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2025-07-02T07:06:21Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]] ist der Begriff eines '''ganzen Elementes in einer Ringerweiterung''' eine Verallgemeinerung des Begriffes eines [[Algebraisches Element|algebraischen Elementes]] in einer [[Körpererweiterung]].

== Definition ==

Es sei <math>A</math> ein Ring und <math>B</math> eine <math>A</math>-[[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebra]]. Dann heißt ein Element <math>b\in B</math> ''ganz über'' <math>A</math>, wenn es ein [[Polynomring|Polynom]] <math>p\in A[X]\setminus \{0\}</math> mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass <math>p(b)=0</math> gilt, also wenn es ein <math>n \in \N</math> und Koeffizienten <math>a_0, a_1,
\dotsc, a_{n-1} \in A</math> gibt mit
: <math>b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dots + a_1 b + a_0 = 0</math>.

Die Menge der über <math>A</math> ganzen Elemente von <math>B</math> heißt der ''ganze Abschluss'' von <math>A</math> in <math>B</math>.

Falls der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> mit <math>A</math> übereinstimmt, heißt <math>A</math> ''ganz abgeschlossen'' in <math>B</math>. Stimmt der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> jedoch mit <math>B</math> überein, ist also jedes Element von <math>B</math> ganz über <math>A</math>, so heißt <math>B</math> ''ganz über'' <math>A</math>.

== Beispiele ==
* Ist <math>A\subseteq B</math> eine [[Ring (Algebra)#Unter-_und_Oberring|Ringerweiterung]], dann ist <math>B</math> insbesondere eine <math>A</math>-Algebra. Ist <math>B</math> ganz über <math>A</math>, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
* Ein [[Integritätsring]], der ganz abgeschlossen in seinem [[Quotientenkörper]] ist, wird als [[normaler Ring]] bezeichnet.
* Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem [[algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörper]] <math>K</math> wird als der [[Ganzheitsring]] <math>\mathcal O_K</math> von <math>K</math> bezeichnet.
* Ist <math>A=\mathbb Z</math> und <math>K=\mathbb Q\big(\sqrt5\big)</math>, so ist der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>K</math> gegeben als
::<math> \mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].</math>

== Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen ==

Sei <math>A\subseteq B</math> eine Ringerweiterung, <math>x\in B</math>. Dann sind äquivalent:<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.</ref>

* <math>x</math> ist ganz über <math>A</math>,
* <math>A[x]</math> ist als <math>A</math>-Modul endlich erzeugt,
* es gibt einen Teilring <math>C\subseteq B</math>, sodass <math>A[x]\subseteq C</math> und <math>C</math> als <math>A</math>-Modul endlich erzeugt ist.

== Eigenschaften ==

* Der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> ist eine <math>A</math>-Unteralgebra von <math>B</math>.

* Ganzheit ist eine [[transitive Relation]]. Genauer gilt für eine Ringerweiterung <math>A\subseteq B\subseteq C</math>, dass <math>C</math> genau dann ganz über <math>A</math> ist, wenn <math>B</math> ganz über <math>A</math> und <math>C</math> ganz über <math>B</math> ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.</ref>

* Eine <math>A</math>-Algebra <math>B</math> ist genau dann [[Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie|endlich]], wenn sie [[Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie|endlich erzeugt]] und ganz ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60</ref>

* Sei <math>A\subseteq B</math> eine Ringerweiterung, <math>C</math> der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>B</math> und <math>S\subseteq A</math> eine [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|multiplikativ abgeschlossene Teilmenge]]. Dann ist auch <math>S^{-1}C</math> der ganze Abschluss von <math>S^{-1}A</math> in <math> S^{-1}B</math>, wobei mit <math>S^{-1}</math> die [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] nach der Menge <math>S</math> bezeichnet.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.</ref>

* ''Ganzabgeschlossenheit'' ist eine [[Lokalisierung (Algebra)#Lokalisierung nach einem Primideal|lokale Eigenschaft]].

* Sei <math>A\subseteq B</math> eine ganze Ringerweiterung und <math>B</math> [[Nullteiler|nullteilerfrei]]. Dann ist <math>A</math> genau dann ein [[Körper (Algebra)|Körper]], wenn <math>B</math> ein Körper ist.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.</ref>

* Ist <math>A\subseteq B</math> eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in <math>B</math> und darunterliegenden Primidealketten in <math>A</math>. Dies ist die Aussage der [[Sätze von Cohen-Seidenberg]].

* Falls <math>A</math> ein Unterring des Körpers <math>K</math> ist, dann ist der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>K</math> der Durchschnitt aller [[Diskreter_Bewertungsring|Bewertungsring]]e von <math>K</math> die <math>A</math> enthalten.<ref>M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.</ref>

== Literatur ==
* M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]

Ganzes Element - Versionsgeschichte

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