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'''GARCH-Modelle''' (GARCH, [[Akronym]] für: '''''G'''eneralized '''A'''uto'''R'''egressive '''C'''onditional '''H'''eteroscedasticity'', {{deS}} ''verallgemeinerte autoregressive bedingte [[Heteroskedastizität]]'') bzw. '''verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität''' oder auch '''verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle''' sind [[Stochastik|stochastische]] Modelle zur [[Zeitreihenanalyse]], die eine Verallgemeinerung der [[ARCH-Modell]]e ('''''a'''uto'''r'''egressive '''c'''onditional '''h'''eteroscedasticity'') sind. Sie werden beispielsweise in der [[Ökonometrie]] bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des [[Volatilität]]sclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von [[Tim Bollerslev]] auf der Grundlage des ARCH-Modells von [[Robert F. Engle]] (1982) entwickelt.

== Definition ==
Eine Zeitreihe <math>(x_t)_{t \in \Z}</math> heißt GARCH(''p'',''q'')-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch<ref name="kreiss">Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: ''Einführung in die Zeitreihenanalyse.'' Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.</ref>
:<math>
\begin{align}
x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\
\sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2 + b_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsb + b_q \sigma_{t-q}^2,
\end{align}
</math>
wobei <math>a_0, \dotsc, a_p, b_1, \dotsc, b_q</math> reelle, nichtnegative Parameter mit <math>a_p \neq 0</math> und <math>b_q \neq 0</math> sind, und der Prozess <math>(\epsilon_t)_{t\in \Z}</math> aus [[Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängigen identisch verteilten]] Zufallsvariablen mit <math>\operatorname{E}(\epsilon_t) = 0</math> und <math>\operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1</math> besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die [[bedingte Varianz]] <math>\sigma_t^2 = \operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1},x_{t-2}, \dotsc)</math> von <math>x_t</math> von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

== Erweiterungen ==

=== T-GARCH ===
T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:<br />
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem „normalen“ GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.<ref>[https://kluedo.ub.uni-kl.de/frontdoor/index/index/docId/1671 Dissertation zu T-GARCH]</ref>

=== COGARCH ===
[[Claudia Klüppelberg]], Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen

:<math>x_t = \sigma_t \epsilon_t</math>
:<math>\sigma_t^2 = a_0 + a_1 x^2_{t-1} + b_1 \sigma^2_{t-1} = a_0 + a_1 \sigma_{t-1}^2 \epsilon_{t-1}^2 + b_1 \sigma^2_{t-1} </math>

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen <math> \epsilon_t </math> formal durch die infinitesimalen Inkremente <math> \mathrm{d}L_t </math> eines [[Lévy-Prozess]]es <math> (L_t)_{t\geq0} </math> sowie deren Quadrate <math> \epsilon^2_t </math> durch die Inkremente <math> \mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t </math>, wobei

:<math> [L,L]^\mathrm{d}_t = \sum_{s\in[0,t]} (\Delta L_t)^2,\quad t\geq0 </math>

der rein unstetige Teil des [[Quadratische Variation|quadratischen Variationsprozesses]] von <math> L </math> ist. Man erhält also das System

:<math>\mathrm{d}G_t = \sigma_{t-} \,\mathrm{d}L_t</math>
:<math>\mathrm{d}\sigma_t^2 = (\beta -\eta \sigma^2_t)\,\mathrm{d}t + \varphi \sigma_{t-}^2 \,\mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t </math>

von [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichungen]], wobei sich die positiven Parameter <math> \beta </math>, <math> \eta </math> und <math> \varphi </math> aus <math> a_0 </math>, <math> a_1 </math> und <math> b_1 </math> bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung <math> (G_0,\sigma^2_0) </math> gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung <math> (G_t,\sigma^2_t)_{t\geq0} </math>, die dann als COGARCH-Modell ('''''co'''ntinuous-time '''GARCH''''') bezeichnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=C. Klüppelberg, A. Lindner, R. Maller |Titel=A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour |Sammelwerk=Journal of Applied Probability |Band=41 |Nummer=3 |Datum=2004 |Seiten=601–622 |DOI=10.1239/jap/1091543413 }}</ref>

== Siehe auch ==
* [[NARCH-Modell]]

== Literatur ==
* T. Bollerslev: ''Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.'' In: ''Journal of Econometrics.'' Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, [[doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1]].
* J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: ''Statistics of Financial Markets: An Introduction.'' 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

[[en:Autoregressive conditional heteroskedasticity]]

GARCH-Modelle - Versionsgeschichte

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