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2026-03-01T16:46:41Z

Prägarbe auf einer Kategorie, Garbe auf einem Situs

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Eine '''Garbe''' ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der [[Mathematik]] wie zum Beispiel der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und [[Funktionentheorie]]. Eine Garbe [[abelsche Gruppe|abelscher Gruppen]] über einem [[topologischer Raum|topologischen Raum]] besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von [[Ring (Algebra)|Ringen]] aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen. Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen. Der mathematische Begriff ist [[Metapher|metaphorisch]] von einer [[Garbe (Landwirtschaft)|Getreidegarbe]] abgeleitet.

'''Prägarben''' lassen sich auf einer beliebigen [[Kategorientheorie|Kategorie]] definieren. Garben lassen sich auf einem beliebigen [[Situs (Mathematik)|Situs]] (das ist eine Kategorie, auf der eine [[Grothendieck-Topologie]] erklärt ist) definieren.

== Definitionen ==
Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen gewärtig zu halten: <math>F(U)</math> ist dann die Menge der stetigen Funktionen <math>U\to\mathbb R</math>, die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] <math>F</math>) sind schlichtweg die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

=== Prägarbe auf einem topologischen Raum===
Eine Prägarbe <math>\mathcal F</math> auf einem topologischen Raum <math>X</math> ordnet jeder offenen Teilmenge <math>U\subseteq X</math> eine Menge (bzw. eine abelsche Gruppe, einen [[Modul (Mathematik)|Modul]], einen Ring) <math>\mathcal F(U)</math> zusammen mit Einschränkungsabbildungen <math>\rho^U_V\colon\mathcal F(U)\to\mathcal F(V)</math> für alle [[Inklusionsabbildung|Inklusionen]] offener Teilmengen <math>V\subseteq U</math> zu. Dabei müssen die Einschränkungsabbildungen (im Falle von abelschen Gruppen, Moduln oder Ringen entsprechende [[Homomorphismus|Homomorphismen]] sein und) in der „offensichtlichen“ Weise zusammenpassen:
* <math>\rho^U_U=\mathrm{id}_{\mathcal F(U)}</math>
* <math>\rho^V_W\circ \rho^U_V=\rho^U_W</math> für offene Teilmengen <math>W\subseteq V\subseteq U</math>.

Die Elemente von <math>\mathcal F(U)</math> heißen ''(lokale) Schnitte'' von <math>\mathcal F</math> über <math>U</math>, die Elemente von <math>\mathcal F(X)</math> ''globale Schnitte''. Statt <math>\mathcal F(U)</math> schreibt man auch <math>\Gamma(U,\mathcal F).</math>

Für die Einschränkung <math>\rho^U_V(f)</math> eines Schnittes <math>\,f\in\mathcal F(U)</math> auf eine offene Teilmenge <math>V\subseteq U</math> schreibt man auch <math>\,f|_V</math>.

=== Garbe auf einem topologischen Raum===
Eine Garbe ist eine Prägarbe, bei der die Daten „lokal“ sind, d. h. die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
* Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung: Sind <math>f</math> und <math>g</math> Schnitte von <math>\mathcal F</math> über <math>U</math> und <math>\{V_i\}</math> eine offene [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] von <math>U</math>, und gilt
::<math>f|_{V_i}=g|_{V_i}</math>
:für alle <math>i</math>, so gilt <math>f=g</math>.
* Zusammenpassende lokale Daten lassen sich „verkleben“: Sind Schnitte <math>f_i\in\mathcal F(V_i)</math> gegeben, so dass die Einschränkungen von <math>f_i</math> und <math>f_j</math> auf <math>V_i\cap V_j</math> übereinstimmen, so gibt es einen Schnitt <math>f\in\mathcal F(U)</math>, so dass
::<math>f_i=f|_{V_i}</math>
:für alle <math>i</math> gilt.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass <math>f</math> in der zweiten Bedingung durch die <math>f_i</math> eindeutig bestimmt ist.

