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Zahlring

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{{Quellen|Einzelnachweise fehlen. --[[Benutzer:NeptunT|NeptunT]] ([[Benutzer Diskussion:NeptunT|Diskussion]]) 18:48, 7. Mai 2021 (CEST)}}
Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] ist der '''Ganzheitsring''' oder '''Zahlring''' eines [[algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörpers]] das Analogon des [[Ring (Algebra)|Ringes]] der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] im Fall des [[Körper (Algebra)|Körpers]] der [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]]. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als '''algebraisch ganze Zahlen''' bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller [[algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]].

== Definition ==

Es sei <math>K</math> ein [[algebraischer Zahlkörper]], d. h. eine endliche [[Körpererweiterung|Erweiterung]] des [[Körper (Algebra)|Körpers]] der [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]]. Dann ist der Ganzheitsring <math>\mathcal O_K</math> von <math>K</math> definiert als der [[ganzer Abschluss|ganze Abschluss]] von <math>\mathbb Z</math> in <math>K</math>, d. h. die Teilmenge derjenigen <math>x\in K</math>, die eine Gleichung der Form
: <math>x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0</math>
mit <math>c_i\in\mathbb Z</math> erfüllen. Man beachte, dass der [[Koeffizient]] von <math>x^n</math> (der ''Leitkoeffizient'' des Polynoms <math>x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 </math>) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als ''normiert''. Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper <math>K</math>.

Eine äquivalente Definition lautet:
Der Ganzheitsring von <math>K</math> ist die im Sinne der Inklusion maximale [[Ordnung (algebraische Zahlentheorie)|Ordnung]], die Hauptordnung auf <math>K</math>.

== Eigenschaften ==
* <math>\mathcal O_K</math> ist ein endlich erzeugter, [[freier Modul|freier]] <math>\mathbb Z</math>-Modul vom Rang <math>[K\colon \mathbb Q]</math>.
* <math>\mathcal O_K</math> ist ein [[Dedekindring]].
* Die Einheitengruppe von <math>\mathcal O_K</math> wird durch den [[Dirichletscher Einheitensatz|Dirichletschen Einheitensatz]] beschrieben.

== Beispiele ==

* Ist <math>K=\mathbb Q(\mathrm i\sqrt3)</math>, so ist <math>\mathcal O_K</math> der Ring der [[Eisenstein-Zahlen]]
:: <math>u + v\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2</math> mit <math>u,v\in\mathbb Z.</math>
: Eine solche Zahl ist [[Nullstelle]] des Polynoms
:: <math>X^2 - (2u - v)X + (u^2 - uv + v^2).</math>
: Erfüllt umgekehrt <math>x=a+b\mathrm i\sqrt3\in K</math> die Polynomgleichung
:: <math>x^2+px+q=0</math> mit <math>p,q\in\mathbb Z,</math>
: so folgt <math>p=-2a</math> und <math>q=a^2+3b^2</math>. Man kann zeigen, dass dann <math>a+b</math> und <math>2b</math> ganzzahlig sind, also ist
:: <math>x = (a+b) + 2b\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2</math>
: eine Eisenstein-Zahl.

* Ist <math>K=\mathbb Q(\mathrm i)</math>, so ist <math>\mathcal O_K</math> der Ring der ganzen [[gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]] <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math>.

* Allgemein sieht für den Ganzheitsring von <math>\mathbb Q(\sqrt{d})</math> (wobei <math>d</math> ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
:: <math>\left\{1,\sqrt{d} \right\}</math>, falls <math>d</math> kongruent 2 oder 3 mod 4
:: <math>\left\{1, \frac{1+\sqrt{d}}2 \right\}</math>, falls <math>d</math> kongruent 1 mod 4

* Bezeichnet <math>\zeta</math> eine primitive <math>n</math>-te [[Einheitswurzel]], so ist der Ganzheitsring des <math>n</math>-ten [[Kreisteilungskörper]]s <math>\mathbb Q(\zeta)</math> gleich <math>\mathbb Z[\zeta]</math>.

== Siehe auch ==
* [[Ordnung_(algebraische_Zahlentheorie)|Ordnung]]

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Ganzheitsring - Versionsgeschichte

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