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2026-03-02T20:46:12Z

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Die '''Galilei-Transformation''', benannt nach [[Galileo Galilei]], ist die einfachste [[Koordinatentransformation]], mit der [[Physik|physikalische]] Aussagen von einem [[Bezugssystem]] in ein anderes umgerechnet werden können. Sie ist anwendbar, wenn die beiden Bezugssysteme sich durch eine [[Gleichförmige Bewegung|geradlinig-gleichförmige Bewegung]], [[Drehung]] und oder eine [[Translation (Physik)|Verschiebung]] in Raum oder Zeit unterscheiden. Alle Beobachtungen von Strecken, Winkeln und Zeitdifferenzen stimmen in beiden Bezugssystemen überein, alle [[Beschleunigung]]en und [[Kraft|Kräfte]] ebenso. Nur die beobachteten Geschwindigkeiten unterscheiden sich alle um die konstante Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme gegeneinander.

Die Galilei-Transformation ist grundlegend für die [[klassische Mechanik]], denn sie beschreibt dort die Transformation zwischen zwei [[Inertialsystem]]en. Bezüglich der Hintereinanderausführung bilden die Galilei-Transformationen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die [[Galilei-Gruppe]]. Nach dem [[Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik|Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik]] müssen die [[Physikalisches Gesetz|Naturgesetze]] bezüglich dieser Gruppe [[Kovarianz (Physik)|kovariant]] sein.

Im Bereich des [[Elektromagnetismus]] ist die Galilei-Transformation nicht anwendbar, sondern muss durch die [[Lorentz-Transformation]] ersetzt werden. Dies bildete historisch den Ausgangspunkt für die [[spezielle Relativitätstheorie]].

== Galilei-Transformation ==
Die Galilei-Transformation besteht aus folgenden Einzeltransformationen, die miteinander kombiniert werden können:

* Translation in der Zeit (1 Parameter): <math>t \rightarrow t + b</math>
* Translation im Raum (3 Parameter): <math>\vec r \rightarrow \vec r + \vec a</math>
* Drehung mit der orthogonalen [[Drehmatrix]] <math>A</math> (3 Parameter): <math>\vec r \rightarrow A \vec r</math>
* Transformation auf ein Bezugssystem mit gleichförmiger Relativgeschwindigkeit <math>\vec v</math> (3 Parameter): <math>\vec r \rightarrow \vec r + \vec v \cdot t</math>

Hierbei wurde die [[Vektor]]-Schreibweise verwendet: <math>\vec r</math> bezeichnet den Ortsvektor und <math>t</math> die Zeit. Insgesamt gibt es für eine Zeit- und drei Raumdimensionen 10 Parameter. 
Für <math display="inline">b=0 , \vec v = \vec 0 </math> stellt der räumliche Teil der Galilei-Transformation mit 6 übrigen freien Parametern die [[Bewegung (Mathematik)#Bewegungen im euklidischen Raum|eigentliche euklidische Gruppe]] <math display="inline">\mathrm{E}^+(3)</math> dar. Die Elemente aus <math>\mathrm{E}^+(3)</math> werden dabei als räumliche Koordinatentransformationen aufgefasst ([[ Koordinatentransformation |passive oder Alias-Transformation]]). Galilei-Transformationen zwischen ruhenden Beobachtern sind ein Spezialfall der [[Euklidische Transformation|euklidischen Transformation]], die nur die Konstanz der Abstände zweier beliebiger Punkte bei der Transformation fordert und in der klassischen Mechanik der Definition von invarianten oder objektiven Größen dient.