=== Kategorientheoretische Definition einer Garbe auf einem topologischen Raum ===
Es sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Die [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathbf{Ouv}(X)</math> habe als Objekte die offenen Teilmengen von <math>X</math> mit einem Morphismus <math>U\to V</math> für jede Inklusion <math>U\subseteq V</math> offener Mengen. Eine ''Prägarbe'' <math>\mathcal F</math> auf <math>X</math> mit Werten in einer Kategorie <math>C</math> ist ein [[kontravarianter Funktor]] <math>\mathcal F\colon \mathbf{Ouv}(X)\to C</math>. <math>C</math> besitze [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkte]].

Eine Prägarbe <math>\mathcal F</math> heißt Garbe, falls das folgende Diagramm für jede offene Teilmenge <math>U\subseteq X</math> und jede [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] <math>\{V_i\}</math> von <math>U</math> exakt ist:
:<math>\mathcal F(U)\rightarrow \prod\mathcal F(V_i)\rightrightarrows\prod\mathcal F(V_i\cap V_j),</math>
d. h., dass <math>\mathcal F(U)</math> der [[Differenzkern]] der beiden rechten Pfeile ist, die sich wie folgt erklären. Zu jedem Indexpaar <math>(i,j)</math> hat man zwei Inklusionen <math>\iota^{(i,j)}_1:V_i\cap V_j \rightarrow V_i</math> und <math>\iota^{(i,j)}_2:V_i\cap V_j \rightarrow V_j</math>. Einer der Pfeile ist das Produkt der <math>\mathcal{F}(\iota^{(i,j)}_1): \mathcal{F}(V_i) \rightarrow \mathcal{F}(V_i\cap V_j)</math>, der andere das Produkt der <math>\mathcal{F}(\iota^{(i,j)}_2)</math>.

== Prägarbe auf einer Kategorie, Garbe auf einem Situs ==
Eine Prägarbe auf einer Kategorie ''C'' ist ein kontravarianter [[Kategorientheorie#Funktor|Funktor]] <math>\mathcal F </math>: ''C'' <math>\rightarrow</math> ''A'' in eine Kategorie ''A'', etwa die Kategorie der [[Menge (Mathematik)|Menge]]n oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn ''C'' eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φ''i'': ''V''''i'' <math>\rightarrow</math> ''U''}''i''<math>\in</math>''I'' die Sequenz
:<math>\mathcal F(U)\rightarrow \prod\mathcal F(V_i)\rightrightarrows\prod\mathcal F(V_i\times V_j),</math>
exakt ist, d. h. wenn <math>\mathcal F(U)</math> der [[Differenzkern]] der beiden rechten Pfeile ist.

Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben. Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa [[Čech-Kohomologie]].

Die Gesamtheit aller Garben auf einem Situs bildet einen [[Topos (Mathematik)|Topos]].

== Morphismen ==
So wie eine Garbe eine Sammlung von Objekten ist, ist ein Morphismus zwischen Garben eine Sammlung von Morphismen dieser Objekte. Diese muss mit den Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien <math>\mathcal{F}</math> und <math>\mathcal{G}</math> Garben auf <math>X</math> mit Werten in derselben Kategorie. Ein ''Morphismus'' <math>\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}</math> besteht aus einer Sammlung von Morphismen <math>\varphi(U)\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)</math>, einer für jede offene Teilmenge <math>U</math> von <math>X</math>, so dass für jede Inklusion <math>V\subseteq U</math> offener Teilmengen die Bedingung <math>\tilde{\rho}^U_V\circ\varphi(U)=\varphi(V)\circ\rho^U_V</math> erfüllt ist. Hierbei bezeichnet <math>\rho^U_V</math> die Einschränkungsabbildung von <math>\mathcal{F}</math> und <math>\tilde{\rho}^U_V</math> die von <math>\mathcal{G}</math>.

Fasst man die Garben wie oben beschrieben als Funktoren auf, so ist ein Morphismus zwischen den Garben dasselbe wie eine [[natürliche Transformation]] der Funktoren.

