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Als '''GHZ-Zustand''' oder '''Greenberger-Horne-Zeilinger-Zustand''' wird ein maximal [[Quantenverschränkung|verschränkter]] [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] von mindestens drei Teilchen bezeichnet. Anhand dieses Zustands lässt sich mittels des [[GHZ-Experiment]]s besonders eindrücklich ein Widerspruch zu [[Bellsche Ungleichung#Realismus und Lokalität|lokal-realistischen]] Beschreibungen demonstrieren. Der GHZ-Zustand spielt auch eine Rolle in der [[Quanteninformatik]] als Repräsentant einer wichtigen Klasse von verschränkten Vielteichenzuständen und als besonders sensitiver Zustand in der [[Quantenmetrologie]].

== Definition ==
Ursprünglich wurde der Zustand
:<math>|\mathrm{GHZ}\rangle_3 = \textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)</math>
von drei Zwei-Zustandssystemen ([[Qubit]]s) als GHZ-Zustand bezeichnet. Allgemeiner nennt man Zustände von <math>M</math> Qubits der Form
:<math>|\mathrm{GHZ}\rangle_M = \textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle^{\otimes M} + |1\rangle^{\otimes M}) = \textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\ldots0\rangle + |1\ldots1\rangle)</math>
GHZ-Zustände. In vielen Fällen werden auch alle Zustände, die aus den hier definierten durch lokale unitäre Operationen hervorgehen, als GHZ-Zustände oder als zur LU-Klasse der GHZ-Zustände gehörig bezeichnet, da sie in puncto Verschränkung dieselben Eigenschaften haben wie <math>|\mathrm{GHZ}\rangle_M</math>.

== Eigenschaften ==
=== Test von Theorien mit lokalen verborgenen Variablen ===
Das Interesse an Zuständen dieser Form begann 1989 mit einer Arbeit von [[Daniel Greenberger]], [[Michael Horne]] und [[Anton Zeilinger]], die zeigten, dass ein Vier-Qubit-Zustand dieser Form eine in gewisser Hinsicht bessere Gegenüberstellung von Quantenmechanik und lokalem Realismus ermöglichte als [[Bell-Test]]s.<ref>{{Literatur |Autor=Maurice Greenberger, Michael Horne, Anton Zeilinger |Hrsg=M. Kafatos |Titel=Going Beyond Bell's Theorem |Sammelwerk=Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe |Verlag=Kluwer |Ort=Dordrecht |Datum=1989 |Seiten=69-72 |arXiv=0712.0921}}</ref> [[David Mermin]] und GHZ zusammen mit [[Abner Shimony]] vereinfachten das Argument kurz darauf unter Verwendung des Drei-Qubit-GHZ-Zustands.<ref name="mermin90" /><ref>{{Literatur |Autor=Daniel M. Greenberger, Michael A. Horne, Abner Shimony, Anton Zeilinger |Titel=Bell’s theorem without inequalities Available |Sammelwerk=Am. J. Phys. |Band=58 |Datum=1990 |Seiten=1131–1143 |DOI=10.1119/1.16243}}</ref>

Ein GHZ-Zustand zeigt bei Messungen im [[GHZ-Experiment]] aufgrund seiner Verschränkung Korrelationen, die nicht mit Hilfe von [[Lokalität (Physik)|lokalen]] [[Verborgene Variablen|verborgenen Variablen]] erklärbar sind.<ref>{{Literatur |Autor=Asher Peres |Titel=Quantum Theory: Concepts and Methods |Verlag=Kluwer Academic |Datum=1995 |Seiten=152ff}}</ref> Im Gegensatz zum [[Bell-Test]], bei dem die Verletzung einer [[Bellsche Ungleichung|Bellschen Ungleichung]] dem lokalen Realismus widerspricht, ist es hier ein konkretes Messresultat, das laut lokalem Realismus nicht auftreten dürfte, nach der Quantenmechanik und im Experiment aber vorkommt.<ref name="mermin90">{{Literatur |Autor=N. David Mermin |Titel=Quantum mysteries revisited Available |Sammelwerk=Am. J. Phys. |Band=58 |Datum=1990 |Seiten=731–734 |DOI=10.1119/1.16503}}</ref>