== Gültigkeitsgrenze der Galilei-Transformation ==
=== Klassische Mechanik ===
Die Unabhängigkeit der Gesetze der Mechanik vom Bewegungszustand bei [[Gleichförmige Bewegung|gleichförmiger Bewegung]] wurde zuerst von [[Galileo Galilei]] erkannt und von [[Isaac Newton]] in seinem Buch ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'' formuliert. Kräfte sind bei Newton nur von den [[Beschleunigung]]en abhängig, und Beschleunigungen ändern sich unter Galilei-Transformationen nicht. Geschwindigkeiten transformieren sich nach dem üblichen vektoriellen Additionsgesetz. Die Gesetze der klassischen Mechanik sind unter Galilei-Transformationen invariant oder [[Kovarianz (Physik)|kovariant]] (Galileisches Relativitätsprinzip). Man hielt dies lange Zeit für [[a priori]] gegeben und unangreifbar.

=== Lorentz-Transformation ===
Die [[Elektrodynamik]] ging bis zum Ende des 19. Jahrhunderts von einem [[Äthertheorie|Äther]] als Träger elektromagnetischer Wellen, einschließlich des Lichts, aus. Die [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] und die daraus resultierende konstante [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> als Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen waren jedoch nicht vereinbar mit der Galilei-Transformation.

Ein weiteres Beispiel ist ein geladener Körper, der an einem stromdurchflossenen Leiter vorbeifliegt:
{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:0.5em; text-align:center;"
!style="background:#ffc0c0"| Leiter und bewegte Ladung
|-
| [[Datei:Leiterladung.png|ohne|122px|Leiter und bewegte Probeladung]]
|-
|style="background:#d0d0ff" | Probeladung ''q'' und Leiter mit Strom '''j'''. Diese Konfiguration ist '''nicht''' Galilei-transformierbar.
|}
Eine Probeladung <math>q</math> fliegt mit der Geschwindigkeit <math>v</math> an einem ruhenden geraden stromdurchflossenen Leiter vorbei (siehe Bild). Der Leiter sei neutral, d. h. die bewegten Elektronen und die unbewegten positiven Ionen haben entgegengesetzt gleiche Ladungsdichte. Der Strom im Leiter rührt von der Bewegung der Elektronen her und erzeugt ein Magnetfeld, welches die bewegte Probeladung <math>q</math> durch die [[Lorentz-Kraft]] von ihrer geradlinigen Bewegung ablenkt. Im Ruhesystem der Probeladung wirkt aber keine Lorentz-Kraft; warum wird sie dann trotzdem abgelenkt? Erklären kann man dieses scheinbare Paradoxon erst mit der Lorentz-Transformation. Die Länge eines Leiterstücks, das im Ruhesystem des Leiters neutral ist, erfährt im Ruhesystem der Probeladung eine Lorentzkontraktion, die aber für die Elektronen und die Ionen verschieden groß ausfällt, weil sie sich gegenüber der Probeladung mit verschiedener Geschwindigkeit bewegen. Das bedeutet verschiedene Ladungsdichte, so dass sie sich nicht mehr neutralisieren: Im Ruhesystem der Probeladung ist der bewegte Leiter elektrisch geladen. Diese Ladung wirkt auf die ruhende Probeladung mit einer Kraft, die nach dem Coulombgesetz exakt so groß ist wie die Lorentzkraft im Ruhesystem des Leiters.<ref>z. B. A. P. French: ''Spezielle Relativitätstheorie''. Vieweg 1971, Kapitel 8.9</ref>

[[Hendrik Antoon Lorentz]], [[Joseph Larmor]] und [[Henri Poincaré]] untersuchten Ende des 19. Jahrhunderts die Elektrodynamik bewegter Körper und erkannten, dass man diese Probleme lösen könne, indem man die Galilei-Transformation durch die [[Lorentz-Transformation]] ersetzt.
[[Albert Einstein]] erkannte, dass aus der gleichzeitigen Geltung von Relativitätsprinzip und Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zu folgern ist, dass es keine universelle, für alle Beobachter geltende Zeit gibt und keinen absoluten Raum. Mit den so abgewandelten Begriffen von Raum und Zeit entwickelte er die [[spezielle Relativitätstheorie]], aus der sich auch die lorentzsche Elektrodynamik ergibt.

