imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-01-01T18:05:46Z

Bot: http → https

Neue Seite

Der '''Galton-Watson-Prozess''', benannt nach dem [[Vereinigtes Königreich|britischen]] Naturforscher [[Francis Galton]] (1822–1911) und seinem Landsmann, dem [[Mathematiker]] [[Henry William Watson]] (1827–1903), ist ein spezieller [[stochastischer Prozess]], der benutzt wird, um die zahlenmäßige Entwicklung einer eingeschlechtlichen [[Population (Biologie)|Population]] von sich selbst replizierenden Individuen mathematisch zu modellieren. Er wird bisweilen auch als '''Bienaymé-Galton-Watson-Prozess''' bezeichnet, zu Ehren des Franzosen [[Irénée-Jules Bienaymé]] (1796–1878), der dasselbe Problem bereits längere Zeit vorher bearbeitet hatte.

== Geschichte ==
[[Datei:Galton Watson 95.png|mini|300px|50 unabhängige GW-Prozesse mit Startwert 20 und [[Poisson-Verteilung|Poisson-verteilten]] Nachkommen mit Parameter 0,95. Bereits bei t=41 sind alle bis auf 6 Populationen ausgestorben.]]
Im England des [[Viktorianisches Zeitalter|viktorianischen Zeitalters]] war die Aristokratie zunehmend besorgt über den Umstand, dass immer wieder Adelsgeschlechter aus Mangel an männlichen Nachkommen ausstarben und somit immer mehr traditionsreiche Namen aus der adligen Gesellschaft verschwanden. Galton, der selbst kein Mathematiker war, veröffentlichte 1873 in der [[Wissenschaftliche Fachzeitschrift|Wissenschaftszeitschrift]] [[Educational Times]] die Frage nach der [[Wahrscheinlichkeit]] einer solchen Auslöschung und erhielt prompt Antwort von Watson. Im darauffolgenden Jahr erschien ihre Gemeinschaftsarbeit ''On the probability of extinction of families''<ref>{{Literatur |Autor=H. W. Watson, Francis Galton |Titel=On the Probability of the Extinction of Families. |Sammelwerk=The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland |Band=4 |Datum=1875 |Sprache=en |DOI=10.2307/2841222 |JSTOR=2841222 |Seiten=138}}</ref>, in welcher sie ein stochastisches Konzept vorstellten, das heute als Galton-Watson-Prozess bekannt ist. Das Ergebnis, zu dem sie kamen, war, dass bei konstanter Bevölkerungszahl im Laufe der Zeit alle Namen bis auf einen aussterben würden. Offenbar entstand diese Arbeit im Unwissen über die Ergebnisse von Bienaymé.

== Mathematische Modellierung ==

[[Datei:Galton Watson 100.png|mini|300px|Dasselbe Experiment mit Poisson-Parameter 1 (statt 0,95). Diesmal haben bis t=50 ganze 24 von 50 Populationen überlebt.]]
Der Galton-Watson-Prozess zeichnet sich durch folgende Modellannahmen aus:
* Jedes Individuum lebt exakt einen Zeitschritt lang.
* Das <math> i </math>-te Individuum im <math> n </math>-ten Zeitschritt hinterlässt unabhängig von allen anderen Individuen eine gewisse Anzahl an Nachkommen gemäß einer Zufallsvariable <math> Z_n^i </math>.
* Alle <math> Z_n^i </math> sind [[Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig identisch verteilt]] mit Verteilung <math> p </math>, die nur Werte in <math> \mathbb{N}_0 </math> annimmt.
* Die Population startet mit einem Individuum.

Die letzte Annahme ist sinnvoll, da aufgrund der Unabhängigkeit der Fortpflanzung der Start mit <math> j </math> Individuen äquivalent ist zu <math> j </math> parallel voneinander laufenden Prozessen mit einem Individuum als Startpopulation.

Sei nun <math> X_n </math> die Anzahl der lebenden Individuen zum Zeitpunkt <math> n </math> (im ursprünglichen Modell die Anzahl der männlichen [[Stammhalter]]). Es gilt
:<math> X_0=1 </math>
und
:<math> X_1= Z_1^1</math>
Dann folgt aufgrund der unabhängigen Fortpflanzung
:<math> X_{n+1}=\sum_{i=1}^{X_n} Z_{n}^i </math>

Gab es nun in der <math> n </math>-ten Generation genau <math> k </math> Individuen, so ist die Verteilung von <math> X_{n+1} </math> eindeutig bestimmt durch

:<math>(X_{n+1}|X_{n}=k) \sim p^{k*}</math>

Hierbei ist <math>p^{k*}</math> die <math> k </math>-fache [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] der Verteilung <math>p</math>. Dies folgt direkt aus der Aufsummierung der unabhängigen Zufallsvariablen.

