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2026-01-03T02:52:45Z

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Die '''Gammaverteilung''' ist eine kontinuierliche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] über der Menge der positiven reellen Zahlen.<ref>{{Internetquelle |url=https://massmatics.de/merkzettel/#!864:Gammaverteilung/ |titel=Merkzettel fürs MatheStudium {{!}} MassMatics |abruf=2026-01-02}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/lehre/ss13/Stochastik_I/Skript_8.pdf |titel=Wichtige statistische Verteilungen |hrsg=Uni Ulm |abruf=2026-01-02}}</ref> Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der [[Exponentialverteilung]] und andererseits eine Verallgemeinerung der [[Erlang-Verteilung]] für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie beispielsweise verwendet
* in der [[Warteschlangentheorie]], um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben;
* in der [[Versicherungsmathematik]], um kleinere bis mittlere Schäden zu modellieren.

== Definition ==
{| class="wikitable"
|-
| Die Gammaverteilung <math>\mathcal{G}(p,\, b)</math> ist durch die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x)=\begin{cases}
\frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x > 0 \\
0 & x \leq 0
\end{cases}</math>
definiert. Sie besitzt die [[Reelle Zahl|reellen]] Parameter <math>b</math> und <math>p</math>. Der Parameter <math>b</math> ist ein inverser [[Skalenparameter]] und der Parameter <math>p</math> ist ein [[Formparameter]]. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird <math>b>0</math> und <math>p>0</math> gefordert.

Der Vorfaktor <math>b^p/\Gamma(p)</math> dient der korrekten Normierung; der Ausdruck <math>\Gamma(p)</math> steht für den Funktionswert der [[Gammafunktion]], nach der die Verteilung auch benannt ist.
|| [[Datei:GammaDichteF.svg|500px|Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p]]
|-
| Die Gammaverteilung genügt damit der [[Verteilungsfunktion]]
:<math>F(x)=\begin{cases}
P(p,b x) & x \geq 0 \\
0 & x < 0,
\end{cases}</math>
wobei <math>P(p,\,b x)</math> die [[Gammafunktion#Unvollständige Gammafunktion|regularisierte Gammafunktion]] der oberen Grenze ist.
|| [[Datei:GammaVerteilungF.svg|500px|kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b]]
|}

=== Alternative Parametrisierung ===
Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit <math>p</math> und <math>b</math> findet man auch häufig
:<math>(\alpha=p, \beta=b)</math> oder <math>\left(k=p, \theta=\frac{1}{b}\right).</math>

<math>\beta=b</math> ist der ''Kehrwert eines Skalenparameters'' und <math>\theta=1/b</math> ist der ''Skalenparameter'' selbst.
Dichte und [[Moment (Stochastik)|Momente]] ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert ist hier beispielsweise <math>\frac{\alpha}{\beta}</math> beziehungsweise <math>k\theta</math>). Da diese Parametrisierungen im englischsprachigen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer ''Gammaverteilung mit Erwartungswert'' <math>\frac{p}{b}</math> ''und Varianz'' <math>\frac{p}{b^2}</math> zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

== Eigenschaften ==

Die Dichte <math>f</math> besitzt für <math>p>1</math> an der Stelle <math>x_M=\tfrac{p-1}{b}</math> ihr Maximum und für <math>p>2</math> an den Stellen
:<math>x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}</math>
Wendepunkte.

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] der Gammaverteilung ist
:<math>\operatorname{E}(X)={p \over b}.</math>

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Gammaverteilung ist
:<math>\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.</math>

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] der Verteilung ist gegeben durch
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.</math>

=== Reproduktivität ===
Die Gammaverteilung ist [[Reproduktivität|reproduktiv]]:
Die Summe aus den [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen]] gammaverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x</math> bzw. <math>p_y</math> ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_x + p_y</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p</math>;
hiebei ist für die [[komplexe Zahl#Beliebige komplexe Exponenten|komplexe Potenz]] der Hauptwert zu wählen, d. h. <math>\operatorname{Arg}(b - i s) \in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der Gammaverteilung ist
:<math>m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.</math>

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der Gammaverteilung beträgt
:<math>H(X) = \ln\left(\Gamma(p)\right) - \ln\left(b\right) + (1-p)\psi(p) + p</math>
wobei <math>\psi (p)</math> die [[Digamma-Funktion]] bezeichnet.

=== Summe gammaverteilter Zufallsgrößen ===
Sind <math>X_1\sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>X_2\sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen, dann ist auch die Summe <math>X_1+X_2</math> gammaverteilt, und zwar
:<math>X_1+X_2\sim \mathcal{G}(p_1+p_2,b).</math>

Allgemein gilt: Sind <math>X_i\sim \mathcal{G}(p_i,b)</math>, <math>i \in \{1,\ldots,n\}</math>, stochastisch unabhängig, dann ist
:<math>X_1+ \dotsb +X_n\sim \mathcal{G}(p_1+ \dotsb +p_n,b).</math>

Somit bildet die Gammaverteilung eine [[Faltungshalbgruppe]] in ihrem Formparameter.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==

=== Beziehung zur Betaverteilung ===
Wenn <math>X \sim \mathcal{G}(p_1,b)</math> und <math>Y \sim \mathcal{G}(p_2,b)</math> unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind, dann ist die Größe <math>\tfrac{X}{X+Y}</math> [[Betaverteilung|betaverteilt]] mit Parametern <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, kurz
:<math>\operatorname{Beta}(p_1,p_2) \sim \frac{\mathcal{G}(p_1,b)}{\mathcal{G}(p_1,b)+\mathcal{G}(p_2,b)}.</math>

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
* Die [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>k</math> [[Freiheitsgrad (Statistik)|Freiheitsgraden]] ist eine Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=k/2</math> und <math>b=1/2</math>.

=== Beziehung zur Erlang-Verteilung ===
Die [[Erlang-Verteilung]] mit dem Parameter <math>\lambda</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern <math>p=n</math> und <math>b=\lambda</math> und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des <math>p</math>-ten [[Poisson-Verteilung|Poisson-verteilten]] Ereignisses.

=== Beziehung zur Exponentialverteilung ===
* Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter <math>p=1</math>, so erhält man die [[Exponentialverteilung]] mit Parameter <math>\lambda=b</math>.
* Die [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] von <math>n</math> Exponentialverteilungen mit demselben <math>\lambda</math> ergibt eine Gamma-Verteilung mit <math>p=n, b=\lambda</math>.

=== Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung ===
Ist <math>X</math> Gamma-verteilt, dann ist <math>Y=e^X</math> [[Logarithmische Gammaverteilung|Log-Gamma-verteilt]].

== Siehe auch ==
* [[Lévy-Prozess]], mit Bild von einem Gamma-Prozess

== Literatur ==
* Bernard W. Lindgren: ''Statistical Theory.'' Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
* [[Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
* P. Heinz Müller (Hrsg.): ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik.'' 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

== Weblinks ==
* Marina Weingartz: [https://www.geogebra.org/m/DUCF32YN Gammaverteilung], auf GeoGebra
* [https://statproofbook.github.io/P/gam-mean.html Beweis: Mittelwert der Gammaverteilung]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Gammaverteilung - Versionsgeschichte

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