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2026-02-16T23:29:02Z

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{{QS-Physik|Unerledigt=2016}}
Die '''Gasdynamik''' ist ein Fachgebiet der [[Strömungsmechanik|Fluidmechanik]] bzw. ''Strömungslehre'' und setzt sich mit [[Kompressionsmodul #Kompressibilität|kompressiblen]] (dichteveränderlichen) Strömungen auseinander. Es umfasst sowohl ''externe Strömungen'', z. B. über [[Flugzeug|Flugzeugen]] oder [[Wiedereintritt]]s<nowiki/>körpern ([[Space Shuttle]] oder Landekapseln von [[Raumschiff]]en), als auch ''interne Strömungen'' durch [[Düse|Düsen]] und [[Diffusor (Strömungsmechanik)|Diffusoren]].

Nach einer Definition von [[Lew Dawidowitsch Landau|Lew Landau]]/[[Jewgeni Michailowitsch Lifschiz|Jewgeni Lifschiz]] bezeichnet ''Gasdynamik'' die Dynamik von Hochgeschwindigkeitsströmungen, wenn die [[Strömungsgeschwindigkeit]] eines Fluids mit der [[Schallgeschwindigkeit]] vergleichbar wird oder diese übersteigt. Dabei spielen Effekte aufgrund der [[Kompressibilitätsfaktor|Kompressibilität]] des Fluids eine entscheidende Rolle. Solche Bewegungen treten in der Praxis bei [[Kinetische Gastheorie|Gasen]] auf.<ref>{{Literatur |Autor=E. M. Lifshitz, L. D. Landau |Titel=Fluid Mechanics (dt.: Hydrodynamik) |Sammelwerk=Course of Theoretical Physics (dt.: Lehrbuch der theoretischen Physik) |Band=6 |Auflage=2. |Verlag=Pergamon Press |Ort=Oxford |Datum=1987 |Sprache=en |Kapitel=IX. SHOCK WAVES |Online=https://archive.org/details/landau-and-lifshitz-physics-textbooks-series/Vol%206%20-%20Landau%2C%20Lifshitz%20-%20Fluid%20mechanics%20%282nd%20ed%2C%201987%29/ |Originaltitel=}}</ref>

== Isentropen Gasströmung ==
=== Gesetzmäßigkeiten und Annahmen ===
Wenn die Annahmen der [[Stromfadentheorie]] erfüllt sind, kann eine Strömung als eindimensional beschrieben werden. Aufgrund der relativ geringen Dichte von Gasen kann in der Regel die Wirkung der [[Gravitation]] vernachlässigt werden. Es wird für die mathematische Beschreibung des Weiteren angenommen, dass dem Gas keine Wärme zu- oder abgeführt wird und keine Reibungsverluste auftreten. Die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] ist damit konstant. Und es gilt die ''Isentropenbeziehung'':
:<math>p \sim \rho ^\kappa</math>

Der Energieerhaltungssatz kann wie folgt formuliert werden und sagt aus, dass die Summe aus kinetischer Energie und [[Enthalpie]] längs des [[Stromfaden]]s konstant ist.
:<math>\frac {u^2} 2 + c_{\text {p}} T = c_{\text {p}} T_t = konst.</math>

Es gilt die [[Kontinuitätsgleichung]], welche ausdrückt, dass keine Masse verloren geht. Der [[Massenstrom]] längs des Stromfadens ist konstant.
:<math>\dot{m} = \rho \cdot u \cdot A = konst.</math>

Die Eigenschaften des Gases lassen sich durch die [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase|Zustandsgleichung]] des [[ideales Gas|idealen Gases]] beschreiben.
:<math>p = \rho \cdot R_s \cdot T \!\,</math>

Damit stehen vier Gleichungen zur Verfügung, um die vier Variablen (Geschwindigkeit ''u'', Druck ''p'', Temperatur ''T'', Dichte ''ρ'') eindeutig zu beschreiben. Mit einer mathematischen Umformung lassen sich die variablen Zustandsgrößen der Strömung als dimensionslose Beziehungen ausdrücken. Dabei wird Druck, Temperatur und Dichte auf die [[Ruhegröße]]n bezogen (Index t). Die Ruhegrößen beschreiben den Zustand, der sich einstellt, wenn die Strömung verlustfrei bis zum Stillstand verzögert würde. Bei einer Strömung, die aus einem großen Druckbehälter startet, sind Behälterdruck, -temperatur und -dichte die Ruhegrößen (Verlustfreiheit vorausgesetzt).