Somit ist der Galton-Watson-Prozess eine zeitlich homogene [[Markow-Kette]] in diskreter Zeit und abzählbarem Zustandsraum. Die (abzählbar unendlich große) Übergangsmatrix ist durch

:<math>\Pi_{k,l}:= p^{k*}(l) </math>

gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, <math> l </math> Individuen zu erhalten, wenn davor <math> k </math> Individuen vorhanden waren, wird durch die Faltung der Verteilung <math> p </math> gegeben.

== Die Aussterbewahrscheinlichkeit ==

Die Frage, an der Galton und Watson interessiert waren, war die nach der Wahrscheinlichkeit des Aussterbens einer Population. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der <math> n </math>-ten Generation kein Individuum mehr lebt, ist <math>q_n:=P(X_n=0).</math>

Da aber die 0 ein [[absorbierender Zustand]] ist (es gilt <math>\Pi_{0,0}=1</math>), also beim einmaligen Betreten nie wieder verlassen werden kann, gilt immer: Ist <math> X_n=0 </math>, so ist auch <math> X_{n+1}=0 </math>. Daraus folgt direkt, dass die Wahrscheinlichkeiten, sich in der 0 zu befinden, monoton wachsend sind: <math> q_{n+1} \geq q_n </math>. Somit ist die Aussterbewahrscheinlichkeit
:<math> q:=\lim_{n \to \infty} q_n </math>

Die Berechnung der Aussterbewahrscheinlichkeit erfolgt mittels der [[Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion]] <math> m_n(t) </math> der <math> X_n </math>. Es gilt <math> m_1(t)=m_p(t) </math> und dann folgt induktiv unter Ausnutzung der Tatsache, dass Summen über eine zufällige Anzahl von Summanden als Verkettung von erzeugenden Funktionen dargestellt werden können:
:<math> m_{n+1}(t)=m_n(m_p(t))=m^{\circ (n+1)}_p(t) </math>
wobei <math> f^{\circ n}</math> die <math> n </math>-fache [[Komposition (Mathematik)|Komposition (Hintereinanderausführung)]] einer Funktion <math> f </math> bezeichnet. Da
<math> m_n(0)=P(X_n=0) </math>
gilt, ist
<math> q= \lim_{n \to \infty} m_n (0) </math>.
Daraus folgt, dass die Aussterbewahrscheinlichkeit der kleinste nichtnegative Fixpunkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von <math> p </math> ist, also Lösung der Gleichung
:<math> m_p(t)=t </math>.
Es gilt dann:
* ist <math> \operatorname{E} (p)= m'_p(1) \leq 1 </math>, so ist <math> q=1 </math>, die Population stirbt also fast sicher aus.
* ist <math> \operatorname{E} (p)= m'_p(1) > 1 </math>, so liegt die Aussterbewahrscheinlichkeit echt zwischen 0 und 1.

Ausnahme dieser Betrachtungen ist der Fall, das jedes Individuum genau einen Nachkommen erzeugt: <math> p(1)=1 </math>. Dies ist dann ein trivialer absorbierender Zustand.

== Beispiel ==
Angenommen, jedes Individuum hat unabhängig von allen anderen Individuen eine gewisse Anzahl Nachkommen, die [[Geometrische Verteilung|geometrisch verteilt]] zum Parameter <math> p= \tfrac{1}{2} </math> ist, also die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]
:<math> p(\{k\})=\frac{1}{2^{k+1}} </math>

für alle <math> k \in \mathbb{N}_0 </math> besitzt. Dann ist
:<math> m_p(t)=\frac{p}{1-(1-p)t} </math>

Per Induktion lässt sich zeigen, dass
:<math> m^{\circ n}_p(t)=\frac{n(1-t)+t}{n(1-t)+1} </math>

und demnach
:<math> q= \lim_{n \to \infty} m^{\circ n}_p(0)=1</math>

gilt, die Population stirbt also fast sicher aus. Das hier verwendete Vorgehen ist die Ausnahme, meistens kann keine direkte Formel für die <math> n </math>-fache Verkettung angegeben werden.