=== Maximale Verschränkung ===
Es gibt viele verschiedene [[Verschränkungsmaß]]e für drei- oder mehrteilige Systeme. Der Zustand <math>|\mathrm{GHZ}\rangle_3</math> ist ein maximal verschränkter Zustand im Sinne des ''[[Verschränkungsmaß#3-Tangle|residual tangle]]''<ref>{{Literatur |Autor=Valerie Coffman, Joydip Kundu, William K. Wootters |Titel=Distributed entanglement |Sammelwerk=Phys. Rev. A |Band=61 |Datum=2000 |Seiten=052306 |arXiv=quant-ph/9907047 |DOI=10.1103/PhysRevA.61.052306}}</ref> und der ''M''-Qubit GHZ-Zustand maximiert die Quanten-Fisherinformation.<ref>{{Literatur |Autor=Philipp Hyllus, Wiesław Laskowski, Roland Krischek, Christian Schwemmer, Witlef Wieczorek, Harald Weinfurter, Luca Pezzé, Augusto Smerzi |Titel=Fisher information and multiparticle entanglement |Sammelwerk=Phys. Rev. A |Band=85 |Datum=2012 |Seiten=022321 |arXiv=1006.4366 |DOI=10.1103/PhysRevA.85.022321}}</ref>

Obwohl der GHZ-Zustand maximal verschränkt ist, lässt er sich durch [[LOCC|lokale Operationen]] nicht (auch nicht probabilistisch) in jeden anderen reinen Drei-Qubit-Zustand überführen. Er ist der namensgebende Vertreter einer von zwei lokal nicht ineinander überführbaren Klassen von Drei-Qubit-Zuständen.<ref>{{Literatur |Autor=W. Dür, G. Vidal, J. I. Cirac |Titel=Three qubits can be entangled in two inequivalent ways |Sammelwerk=Phys. Rev. A |Band=62 |Datum=2000 |Seiten=062314 |arXiv=quant-ph/0005115 |DOI=10.1103/PhysRevA.62.062314}}; die andere Klasse wird durch den W-Zustand <math>\frac{1}{\sqrt{3}}\left(|100\rangle+|010\rangle+|001\rangle\right)</math> repräsentiert.</ref>

=== Ein Modell für Schrödingers Katze ===
Für große ''M'' beschreibt der GHZ-Zustand die im Gedankenexperiment zu [[Schrödingers Katze]] realisierte Situation: ein mikroskopisches Quantensystem (das erste der ''M'' Qubits) ist mit einem „makroskopischen“ System (die übrigen <math>M\gg1</math> Qubits) maximal verschränkt. Aus dieser Perspektive entspricht das erste Qubit im Zustand <math>|1\rangle</math> dem noch nicht zerfallenen Atomkern im Gedankenexperiment und der Zustand <math>|1\rangle^{\otimes M-1}</math> der lebenden Katze. Der (hier mit 50 % Wahrscheinlichkeit<ref>Allgemeiner kann man Zustände der Form <math>\sqrt{p}|0\rangle^{\otimes M}+\sqrt{1-p}|1\rangle^{\otimes M}</math> für <math>0<p<1</math> betrachten, die einen mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> zerfallenen Kern beschreiben. Für <math>p\not=0{,}5</math> sind das keine GHZ-Zustände, aber sie gehören zur GHZ-Klasse.</ref>) zerfallene Kern entspricht dem Qubit im Zustand <math>|0\rangle</math> und ist korreliert mit dem makroskopisch verschiedenen Zustand <math>|0\rangle^{\otimes M-1}</math> („tote Katze“). Diese Betrachtung wurde verwendet, um die „effektive Größe“ von experimentell realisierten „Katzen-Zuständen“ über den Vergleich mit GHZ-Zuständen zu definieren<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Dür, Christoph Simon, J. Ignacio Cirac |Titel=On the effective size of certain “Schrödinger cat” like states |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=89 |Datum=2002 |Seiten=210402 |arXiv=quant-ph/0205099 |DOI=10.1103/PhysRevLett.89.210402}}</ref> und um die Ressourcen abzuschätzen, die nötig sind, um einen makroskopischen Überlagerungszustand wie den GHZ-Zustand von der inkohärenten Mischung der beiden Komponenten zu unterscheiden.<ref>{{Literatur |Autor=Michalis Skotiniotis, Wolfgang Dür, Pavel Sekatski |Titel=Macroscopic superpositions require tremendous measurement devices |Sammelwerk=Quantum |Band=1 |Datum=2017 |Seiten=34 |arXiv=1705.07053 |DOI=10.22331/q-2017-11-21-34}}</ref>

