imported>Peter Buch: /* Allgemeines */ Ort durch Zeit ersetzt, siehe dazu auch Fourier-Analysis#Anwendungen

2024-02-18T08:50:00Z

Allgemeines: Ort durch Zeit ersetzt, siehe dazu auch Fourier-Analysis#Anwendungen

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Die '''Gabor-Transformation''' (nach [[Dennis Gábor]]) ist eine spezielle (und in bestimmter Weise optimale) gefensterte [[Fourier-Transformation]]. Sie ist eng verwandt mit der [[Wavelet]]-Theorie und wird in vielen Bereichen der digitalen [[Digitale Signalverarbeitung|Signal-]] und [[Bildverarbeitung]] eingesetzt. Sie ist ein Spezialfall der [[Kurzzeit-Fourier-Transformation]].

== Allgemeines ==
[[Datei:Wavelet Gabor.svg|mini|Zweidimensionales Gabor-Wavelet]]

Jede lokale Veränderung eines Signals <math>f</math> bewirkt eine Änderung der [[Fourier-Transformierte]]n (FT) von <math>f</math> über der gesamten Frequenzachse. So überdeckt zum Beispiel der Graph der FT der [[Delta-Distribution]] (Dirac-Funktion) den gesamten Frequenzbereich. Die FT enthält daher keine lokalen Informationen des Signals <math>f</math>. Dies bedeutet andererseits, dass die Information des [[Frequenzspektrum]]s den Zeitpunkt, in dem die Frequenz auftritt, nicht unmittelbar angibt. Eine Möglichkeit der Lokalisierung in der Zeit bietet die [[Kurzzeit-Fourier-Transformation]] ({{enS|''short-time Fourier transform''}}, kurz ''STFT''), mit der der momentane Frequenzinhalt in einem Fenster <math>g</math> um den Punkt <math>\tau</math> beschrieben werden kann. Dabei wird für <math>g</math> üblicherweise eine schnell auf 0 abfallende Funktion gewählt, damit sie als Fenster wirkt.

: <math>
F^\mathrm{Fen}(\omega, \tau) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) g (t-\tau)e^{-\mathrm i\omega t}\mathrm dt
</math>

Die Fourier-Transformierte mit Fenster ist somit von zwei Parametern abhängig, der Frequenz <math>\omega</math> und dem Zentrum der Lokalisierung <math>\tau</math>. Man spricht deshalb auch von einer Darstellung im [[Zeitdomäne|Zeit]]-/[[Frequenzdomäne|Frequenzbereich]].

Die STFT mit einer [[Gauß-Funktion]] <math>g_\sigma(t)</math> als [[Fensterfunktion]] wurde von [[Dennis Gábor]] 1946 verwendet:

: <math>
g_\sigma(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}
</math>

Diese spezielle STFT heißt '''Gabor-Transformation'''. Bezeichnet man das Ergebnis der Gabortransformation von <math>f</math> mit <math>G_f</math> so ergibt wegen der Symmetrie von <math>g_\sigma</math>

: <math>\begin{align}
G_f(\omega,\tau) &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
f(t)g_\sigma(t-\tau)e^{-\mathrm i\omega t}\mathrm dt \\

&=e^{-\mathrm i\omega \tau}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)g_\sigma(\tau-t)e^{\mathrm i\omega (\tau-t)}\mathrm dt \\
&=e^{-\mathrm i\omega \tau}(f(\tau) \ast (g_\sigma(\tau)e^{\mathrm i\omega \tau})) \\
&=e^{-\mathrm i\omega \tau}(f(\tau)\ast h(\tau))
\end{align}</math>

Im Zeitbereich stellt die Gaborfilterung daher bis auf den Faktor <math>e^{-\mathrm i\omega \tau}</math> eine [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] dar. Dieser Faktor bewirkt jedoch lediglich eine [[Phasenverschiebung]] und kann daher bei Anwendungen, die nur die [[Amplitude]] des Ergebnisses berücksichtigen, vernachlässigt werden (Siehe [[Gabor-Filter]]).

Da die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion ergibt, stellt das Ergebnis der Gabortransformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzraum lokale Information dar. Das Filter kann jede beliebige elliptische Region des Zeit- oder des Frequenzraums überdecken. Ferner erzielt die Gabortransformation – unabhängig von der Anordnung – maximale gleichzeitige Auflösung im Zeit- und Frequenzraum, das heißt die Gauß-Funktion erreicht als (einzige) Fensterfunktion das Minimum der [[Unschärferelation]] <math>\sigma_g^2 \cdot \sigma_G^2 \geq \tfrac{\pi}{2}</math>, wobei <math>\sigma_g^2</math> die Varianz der Fensterfunktion im Zeitbereich (Zeitunschärfe) und <math>\sigma_G^2</math> entsprechend die im Frequenzraum (Frequenzunschärfe) angibt. Daraus ergibt sich direkt der [[reziproke]] Zusammenhang zwischen den Unschärfen und damit ein wichtiger [[trade-off]]. Das heißt, um die Auflösung im Zeitbereich zu verdoppeln, muss eine halbierte Auflösung im Frequenzraum in Kauf genommen werden, und umgekehrt.

== Siehe auch ==
* [[Laplace-Transformation]]
* [[Diskrete Fourier-Transformation]]
* [[Diskrete Kosinustransformation]]
* [[Wavelet-Transformation]]
* [[Gabor-Filter]]

== Literatur ==
* Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Gabor Analysis and Algorithms“, Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
* Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Advances in Gabor Analysis“, Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
* Karlheinz Gröchenig: „Foundations of Time-Frequency Analysis“, Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223

== Weblinks ==
* [http://www.nuhag.eu/ NuHAG homepage: viele weitere Links]
* [http://www.univie.ac.at/nuhag-php/gaborserver/ Gabor Server]

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Bildverarbeitung]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]

[[cs:Gaborova vlnka]]
[[es:Filtro de Gabor]]
[[fr:Filtre de Gabor]]
[[it:Filtro di Gabor]]
[[ja:ガボールフィルタ]]
[[ru:Фильтр Габора]]
[[tr:Gabor Filtresi]]

Gabor-Transformation - Versionsgeschichte

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