Die Geschwindigkeit kann nicht auf den Ruhezustand bezogen werden (Division durch Null), aber als [[Machzahl]] ''Ma'' und [[Lavalzahl]] ''M*'' dargestellt werden. Dazu wird die [[Schallgeschwindigkeit]] ''c'' herangezogen.

:<math>c=\sqrt{\kappa R_s T}</math>

:<math>M\!a=\frac{u}{\sqrt{\kappa R_s T}}</math>

:<math>M^*=\frac{u}{\sqrt{\frac{2 \kappa}{\kappa+1} R_s T_t}}</math>

=== Dimensionslose Beziehungen ===
Die angegebenen dimensionslosen Größen sind [[Dimensionslose Kennzahl|Ähnlichkeitskennzahlen]] und können wie folgt ineinander umgerechnet werden.
{| class="wikitable"
|-
|
|style="text-align:center"| '''Quadrat der [[Machzahl]]'''
|style="text-align:center"| '''Quadrat der [[Lavalzahl]]'''
|style="text-align:center"| '''Temperaturverhältnis'''
|style="text-align:center"| '''Druckverhältnis'''
|style="text-align:center"| '''Dichteverhältnis'''
|-
|
|style="text-align:center"| <math>M\!a^2\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>M^{*2}\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{T}{T_t}</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{p}{p_t}</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{\rho}{\rho_t}</math>
|-
| <math>M\!a^2=\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>M\!a^2\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{M^{*2}}{1-\frac{\kappa -1}{2}(M^{*2}-1)}</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{2}{\kappa -1}\left(\frac{T_t}{T}-1\right)</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{2}{\kappa -1}\left[\left(\frac{p_t}{p}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}-1\right]</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{2}{\kappa -1}\left[\left(\frac{\rho_t}{\rho}\right)^{\kappa -1}-1\right]</math>
|-
| <math>M^{*2}=\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{M\!a^2}{1+\frac{\kappa -1}{\kappa +1}(M\!a^2-1)}</math>
|style="text-align:center"| <math>M^{*2}\!\,</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{\kappa +1}{\kappa -1}\left(1-\frac{T}{T_t}\right)</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{\kappa +1}{\kappa -1}\left[1-\left(\frac{p}{p_t}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}\right]</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{\kappa +1}{\kappa -1}\left[1-\left(\frac{\rho}{\rho_t}\right)^{\kappa -1}\right]</math>
|-
| <math>\frac{T}{T_t}=</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(1+\frac{\kappa-1}{2} {M\!a}^2 \right)^{-1}</math>
|style="text-align:center"| <math>1-\frac{\kappa-1}{\kappa+1} M^{*2} </math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{T}{T_t}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{p}{p_t}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{\rho}{\rho_t}\right)^{\kappa -1}</math>
|-
| <math>\frac{p}{p_t}=</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(1+\frac{\kappa-1}{2} {M\!a}^2 \right)^{\frac{-\kappa}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(1-\frac{\kappa-1}{\kappa+1} M^{*2} \right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{T}{T_t}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{p}{p_t}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{\rho}{\rho_t}\right)^{\kappa}</math>
|-
| <math>\frac{\rho}{\rho_t}=</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(1+\frac{\kappa-1}{2} {M\!a}^2 \right)^{\frac{-1}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(1-\frac{\kappa-1}{\kappa+1} M^{*2} \right)^{\frac{1}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{T}{T_t}\right)^{\frac{1}{\kappa-1}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\left(\frac{p}{p_t}\right)^{\frac{1}{\kappa}}</math>
|style="text-align:center"| <math>\frac{\rho}{\rho_t}</math>
|}