=== Verwendung in der Quantenmetrologie ===
Der GHZ-Zustand spielt auch eine wichtige Rolle in der [[Quantenmetrologie]]. Er maximiert die [[Quanten-Fisherinformation]] bezüglich der [[Observable]] <math>Z=\sum_{j=1}^M Z_j</math>, wobei <math>Z_j</math> die [[Pauli-Matrix]] <math>\sigma_z</math> für das <math>j</math>te Qubit bezeichnet. Das heißt, <math>|\mathrm{GHZ}\rangle_M</math> maximiert unter den reinen Zuständen die Varianz von <math>Z</math> und reagiert daher maximal sensitiv, wenn es einer durch <math>Z</math> generierten Zeitentwicklung unterliegt. Wird die Messung durch <math>\theta Z</math> mit einem unbekannten, reellen Parameter <math>\theta</math> generiert, können System im Zustand <math>|\mathrm{GHZ}\rangle_M</math> zur besonders genauen Messung von <math>\theta</math> verwendet werden: Die Genauigkeit der Messung skaliert mit <math>M</math> (sog. [[Heisenberglimit]]) nicht mit <math>\sqrt{M}</math>, wie es für klassische Messungen (oder quantenmechanische Messungen ohne Verschränkung) mit <math>M</math> Teilchen optimal ist.<ref>{{Literatur |Autor=J. J . Bollinger, Wayne M. Itano, D. J. Wineland, D. J. Heinzen |Titel=Optimal frequency measurements with maximally correlated states |Sammelwerk=Phys. Rev. A |Band=54 |Datum=1996 |Seiten=R4649 |DOI=10.1103/PhysRevA.54.R4649}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Jiahao Huang, Min Zhuang, Chaohong Lee |Titel=Entanglement-enhanced quantum metrology: From standard quantum limit to Heisenberg limit |Sammelwerk=Appl. Phys. Rev. |Band=11 |Datum=2024 |Seiten=031302 |DOI=10.1063/5.0204102}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Géza Tóth, Iagoba Apellaniz |Titel=Quantum metrology from a quantum information science perspective |Sammelwerk=J. Phys. A: Math. Theor. |Band=47 |Nummer=42 |Datum= |Seiten=424006 |DOI=10.1088/1751-8113/47/42/424006}}</ref> Die GHZ-Zustände sind allerdings besonders anfällig für [[Dekohärenz]], was die Skalierung mit <math>M</math> statt <math>\sqrt{M}</math> für nicht-verschwindendes Rauschen unterdrückt, so dass in der Praxis bestenfalls eine konstante Verbesserung gegenüber [[Separabilität (Quantenmechanik)|unverschränkten]] Zuständen erreicht wird.<ref>{{Literatur |Autor=S. F. Huelga, C. Macchiavello, T. Pellizzari, A. K. Ekert, M. B. Plenio, J. I. Cirac |Titel=Improvement of Frequency Standards with Quantum Entanglement |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=79 |Datum=1997 |Seiten=3865 |arXiv=quant-ph/9707014 |DOI=10.1103/PhysRevLett.79.3865}}</ref>

== Experimente ==
Die experimentelle Präparation eines GHZ-Zustands wurde erstmals von [[Dirk Bouwmeester]] in der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger für [[Photon]]en demonstriert.<ref>{{Literatur |Autor=Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Matthew Daniell, Harald Weinfurter, Anton Zeilinger |Titel=Observation of Three-Photon Greenberger-Horne-Zeilinger Entanglement |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=82 |Datum=1999 |Seiten=1345 |DOI=10.1103/PhysRevLett.82.1345}}</ref> Während in diesem Experiment der Zustand nur probabilistisch und nach Postselektion vorlag, wurde noch im selben Jahr mit [[Qubit#Ionen in Ionenfallen|gefangenen Ionen]] ein Vier-Qubit-GHZ-Zustand deterministisch präpariert.<ref>{{Literatur |Autor=C. Sackett, D. Kielpinski, B. E. King, C. Langer, V. Meyer, C. J. Myatt, M. Rowe, Q. A. Turchette, W. M. Itano, D. J. Wineland, C. Monroe |Titel=Experimental entanglement of four particles |Sammelwerk=Nature |Band=404 |Datum=2000 |Seiten=256–259 |DOI=10.1038/35005011}}</ref>
Bis 2018 wurden GHZ-Zustände für <math>M=14</math> bzw. <math>M=10</math> für gefangene Ionen, Photonen und [[Qubit#Supraleitende Schaltkreise|supraleitende Qubits]] erzeugt.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Monz ''et al.'' |Titel=14-Qubit Entanglement: Creation and Coherence |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=106 |Datum=2011 |Seiten=130506 |DOI=10.1103/PhysRevLett.106.130506}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Xi-Lin Wang ''et al.'' |Titel=Experimental Ten-Photon Entanglement |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=117 |Datum=2016 |Seiten=210502 |DOI=10.1103/PhysRevLett.117.210502}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Chao Song ''et al.'' |Titel=10-Qubit Entanglement and Parallel Logic Operations with a Superconducting Circuit |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=119 |Datum=2017 |Seiten=180511 |DOI=10.1103/PhysRevLett.119.180511}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quanteninformatik]]

GHZ-Zustand - Versionsgeschichte

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