Im Grenzfall <math>v\to 0</math> geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über. Bei Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist es daher meist ausreichend, die mathematisch einfachere Galilei-Transformation als Näherung verwenden.

== Praktische Anwendung ==
Im Alltagsleben kann bei mechanischen Problemen fast immer die Galilei-Transformation angewendet werden, da die Korrektur in der Lorentz-Transformation bei ''irdischen'' Geschwindigkeiten sehr klein ist. Der Korrekturfaktor liegt oft unterhalb der Messbarkeitsgrenze; selbst in der [[Himmelsmechanik]] unseres Planetensystems liegt er z. B. unter 10−8 für die schon recht große Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne (etwa 30 km/s).

Daher gilt die Galilei-Transformation beispielsweise beim Berechnen der [[Abdrift]] eines Schiffs oder Flugzeugs. Auch bei den in der [[Kernphysik]] betrachteten Stoßprozessen genügt sie zur Umrechnung zwischen [[Laborsystem|Labor-]] und [[Schwerpunktsystem]] meistens (siehe [[Kinematik (Teilchenprozesse)]]). Nicht anwendbar ist sie jedoch auf [[Elektrodynamik|elektrodynamische]] Phänomene.

== Verwendung der Galilei-Transformation bei der Ableitung der Stoßgesetze durch Huygens ==
Eine historisch wichtige Anwendung der ''Galileischen Relativitätstheorie'', also der Nutzung der Tatsache, dass die physikalische Beschreibung in unterschiedlichen, durch Galilei-Transformation verbundenen Bezugssystemen gleich ist, ist die korrekte Ableitung der Gesetze des [[Elastischer Stoß|Elastischen Stosses]] von [[Christian Huygens]] (1650er Jahre, veröffentlicht 1669 und 1703 in seinem ''De Motu Corporum''). Er korrigierte dabei die überwiegend falsche Darstellung bei [[René Descartes]], der aber immerhin die richtige Idee hatte, bei der Analyse von Erhaltungsgrößen auszugehen (bei Descartes noch fälschlich <math display="inline">\sum_{i=1}^2 m_i \cdot |v_i|</math> mit den Beträgen der Geschwindigkeiten). Richtig lag Descartes nur beim Fall des Stosses gleicher Massen mit gleichen aber entgegengesetzten Geschwindigkeiten der Teilchen 1,2 vor (<math display="inline">v_1, v_2</math>) und nach dem Stoß (<math>u_1, u_2 </math>), wobei die Bewegung in einer Dimension betrachtet wird:

:<math>( v_1, v_2 ) = (v, -v) \rightarrow (u_1, u_2) = (-v, v)</math>

Seine übrigen Ergebnisse waren falsch.<ref>[[Julian Barbour]]: ''The Discovery of Dynamics''. Oxford UP, 2001, S. 458ff.</ref> Huygens brachte als wesentliches neues Element die Betrachtung von einem anderen, mit konstanter Geschwindigkeit <math>w</math> bewegten Bezugssystem, einem Boot bzw. einem Mann am Ufer, der Stoßexperimente im Boot beobachtet (in einem Bild in Huygens Buch als Stoß zweier Pendelkugeln am ausgestreckten Arm zweier Männer skizziert, von denen einer im Boot ist und der andere am Ufer, dort aber genau die von ihm wahrgenommene Bewegung der Kugeln im Boot nachvollzieht):
[[Datei:Collision huygens.gif|mini|Diskussion des Stoßgesetzes nach Huygens]]
:<math> (v_1, v_2) = (v +w, -v +w) \rightarrow (u_1, u_2) = (-v + w, v +w)</math>

Wählt man z. B. <math>v = w</math> erhält man:

:<math>(v_1, v_2) = (2 v, 0) \rightarrow (u_1, u_2) = (0, 2 v)</math>

wofür Descartes das falsche Ergebnis <math display="inline"> (2 v, 0) \rightarrow (-\frac {3v}{2}, \frac {v}{2})</math> erhalten hatte. Huygens erhielt dagegen mit Hilfe des Galileischen Relativitätsprinzips das korrekte Ergebnis, dass die eine Kugel stoppt und ihren Impuls vollständig auf die andere, vorher ruhende Kugel überträgt. Huygens konnte auch andere Fälle durch geeignete Wahl von <math> w</math> behandeln. Allgemein lässt sich in heutiger Begriffsbildung zeigen, dass er das Gesetz der Erhaltung des Impulses beim elastischen Stoß bewies, wobei er den Impuls im Gegensatz zu Descartes korrekt mit Vorzeichen behandelte und die Erhaltung der kinetischen Energie benutzte (bei Huygens indirekt formuliert als eine Bedingung des elastischen Stoßes).<ref>Falk, Ruppel: ''Mechanik, Relativität, Gravitation'', Springer 1973, S. 27ff. Die Bedingung lautet, dass wenn der Betrag der Geschwindigkeit eines der Teilchen vor und nach dem Stoß gleich ist, dies auch für das andere Teilchen gilt. Eine Ableitung des Impulssatzes mit dieser Bedingung unter Verwendung von Galilei-Transformationen findet sich in dem Buch von Falk und Ruppel.</ref> Verwendet man heutige Begriffe, kann dies einfach durch Betrachtung der Erhaltung der kinetischen Energie in einem mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Bezugssystem gezeigt werden (die Vorfaktoren <math display="inline">\frac {1}{2}</math> sind weggelassen):

: <math> \sum_{i=1}^2 m_i \cdot {( v_i +w)}^2 = \sum_{i=1}^2 m_i \cdot {( u_i +w)}^2 </math>

Multipliziert man aus und verwendet den Energiesatz im ruhenden System

: <math> \sum_{i=1}^2 m_i \cdot {( v_i)}^2 = \sum_{i=1}^2 m_i \cdot {(u_i)}^2 </math>

folgt der Impuls-Erhaltungssatz:

: <math> \sum_{i=1}^2 m_i \cdot v_i = \sum_{i=1}^2 m_i \cdot u_i </math>

Huygens Verwendung des Relativitätsprinzips ist in dem Buch von [[Ernst Mach]] über die Entwicklung der Mechanik herausgestellt, das [[Albert Einstein]] nachweislich stark beeinflusste und so möglicherweise dessen Verwendung von Bezugssystemen angeregt hat.<ref>So u. a. [[Martin J. Klein]] im Vorwort der englischen Übersetzung von Mach; ''Principles of Thermodynamics'', 1986, zitiert nach [[Julian Barbour]]: ''The Discovery of Dynamics''. Oxford UP, 2001, S. 470.</ref>

== Galilei-Transformation und Erhaltungssätze ==
Die Naturgesetze ändern sich nicht unter Galilei-Transformation. Der Ausgang eines Experiments bleibt gleich, wenn man seinen Ort einer Galilei-Transformation unterzieht. Eine Verschiebung des Orts oder der Zeit, eine Drehung der Koordinatenachsen sowie die Beschreibung durch einen [[Beobachter (Physik)|Beobachter]] mit konstanter Relativgeschwindigkeit, ändern nichts am Ablauf der beschriebenen physikalischen Prozesse und Ereignisse. Eine solche Invarianz wird auch [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] genannt. Nach dem [[Noether-Theorem]] ist jede solche kontinuierliche Symmetrie mit einem Erhaltungssatz verknüpft. Aus der Invarianz der mechanischen Gesetze unter Galilei-Transformationen folgen damit die [[Erhaltungssatz|Erhaltungssätze]] der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Im Einzelnen:
* Aus der Invarianz unter Verschiebung des Orts folgt die [[Impulserhaltung]].
* Aus der Invarianz unter Verschiebung in der Zeit folgt die [[Energieerhaltung]].
* Aus der Invarianz unter Drehung folgt die [[Drehimpulserhaltung]].

