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2026-01-25T15:42:51Z

Einzelnachweise: Quellenangabe korrigiert.

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[[Datei:Gauss-Filter-Uebertragungsfunktion.svg|mini|[[Übertragungsfunktion|Betragsfrequenzgang]] <math>\left\vert H(j\omega) \right\vert</math> eines Gauß-Filters mit normierter [[Frequenz]] und einer [[Bandbreite]] <math>B</math> von 1.]]

[[Datei:Gauss-Filter-Impulsantwort.svg|mini|[[Impulsantwort]] <math>h(t)</math> eines Gauß-Filters]]

'''Gauß-Filter''' sind [[Filter (Elektronik)|Frequenzfilter]], welche bei der [[Sprungantwort]] keine Überschwingung und gleichzeitig maximale Flankensteilheit im Übergangsbereich aufweisen. Als Besonderheit besitzt bei diesem [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]] sowohl die [[Übertragungsfunktion]] als auch die [[Impulsantwort]] den Verlauf einer [[Normalverteilung|gaußschen Glockenkurve]], wie in den Abbildungen dargestellt, wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet.

Anwendungsbereiche dieses Filters liegen bei digitalen [[Modulation (Technik)|Modulationsverfahren]] und im Bereich der [[Bildverarbeitung]].

Ein Gauß-Filter [[Faltung (Mathematik)|faltet]] das Eingangssignal mit einer [[Normalverteilung|Gauß-Verteilung]], um die Glättung zu erzielen.

'''Binomialfilter''' approximieren Gauß-Filter effizient und nutzen dabei, dass die (diskrete) [[Binomialverteilung]] der (kontinuierlichen) [[Normalverteilung|Gauß-Verteilung]] ähneln kann.

== Eigenschaften ==
Ein [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]] wird als Gauß-Filter bezeichnet, wenn die geschätzten [[Dichteoperator|Dichten]] über dem unbekannten Zustand durch Gauß-Dichten dargestellt werden. Gauß-Filter sind insbesondere für höherdimensionale Systeme attraktiv, da sie normalerweise einfacher zu implementieren sind als Filter, die mit komplexeren Arten von Dichten arbeiten. Die Rechenanforderungen sind typischerweise niedriger und die Schätzung kann kompakt durch den mittleren Vektor und die [[Kovarianzmatrix]] dargestellt werden.

Andererseits ist die einfache Dichtedarstellung in einigen Fällen nicht ausreichend, um die Zustandsschätzung darzustellen. Darüber hinaus gibt es verschiedene Arten von Gauß-Filtern, die weitere Annahmen treffen, beispielsweise eine zweite Gaußsche Annahme zwischen Zustand und Messung. Diese Filter erreichen natürlich nicht die Leistung von Filtern, die nur die Zustandsschätzungen als Gauß-Filter festlegen. Ohne zusätzliche Annahmen sind Gauß-Filter jedoch weitaus schwieriger zu entwerfen.<ref>{{Literatur |Autor=Uwe D. Hanebeck |Titel=PGF 42: Progressive Gaussian filtering with a twist |Hrsg=IEEE |Sammelwerk=Proceedings of the 16th International Conference on Information Fusion |Ort=Istanbul, Turkey |Datum=2013 |Seiten=1103-1110 |Online=https://isas.iar.kit.edu/pdf/Fusion13_Hanebeck.pdf}}</ref>

== Definition ==
Der [[Eindimensional|eindimensionale]] Gauß-Filter hat eine [[Impulsantwort]], die durch

:<math>g(x)= \sqrt{\frac{a}{\pi}}\cdot \text{e}^{-a \cdot x^2}</math>

gegeben ist und der [[Frequenzgang]] ist durch die [[Fourier-Transformation]] gegeben

:<math>\hat g(f)= \text{e}^{-\frac{\pi^2f^2}{a}}</math>

wobei <math>f</math> die gewöhnliche [[Frequenz]] ist. Diese [[Gleichung]]en können auch mit der [[Standardabweichung]] als [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] ausgedrückt werden:

:<math>g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\cdot \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}</math>

und der Frequenzgang ist gegeben durch

:<math>\hat g(f) = \text{e}^{-\frac{f^2}{2\sigma_f^2}}</math>

Für <math>a</math> als [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von <math>\sigma</math> mit den beiden Gleichungen für <math>g(x)</math> und als Funktion von <math>\sigma_f</math> mit den beiden Gleichungen für <math>\hat g(f)</math> geschrieben ist das Produkt der Standardabweichung und der Standardabweichung im [[Frequenzband]] gegeben durch

:<math>\sigma\cdot\sigma_f=\frac{1}{2\pi}</math>

wobei die [[Standardabweichung]]en in ihren [[Physikalische Einheit|physikalischen Einheiten]] ausgedrückt werden, z. B. im Fall von [[Zeit]] und [[Frequenz]] in [[Sekunde]]n bzw. [[Hertz (Einheit)|Hertz]].