Für jede Kategorie <math>C</math> bilden die <math>C</math>-wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

== Halme und Keime ==
Es sei <math>C</math> eine Kategorie [[algebraische Struktur|algebraischer Strukturen]], die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z. B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren [[Kolimes|pseudofiltrierende Kolimites]] in <math>C</math>, und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt <math>x\in X</math> ist der ''Halm'' <math>\mathcal F_x</math> einer Prägarbe <math>\mathcal F</math> im Punkt <math>x</math> definiert als
:<math>\mathcal F_x=\operatorname{colim}_{V\ni x}\mathcal F(V).</math>
Elemente des Halms heißen ''Keime''.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von <math>x</math>, wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

== Vergarbung ==
Ist <math>\mathcal F</math> eine Prägarbe auf einem topologischen Raum <math>X</math>, so gibt es eine Garbe <math>\mathbf a\mathcal F</math>, die ''Vergarbung'' von oder ''assoziierte Garbe'' zu <math>\mathcal F</math>, so dass für jede Garbe <math>\mathcal G</math>
:<math>\mathrm{Hom}_{\mathrm{(Garben)}}(\mathbf a\mathcal F,\mathcal G)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{(Pr\ddot agarben)}}(\mathcal F,\mathcal G)</math>
gilt. <math>\mathbf a</math> ist also [[linksadjungiert]] zum [[Vergissfunktor]] <math>\mathrm{(Garben)}\to\mathrm{(Pr\ddot agarben)}.</math>

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

== Direkte Bilder und Urbildgarben ==
Ist <math>\mathcal F</math> eine Garbe auf einem topologischen Raum <math>X</math> und <math>f\colon X\to Y</math> eine stetige Abbildung, so ist
:<math>U\mapsto\mathcal F(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ \text{offen}</math>
eine Garbe auf <math>Y</math>, die mit <math>f_*\mathcal F</math> bezeichnet wird und ''direktes Bild'' oder auch ''Bildgarbe'' von <math>\mathcal F</math> unter <math>f</math> heißt.

Ist <math>\mathcal G</math> eine Garbe auf <math>Y</math>, so ist die assoziierte Garbe zu
:<math>U\mapsto\operatorname{colim}_{V\supseteq f(U)}\mathcal G(V)</math>
eine Garbe auf <math>X</math>, die ''Urbildgarbe'', die mit <math>f^{-1}\mathcal G</math> bezeichnet wird.

Ist <math>g\colon Y\to Z</math> eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren
:<math>\,(gf)_*</math> und <math>\,g_*f_*</math>
sowie die Funktoren
:<math>\,(gf)^{-1}</math> und <math>\,f^{-1}g^{-1}</math>
natürlich äquivalent.

Die Funktoren <math>\,f_*</math> und <math>\,f^{-1}</math> sind [[Adjunktion (Kategorientheorie)|adjungiert]]: Ist <math>\mathcal F</math> eine Garbe auf <math>X</math> und <math>\mathcal G</math> eine Garbe auf <math>\,Y</math>, so ist
:<math>\operatorname{Hom}(f^{-1}\mathcal G,\mathcal F)=\operatorname{Hom}(\mathcal G,f_*\mathcal F).</math>

'''Halme''' sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet <math>i_y</math> die Inklusion <math>\{y\}\to Y</math> eines Punktes, so ist
:<math>\mathcal G_y=i_y^{-1}\mathcal G;</math>
dabei wurde die Garbe <math>i_y^{-1}\mathcal G</math> auf dem einpunktigen Raum <math>\,\{y\}</math> mit ihren globalen Schnitten identifiziert.
Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:
:<math>\,(f^{-1}\mathcal G)_x=\mathcal G_{f(x)}.</math>
Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass <math>\,f^{-1}</math> trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist [[Kohomologie]] das Studium des Funktors <math>\,f_*</math>.