== Galilei-Gruppe und Quantenmechanik ==
Betrachtet man ein quantenmechanisches System, das in einer [[Darstellung (Gruppe)|Darstellung]] der Galilei-Gruppe realisiert ist, gibt es im Gegensatz zur üblichen Behandlung als Darstellung der [[Poincaré-Gruppe]] der speziellen Relativitätstheorie eine exakte Erhaltung der Masse (sog. Superauswahlregel), das heißt, es gibt keine instabilen Teilchen.<ref>[[Jean-Marc Lévy-Leblond]], Galilei group and non relativistic quantum mechanics, Journal of Mathematical Physics, Band 4, 1963, S. 776, {{DOI|10.1063/1.1724319}}</ref><ref>Valentine Bargmann, On unitary ray representations of continuous groups, Annals of Mathematics, Band 59, 1954, S. 1–46, {{JSTOR|1969831}}</ref>

In der Quantenmechanik werden [[Unitärer Operator|unitäre]], [[Projektive Darstellung|projektive]] Darstellungen im [[Hilbertraum]] betrachtet. Bei der in der Elementarteilchenphysik üblicherweise verwendeten Poincaré-, Lorentz- oder der Rotationsgruppe erhält man nach [[Valentine Bargmann]] [[Darstellung (Gruppe)|treue]] Darstellungen durch Betrachtung der universellen Überlagerungsgruppe. Bei der Galileigruppe ist das nicht der Fall. Man erhält nur treue Darstellungen bis auf einen Vorfaktor, in den die Masse als Parameter eingeht. Es gibt eine eindimensional-unendliche Menge nicht äquivalenter Klassen projektiver Darstellungen (parametrisiert durch die Masse), alle nicht-äquivalent zu treuen Darstellungen, und sie sind gerade die physikalisch relevanten Darstellungen.

Weiter lässt sich ableiten, dass auch die innere Energie <math>E_0</math> eines Teilchens willkürlich wählbar ist. In 3 Raum- und einer Zeitdimension gibt es drei [[Casimir-Invariante]]n der zur Galileigruppe gehörigen [[Lie-Algebra]], Masse <math>M</math>, die Massenschaleninvariante <math display="inline">M E - \frac {P^2}{2} =m E_0</math> (<math>E</math> ist die Energie, <math>P</math> der Impuls) und <math>{\vec W }^2</math> mit <math display="inline">\vec W = M \vec L + \vec P \times \vec C</math> (wobei <math>\vec C</math> der Boost-Operator ist entsprechend dem Übergang zu einem System mit anderer Geschwindigkeit) und <math>\vec L</math> der Drehimpuls. Die dritte Invariante lässt sich für <math>m >0</math> als <math> s m</math> angeben mit dem Spin <math>s</math>.

Ein Beispiel der Anwendung ist der Lichtfrontformalismus (Infinite Momentum Frame)<ref>[[Steven Weinberg]], Dynamics at Infinite Momentum, Physical Review, Band 150, 1966, 1313, {{DOI|10.1103/PhysRev.150.1313}}. Anwendungen zum Beispiel extensiv in der Schule von [[Stanley Brodsky]].</ref> in der Elementarteilchenphysik, bei dem man zu einem Bezugssystem mit im Grenzfall unendlich hoher Geschwindigkeit übergeht (wie in typischen Hochenergie-Streuexperimenten). Da man dabei näherungsweise zu einem System mit Galilei-Symmetrie übergeht gibt es erhebliche Vereinfachungen wie Ähnlichkeiten mit der nichtrelativistischen Störungstheorie, Wegfall von [[Feynman-Diagramm|Feynmandiagrammen]] mit Paarerzeugung und -vernichtung und neue Erhaltungsgrößen.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Galileitransformation}}
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Symmetrie (Physik)]]
[[Kategorie:Transformation]]
[[Kategorie:Galileo Galilei als Namensgeber]]

Galilei-Transformation - Versionsgeschichte

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