=== Verwendete Formelzeichen ===
{|
|-
|style="width:60px"| <math>T\!\,</math> || Temperatur (stets als absolute Temperatur in Kelvin)
|-
| <math>T_t\!\,</math> || [[Ruhetemperatur]]
|-
| <math>p\!\,</math> || Druck (stets als absoluter Druck gegenüber Vakuum)
|-
| <math>p_t\!\,</math> || [[Ruhedruck]]
|-
| <math>\rho\!\,</math> || Dichte
|-
| <math>c_{\text {p}}\!\,</math> || [[spezifische Wärmekapazität]]
|-
| <math>R_s\!\,</math> || [[Universelle Gaskonstante#Spezifische Gaskonstante|spezifische Gaskonstante]]
|-
| <math>\kappa\!\,</math> || [[Isentropenexponent]]
|-
| <math>u\!\,</math> || Strömungsgeschwindigkeit
|-
| <math>c\!\,</math> || [[Schallgeschwindigkeit]]
|-
| <math>\dot{m}\!\,</math> || Massenstrom
|-
| <math>A\!\,</math> || durchströmte Querschnittsfläche
|-
| <math>M\!a\,</math> || Machzahl
|-
| <math>M^*\!\,</math> || Lavalzahl
|}

== Siehe auch ==
{{Commonscat|Aerodynamics|Gasdynamik}}
* [[Lavaldüse]]
* [[Machscher Kegel]]
* [[Schallgeschwindigkeit]]
* [[Schallmauer]]
* [[Stoßwelle|Schockwelle]]
* [[Überschallgeschwindigkeit]]
* [[Verdichtungsstoß]]

== Literatur ==
{{Siehe auch|Kinetische Gastheorie|Strömungsmechanik|Thermodynamik}}

=== Fachbücher ===

* {{Literatur |Autor=[[Klaus Oswatitsch]] |Titel=Grundlagen der Gasdynamik |Verlag=Springer Vienna |Ort=Vienna |Datum=1976 |ISBN=978-3-7091-8416-5 |DOI=10.1007/978-3-7091-8415-8}}
* {{Literatur |Autor=Klaus Oswatitsch |Titel=Spezialgebiete der Gasdynamik |Verlag=Springer Vienna |Ort=Vienna |Datum=1977 |ISBN=978-3-7091-8441-7 |DOI=10.1007/978-3-7091-8440-0}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Zierep |Titel=Theoretische Gasdynamik |Auflage=4. Auflage |Verlag=Braun |Ort=Karlsruhe |Datum=1991 |Reihe=Wissenschaft + Technik Taschenausgaben |ISBN=978-3-7650-2042-1}}
* {{Literatur |Autor=Abraham Achterberg |Titel=Gas Dynamics |Verlag=Atlantis Press |Ort=Paris |Datum=2016 |Sprache=en |ISBN=978-94-6239-194-9 |DOI=10.2991/978-94-6239-195-6}}

=== Klassiker ===

* {{Literatur |Autor=[[Richard Courant|R. Courant]], [[Kurt Otto Friedrichs|K. O. Friedrichs]] |Titel=Supersonic Flow and Shock Waves |Verlag=Interscience Publishers |Ort=New York |Datum=1948 |Sprache=en |Reihe=Pure and Applied Mathematics A Series of Texts and Monographs |BandReihe=1 |Online=https://archive.org/details/supersonicflowsh0001rcou}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Wolfgang Liepmann|H. W. Liepmann]], [[Anatol Roshko|A. Roshko]] |Titel=Elements of Gasdynamics |Verlag=John Wiley & Sons |Ort=New York |Datum=1957 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/elementsofgasdyn00liep/page/n5/mode/2up}}
* {{Literatur |Autor=[[Werner Albring]] |Titel=Angewandte Strömungslehre |Verlag=De Gruyter |Datum=1978 |ISBN=978-3-11-261226-2 |DOI=10.1515/9783112612262}}

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4019339-1|LCCN=sh85053291|NDL=00566027}}

[[Kategorie:Aerodynamik]]
[[Kategorie:Physikalisches Fachgebiet]]

Gasdynamik - Versionsgeschichte

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