Das klassische Vorgehen wäre, den Erwartungswert von <math> p </math> zu berechnen und dann gegebenenfalls den Fixpunkt zu bestimmen. Da hier aber schon der Erwartungswert 1 ist, kann auf die Berechnung des Fixpunktes verzichtet werden.

== Anwendungen ==
Zuerst blieb das Problem der aussterbenden Nachnamen das einzige, auf das das Galton-Watson-Konzept angewendet wurde. Doch schon bald begannen [[Biologe]]n, damit die Ausbreitung von Lebewesen zu modellieren.

Das Galton-Watson-Modell findet ebenfalls Verwendung im Zusammenhang mit der [[Warteschlangentheorie]] bis hin zur Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten und zur Verbreitung von [[Computervirus|Computerviren]] oder [[Kettenbrief]]en.

=== Multiplikative Prozesse (Neutronen) ===
Der GW-Prozess wurde in den 1940er Jahren durch den Mathematiker [[Stanisław Marcin Ulam|Stan Ulam]] und [[David Hawkins (Philosoph)|David Hawkins]] für das Problem der Multiplikation von [[Kettenreaktion#Physikalische Kettenreaktionen|Neutronen-Kettenreaktionen]] „wiederentdeckt“ und für den Anwendungszweck weiterentwickelt ([[Los Alamos National Laboratory|Los Alamos]] Report LA-171).<ref>{{Literatur |Autor=S. M. Ulam |Titel=Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S. M. Ulam and his Los Alamos Collaborators |Verlag=University of California Press |Datum=1990-12-31 |ISBN=978-0-520-32292-9 |DOI=10.1525/9780520322929 |Online=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1525/9780520322929/html |Abruf=2024-11-04}}</ref> Weitere Beiträge lieferten auch [[Frederic de Hoffmann]] und [[Richard Feynman]].

=== Modellierung von Epidemien ===
Der Beginn einer Epidemie in einer großen Bevölkerung kann als Galton-Watson-Prozess aufgefasst werden. Die „Individuen“ sind dann infizierte Personen in der Zeitspanne, in der sie die Infektion auf andere Personen übertragen können. Die Aussterbewahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu keiner großen Epidemie kommt. Die Zahl E(p) ist die [[Basisreproduktionszahl]] der Infektion.<ref>{{Literatur |Autor=Niels Becker |Titel=Estimation for Discrete Time Branching Processes with Application to Epidemics |Sammelwerk=Biometrics |Band=33 |Nummer=3 |Datum=1977 |Sprache=en |ISSN=0006-341X |DOI=10.2307/2529366 |JSTOR=2529366 |Seiten=515–522}}</ref>

== Galton-Watson-Prozess mit mehreren Typen ==
Die Reproduktion einer heterogenen Bevölkerung kann mit einem Galton-Watson-Prozess mit mehreren Typen (englisch ''multitype Galton-Watson-process'') modelliert werden. Angenommen es gibt <math>K</math> Typen von Individuen, die Individuen des gleichen oder eines anderen Typs erzeugen können. Sei
<math>p_{ik}</math> die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum des Typs <math>i</math> genau <math>n</math> Individuen des Typs <math>k</math> erzeugt. Dann ist die Matrix der ersten Momente die Matrix mit den Elementen
:<math> m_{ik} = \sum_{n=1}^{N} n p_{ik} (n) </math>.
Wenn der größte Eigenwert dieser Matrix < 1 oder = 1 ist, dann ist die Aussterbewahrscheinlichkeit gleich 1.<ref> K. B. Athreya, P. E. Ney: ''Branching Processes''. Springer-Verlag 1972, S. 186.</ref>

