichte

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