In zwei Dimensionen ist es das Produkt von zwei solchen Gauß-Filtern, einer pro Richtung:

:<math>g(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} \cdot \text{e}^{-\frac{x^2 + y^2}{2 \sigma^2}}</math>

Dabei ist <math>x</math> der Abstand vom Ursprung auf der horizontalen Achse, <math>y</math> der Abstand vom Ursprung auf der vertikalen Achse und <math>\sigma</math> die Standardabweichung der [[Normalverteilung]].<ref>Richard A. Haddad and Ali N. Akansu, New Jersey Institute of Technology: [https://web.njit.edu/~akansu/PAPERS/Haddad-AkansuFastGaussianBinomialFiltersIEEE-TSP-March1991.pdf A Class of Fast Gaussian Binomial Filters for Speech and Image Processing]</ref>

== Übertragungsfunktion ==
Der Betrag der [[Übertragungsfunktion]] <math>H(j\omega)</math> ist bei Gauß-Filtern gegeben durch

:<math>|H(j\omega)| = \text{e}^{- \left( {\frac{\omega}{2 \alpha}} \right) ^2}</math>

mit der Konstanten <math>\alpha</math>

:<math>\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{\ln(\sqrt{2})}}</math>.

Die [[Impulsantwort]] eines Gauß-Filters lautet

:<math>h(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{\pi}} \text{e}^{{-(\alpha t)}^2}</math>.

Daraus ist ersichtlich, dass das Gauß-Filter eine Idealisierung darstellt, denn es ist nicht-[[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)#Kausale Systeme|kausal]]: Die Hälfte der Impulsantwort (Verlauf bei t < 0) ist am Ausgang des [[Filter (Mathematik)|Filters]] bereits erschienen, wenn am Eingang des Filters das auslösende Signal, der Impuls, bei t = 0 auftritt.

{{Absatz}}

== Anwendungen ==

=== Digitale Signalverarbeitung ===
[[Datei:GMSK GSM.svg|mini|Ein Rechteckimpuls, blau punktiert dargestellt, wird durch die Impulsformung eines Gauß-Filters in den rot dargestellten Signalverlauf übergeführt.]]
Gauß-Filter besitzen eine konstante [[Gruppenlaufzeit]] im Sperr- und Durchlassbereich und kein Überschwingen in der [[Sprungantwort]]<ref name="dell1" />. Einsatzbereich dieses Filters liegt primär zur Impulsformung mit Anwendungsbereichen in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]].

Die Impulsformung findet bei digitalen [[Modulation (Technik)|Modulationsverfahren]] wie dem [[Gaussian Minimum Shift Keying]] (GMSK) Verwendung, da damit die einzelnen, meist rechteckförmigen Sendesymbole in Impulse der gaußschen Glockenkurve mit geringerem [[Bandbreite]]nbedarf als die ursprünglichen rechteckförmigen Sendesymbole umgewandelt werden können. Damit ist eine höhere [[spektrale Effizienz]] des Modulationsverfahrens verbunden.

In [[Mobilfunk]]systemen wie [[Global System for Mobile Communications|GSM]] werden Gauß-Filter im Rahmen der GMSK-Modulation auf der Funkschnittstelle zur Übertragung der digitalen Sprach- und Steuerinformationen eingesetzt.

Weitere Anwendungen liegen bei Modulationstechniken wie dem [[Chirp Spread Spectrum]], bei dem die unstetige Frequenzänderung bei zeitlich aufeinanderfolgenden [[Chirp]]s durch Gauß-Filter geglättet wird.