Galton-Watson-Prozesse mit mehreren Typen werden in der mathematischen Theorie der Epidemien angewendet, wenn die von der Epidemie betroffene Bevölkerung hinsichtlich von epidemiologisch relevanten Eigenschaften heterogen ist.<ref> Niels Becker: ''The effect of heterogeneity on the spread of disease''. In: J. P. Gabriel, C. Lefèvre, P. Picard (Eds.): ''Stochastic Processes in Epidemic Theory''. Lecture Notes in Biomathematics, Vol. 86. Springer-Verlag 1990, S. 90–103.</ref> Im Fall von Geschlechtskrankheiten in der heterosexuellen Bevölkerung ist es naheliegend, zuerst einen Prozess mit zwei Typen, männlich und weiblich, zu betrachten. Um die Ausbreitung von HIV in einer Bevölkerung von monogamen heterosexuellen Paaren zu modellieren, kann man noch weiter gehen und einen Galton-Watson-Prozess mit mehreren Typen definieren, bei dem das Geschlecht und das Alter oder die Ordinalzahl der Partnerschaft, in der die Infektion stattgefunden hat bzw. stattfinden wird, den Typ bestimmen. Dieser Ansatz kann auch zur Berechnung der [[Basisreproduktionszahl]] verwendet werden.<ref> H. Knolle: ''A discrete branching process model for the spread of HIV via steady sexual partnerships''. Journal of Mathematical Biology 48, S. 423–443 (2004) [[doi:10.1007/s00285-003-0241-7]].</ref>

== Bisexueller Galton-Watson Prozess ==
Bei dieser Variante<ref>{{Literatur |Autor=Shi-xia Ma |Titel=Bisexual Galton-Watson Branching Processes in Random Environments |Sammelwerk=Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series |Band=22 |Nummer=3 |Datum=2006-07 |Sprache=en |ISSN=0168-9673 |DOI=10.1007/s10255-006-0317-4 |Seiten=419–428 |Kommentar=Siehe die Referenzen darin. |Online=https://link.springer.com/10.1007/s10255-006-0317-4 |Abruf=2024-11-04}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[F. Thomas Bruss]] |Titel=A note on extinction criteria for bisexual Galton-Watson processes |Sammelwerk=Journal of Applied Probability |Band=21 |Nummer=4 |Datum=1984-12 |Sprache=en |ISSN=0021-9002 |DOI=10.2307/3213707 |Seiten=915–919 |Kommentar=Siehe die Referenzen darin. |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0021900200037608/type/journal_article |Abruf=2024-11-04}}</ref> eines Galton-Watson-Prozesses besteht die Grundpopulation aus männlichen und weiblichen Teilchen, die Paare bilden müssen, um sich fortzupflanzen. Nun spielt für die Frage der Aussterbewahrscheinlickeit auch die Paarungsfunktion (die bestimmt, wie Teilchen zu heterosexuellen Paaren zusammenfinden) und nicht nur ihre Fruchtbarkeit eine entscheidende Rolle.

Die Beschreibung der Entwicklung eines solchen Prozesses wird damit i. A. wesentlich komplizierter, jedoch spielt für seine Aussterbewahrscheinlichkeit die sogenannte mittlere asymptotische Reproduktionsrate von Paaren eine ähnlich wichtige Rolle wie <math> \operatorname{E}(p) </math> für den (asexuellen) Galton-Watson-Prozess.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Wahrscheinlichkeitstheorie|Stochastischer Prozess}}
* {{Literatur |Autor=[[Theodore E. Harris|Theodore Edward Harris]] |Titel=The theory of branching processes |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1963 |Sprache=en |Reihe=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] |BandReihe=119 |ISBN=978-3-642-51868-3 |Online=https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/reports/2009/R381.pdf}} ''Harris greift den Original-Prozess in diesem Buch auf. Da er Mitarbeiter bei der RAND Corporation war, wurde das Buch dort als Bericht publiziert.''
* {{Literatur |Autor=Krishna B. Athreya, Peter E. Ney |Titel=Branching Processes |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1972 |Reihe=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] |BandReihe=196 |ISBN=978-3-642-65373-5 |DOI=10.1007/978-3-642-65371-1}} ''Folgebuch zu Harris.''
* {{Literatur |Autor=Søren Asmussen, Heinrich Hering |Titel=Branching Processes |Verlag=Birkhäuser Boston |Ort=Boston, MA |Datum=1983 |Sprache=en |ISBN=978-0-8176-3122-2 |DOI=10.1007/978-1-4615-8155-0}}
* [[Ulrich Krengel]]: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik''. 8. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 978-3-8348-0063-3.
* [[Achim Klenke]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
* [[Hans-Otto Georgii]]: ''Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik''. 4. Auflage. de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4401296-2}}

[[Kategorie:Markow-Prozesse]]
[[Kategorie:Theoretische Biologie]]

Galton-Watson-Prozess - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https