== Der Étalé-Raum einer Garbe ==
Zu einer Garbe <math>\mathcal F</math> von Mengen sei ein topologischer Raum <math>E</math> über <math>X</math> wie folgt definiert:
* Die zugrundeliegende Menge ist die [[disjunkte Vereinigung]] aller Halme von <math>\mathcal F</math>; die Abbildung <math>E\to X</math> bilde <math>\mathcal F_x</math> auf <math>x\in X</math> ab.
* Die Topologie auf <math>E</math> ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen
::<math>U\to E,\quad x\mapsto f_x</math>
:für jeden Schnitt <math>f\in\mathcal F(U)</math> über einer offenen Menge <math>U\subseteq X</math> stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von <math>\mathcal F</math> über einer offenen Menge <math>U\subseteq X</math> und den Schnitten von <math>\pi\colon E\to X</math> über <math>U</math>, d. h. den stetigen Abbildungen <math>s\colon U\to E</math>, für die <math>\pi\circ s</math> gleich der Inklusion <math>U\subseteq X</math> ist.

Dieser Raum <math>E</math> heißt der Étalé-Raum ([[Französische Sprache|frz.]] étalé = ausgebreitet) oder, in deutschsprachiger Literatur auch ohne [[Akzent (Schrift)|Akzente]] geschrieben, der etale Raum.<ref>F. Constantinescu, H. F. de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren, Teubner Studienbücher 1994, ISBN 978-3-519-02087-5</ref>

== Beispiele ==

* Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

* Die Prägarbe, die jeder nicht-leeren offenen Teilmenge von <math>\mathbb R</math> die abelsche Gruppe <math>\mathbb Z</math> sowie der [[Leere Menge|leeren Menge]] die triviale Untergruppe <math>\{0\}</math> zuordnet, ist keine Garbe: Ist <math>U=U_1\cup U_2</math> mit <math>U_1=(1,2)</math> und <math>U_2=(3,4)</math>, so lassen sich der Schnitt <math>5</math> über <math>U_1</math> und der Schnitt <math>7</math> über <math>U_2</math> nicht zu einem Schnitt über <math>U</math> „verkleben“.

* Die Garbe <math>\mathcal O</math> der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] auf <math>\mathbb C</math> ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten [[Potenzreihe]]n <math>\mathbb C\{z\}</math> identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren [[Konvergenzradius]] nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze <math>z</math> durch <math>z-a</math>).

* Es sei <math>X=\{\eta,s\}</math> der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen <math>s</math> abgeschlossen ist und <math>\eta</math> nicht, d. h. der [[Sierpiński-Raum]]. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen <math>M=\Gamma(X,\mathcal F)</math> und <math>N=\Gamma(\{\eta\},\mathcal F)</math> zusammen mit einer Abbildung <math>\rho\colon M\to N</math> bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von <math>\mathcal F</math> sind
:<math>\mathcal F_\eta=N</math> und <math>\mathcal F_s=M</math>.

* Es sei <math>X=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1</math> ausgestattet mit der [[Quotiententopologie]] und zu offenem <math>U\subseteq X</math> sei <math>\mathcal F(U)</math> die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> mit <math>f(x+\varepsilon +\mathbb{Z})=f(x+\mathbb{Z})+\varepsilon</math>, sofern beide Seiten definiert sind und <math>|\varepsilon|</math> hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm <math>\mathcal F_x</math> isomorph zu <math>\mathbb R</math> und auch <math>\Gamma(U,\mathcal F)\cong\mathbb R</math> für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge <math>U\subsetneq X</math>. Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, <math>\Gamma(X,\mathcal F)=\emptyset</math>. Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

== Verallgemeinerung ==

Der Begriff der Garbe lässt sich allgemeiner im Kontext von [[Grothendieck-Topologie]]n fassen.

== Siehe auch ==
* [[Garbenkohomologie]]

== Literatur ==
* Francisco Miraglia: ''An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves.'' Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (''Contemporary Logic'').

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Garbe (Mathematik) - Versionsgeschichte

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