{{Absatz}}

=== Bildverarbeitung ===
[[Datei:Halftone, Gaussian Blur.jpg|mini|Mit einem Gauß-Filter geglättetes [[Halbtonbild]] ]]
In der [[Bildverarbeitung]] werden Gauß-Filter zur Glättung oder zum [[Weichzeichnen]] des Bildinhaltes verwendet. Es kann damit das Bildrauschen vermindert werden: Kleinere Strukturen gehen verloren, gröbere Strukturen bleiben dagegen erhalten<ref>Beispiel: {{Webarchiv |url=http://holiday.snrk.de/SnarkSearch.cgi |text=Entfernen von Gravurlinien |wayback=20100310103512}} für den Vergleich größerer Strukturen in einem [[Holzstich]] (1876, [[Henry Holiday]]) und in einer [[Radierung]] (1566–1568, Markus Gheeraerts der Ältere).</ref>. Spektral kommt die Glättung einem [[Tiefpassfilter]] gleich. Im Bereich des [[Deep Learning]] kann die Verwendung eines Gauß-Filters zur [[Bildvorverarbeitung]] die Erkennung von Materialfehlern wie Kratzern oder Rissen an Objekten verbessern und dadurch die Gesamtleistung eines Modells bei der Klassifizierung steigern<ref>{{Literatur |Autor=Ricardo Buettner, Christopher Mai, Pascal Penava |Titel=Improvement of Deep Learning Models Using Retinal Filter: A Systematic Evaluation of the Effect of Gaussian Filtering With a Focus on Industrial Inspection Data |Sammelwerk=IEEE Access |Band=13 |Datum=2025 |ISSN=2169-3536 |DOI=10.1109/ACCESS.2025.3549271 |Seiten=43201–43217 |Online=https://ieeexplore.ieee.org/document/10916618/ |Abruf=}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Christopher Mai, Pascal Penava, Ricardo Buettner |Titel=A Novel Deep Learning-Based Approach for Defect Detection of Synthetic Leather Using Gaussian Filtering |Sammelwerk=IEEE Access |Band=12 |Datum=2024 |ISSN=2169-3536 |DOI=10.1109/ACCESS.2024.3521497 |Seiten= |Online=https://ieeexplore.ieee.org/document/10812727/ |Abruf=}}</ref>.

Da ein Bild zwei Dimensionen aufweist, muss für die Bildverarbeitung die Impulsantwort auf zwei Dimensionen erweitert werden. Die Impulsantwort besitzt die beiden Argumente <math>x</math> und <math>y</math> entsprechend den Raumrichtungen:

:<math>h(x,y) = \frac{\alpha^2}{\pi} \text{e}^{- \alpha^2 (x^2 + y^2)}</math>.

Für praktische Realisierungen im Rahmen der digitalen Bildverarbeitung wird die diskrete Impulsantwort meist in Form einer zweidimensionalen [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] verwendet.

Alternativ wird in der Literatur bei der Beschreibung von Gauß-Filtern statt der Konstanten <math>\alpha</math> dazu gleichwertig die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math> in dem Ausdruck der Impulsantwort verwendet – was die mathematische Nähe der Impulsantwort eines Gauß-Filters zur Funktion der [[Normalverteilung]] ausdrückt. Bei einer Dimension ist die Impulsantwort:

:<math>h(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \text{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}</math>

Die Impulsantwort bei zwei Dimensionen ergibt sich aus dem Produkt der beiden Richtungen in ''x'' und ''y'':

:<math>h(x,y) = \frac{1}{{2\pi}\sigma^2} \text{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}</math>

Durch Ausnutzung der [[Separierbarkeit]] kann die [[Rechenzeit]] deutlich reduziert werden.

{{Absatz}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor = [[Karl-Dirk Kammeyer]], Volker Kühn |Titel = MATLAB in der Nachrichtentechnik |Verlag = J. Schlembach Fachverlag |Jahr = 2001 |Auflage = 1 |ISBN = 3-935340-05-2}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="dell1">{{Internetquelle|url=http://www.fritz.dellsperger.net/downloads/FILTER%202012.pdf|titel=Passive Filter|autor=F. Dellsperger|hrsg=Berner Fachhochschule, Hochschule für Technik und Informatik HTI, Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik|werk=|seiten=25|datum=2012|sprache=|zugriff=2017-07-17}}</ref>
</references>

{{SORTIERUNG:Gaussfilter}}
[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]
[[Kategorie:Bildverarbeitung]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Gauß-Filter - Versionsgeschichte

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