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2022-12-31T14:24:16Z

Definition

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Als '''G-Raum''' bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen [[Gruppenwirkung]] versehenen [[topologischer Raum|topologischen Raum]]. Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf natürliche Weise vor.

== Definition ==

Sei <math>M</math> ein topologischer Raum, <math>G</math> eine ([[Topologische Gruppe|topologische]] oder [[Diskrete Gruppe|diskrete]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und
:<math>G\times M\rightarrow M</math>
:<math>(g,x)\mapsto gx</math>
eine stetige Wirkung von <math>G</math> auf <math>M</math>, das heißt eine [[stetige Abbildung]] mit
:<math>g(hx)=(gh)x</math>
für alle <math>g,h\in G,x\in M</math> sowie
:<math>ex=x</math>
für das [[Neutrales Element|neutrale Element]] <math>e\in G</math> und alle <math>x\in M</math>, dann wird <math>M</math> G-Raum genannt.<ref>{{Literatur | Autor = [[Tammo tom Dieck]] | Titel = Algebraic Topology | Jahr = 2008 | Verlag = European Mathematical Society Publishing House | Ort = Zürich | ISBN = 978-3-03719-048-7 | Seiten = 17 }}</ref>

Man spricht auch von einer '''stetigen Wirkung'''. Falls der zugrundeliegende topologische Raum ein [[metrischer Raum]] ist und für jedes <math>g</math> die Abbildung <math>x\to gx</math> eine [[Isometrie]] ist, spricht man von einer '''isometrischen Wirkung'''.

== Weitere Begriffe ==
Im Folgenden sei <math>M</math> ein G-Raum, <math>G \times M</math> trage die [[Produkttopologie]] und der [[Gruppenoperation#Bahn|Bahnenraum]] <math>G\backslash M</math> die [[Quotiententopologie]].

=== Transitive Wirkung ===

Eine Wirkung <math>G\times M\rightarrow M</math> heißt ''transitiv'', wenn es zu jedem Paar <math>(x,y)\in M\times M</math> ein <math>g\in G</math> mit <math>gx=y</math> gibt.

Wenn <math>G</math> transitiv auf <math>M</math> wirkt, dann ist <math>M</math> homöomorph zu <math>G/G_x</math> mit der Quotiententopologie, wobei <math>G_x=\left\{g\in G:gx=x\right\}</math> der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes <math>x\in M</math> ist.

=== Freie Wirkung ===

Eine Wirkung <math>G\times M\rightarrow M</math> heißt ''frei'', wenn aus <math>gx=x</math> (mit <math>g\in G</math> und <math>x\in M</math>) stets <math>g=e</math> folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle <math>x\in M</math> der [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] <math>G_x\subset G</math> nur aus dem neutralen Element besteht.

=== Effektive Wirkung ===

Eine Wirkung heißt ''effektiv'' (oder ''treu''), wenn es zu jedem <math>g\not= e</math> ein <math>x\in M</math> mit <math>gx\not =x</math> gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von <math>G</math> in die Gruppe der [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] von <math>X</math> ein [[Monomorphismus]] ist.

=== Fixpunkte ===

Die ''Fixpunkte'' eines Elementes <math>g\in G</math> sind die Elemente <math>x\in M</math> mit <math>gx=x</math>.

Ein Punkt <math>x\in M</math> heißt ''globaler Fixpunkt'' der Gruppenwirkung, wenn <math>gx=x</math> für alle <math>g\in G</math> gilt.

=== Eigentliche Wirkung ===

Eine Wirkung <math>G\times M\rightarrow M</math> heißt ''eigentlich'', wenn die durch
:<math>(g,x)\rightarrow (x,gx)</math>
gegebene Abbildung <math>\rho:G\times M\rightarrow M\times M</math> eine [[eigentliche Abbildung]] ist.

Wenn die Wirkung von <math>G</math> auf <math>M</math> eigentlich ist, dann ist <math>G\backslash M</math> [[Hausdorff-Raum|Hausdorffsch]] und alle Orbiten <math>Gx</math> sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung <math>G/G_x\rightarrow Gx</math> ist ein [[Homöomorphismus]].<ref>[https://mathoverflow.net/questions/55726/properly-discontinuous-action Properly discontinuous actions]</ref>

=== Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich ===

Eine Wirkung <math>G\times M\rightarrow M</math> heißt ''eigentlich diskontinuierlich'', wenn es zu jedem <math>x\in M</math> eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U</math> gibt, für die
:<math>\sharp\left\{g\in G:gU\cap U\not=\emptyset\right\}<\infty</math>.

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion <math>M\rightarrow G\backslash M</math> eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] ist.

Eine <math>G</math>-invariante, offene Teilmenge <math>\Omega\subset M</math> heißt ''Diskontinuitätsbereich'', wenn die Wirkung von <math>G</math> auf <math>\Omega</math> eigentlich diskontinuierlich ist. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall einer [[Kleinsche Gruppe|Kleinschen Gruppe]] und ihrer Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser ist das Komplement der [[Kleinsche Gruppe#Limesmenge|Limesmenge]] und wird häufig auch als der Diskontinuitätsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies gilt allgemeiner auch für diskrete Gruppen von Isometrien von [[Hadamard-Mannigfaltigkeit]]en und ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen.)

=== Kokompakte Wirkung ===

Eine Wirkung <math>G\times M\rightarrow M</math> heißt ''kokompakt'', wenn der Orbitraum <math>G\backslash M</math> kompakt ist.

Eine Wirkung ist kokompakt, wenn es einen kompakten [[Fundamentalbereich]] gibt.

=== Geometrische Wirkung ===
Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: ''geometric action''), wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[en:Group action#Continuous group actions]]

G-Raum - Versionsgeschichte

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