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2023-11-19T19:58:28Z

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{{Belege}}
Eine '''Gütefunktion''', auch '''Trennschärfefunktion''', '''Machtfunktion''', '''Teststärkefunktion''' oder '''Testschärfefunktion''', ist eine spezielle [[reellwertige Funktion]] in der [[Testtheorie (Statistik)|Testtheorie]], einem Teilgebiet der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Jedem [[Statistischer Test|statistischen Test]] kann eine Gütefunktion zugewiesen werden. Diese ordnet im parametrischen Fall jedem Parameter die mittlere Entscheidung zu, die der Test trifft, wenn der Parameter wirklich vorliegt. Viele statistische Konzepte wie die [[Trennschärfe eines Tests|Trennschärfe]] oder das Niveau eines Tests finden sich in der Gütefunktion wieder oder können über diese definiert werden.

== Definition ==
Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) [[statistisches Modell]] <math> (\mathcal X, \mathcal A, (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}) </math> sowie eine disjunkte Zerlegung der [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] <math> \Theta </math> in Nullhypothese <math> \Theta_0 </math> und Gegenhypothese (oder Alternative) <math> \Theta_1 </math>. Des Weiteren sei ein [[statistischer Test]]
:<math> \varphi: (\mathcal X, \mathcal A) \to ([0,1], \mathcal B|_{[0,1]}) </math>

gegeben. Dann heißt die Funktion
:<math> G_\varphi \colon \Theta \to [0,1] </math>

definiert durch
:<math> G_\varphi(\vartheta):=\operatorname E_\vartheta(\varphi(X)) </math>

die ''Gütefunktion des Tests'' <math> \varphi </math>. Hierbei bezeichnet <math> \operatorname E_\vartheta </math> den [[Erwartungswert]] bezüglich des [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es <math> P_\vartheta </math>, d. h. der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen <math> X </math> mit Werten im Stichprobenraum <math> \mathcal X </math>. Somit gibt die Gütefunktion an der Stelle <math> \vartheta </math> an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Test die Nullhypothese ablehnt, wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß <math> P_\vartheta </math> vorliegt.

== Ableitbare Begriffe ==
Die folgenden Begriffe lassen sich über die Gütefunktion definieren oder finden sich in ihr wieder.
=== Niveau eines Tests ===
[[Datei:Power function binomial test.svg|miniatur|Gütefunktion eines [[Binomialtest]]s mit ''n = 30''. Für alle Werte von ''p'' aus der Nullhypothese ''H''<sub>0</sub>: ''p'' ≤ 0,2 liegt ''G''(''p'') unter dem Signifikanzniveau α = 5 %.]]
Ist <math> \varphi </math> ein Test zum Niveau <math> \alpha </math>, so gilt
:<math> \sup_{\vartheta \in \Theta_0} G_\varphi(\vartheta) \leq \alpha </math>.

Das Niveau eines Test ist somit eine obere Schranke für die Gütefunktion des Tests auf <math> \Theta_0 </math> und somit auch eine obere Schranke für [[Fehler 1. und 2. Art#Fehler 1. Art|Fehler 1. Art]] des Tests. Dementsprechend sind Tests mit effektiven Niveau <math> \alpha </math> diejenigen, für die <math> \alpha </math> eine kleinste obere Schranke für ihre Gütefunktion auf <math> \Theta_0 </math> ist und somit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art <math> \alpha </math> ist.

=== Trennschärfe eines Tests ===
Die [[Trennschärfe eines Tests]] gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, sich für die Alternative zu entscheiden, wenn diese wirklich vorliegt. Somit ist die Trennschärfe des Tests <math> \varphi </math> für vorliegendes <math> \vartheta \in \Theta_1 </math> gegeben als <math> G_\varphi(\vartheta) </math>. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für einen [[Fehler 1. und 2. Art#Fehler 2. Art|Fehler 2. Art]] bei Vorliegen von <math> \vartheta </math> gegeben durch
:<math> \beta_\varphi(\vartheta)=1-G_\varphi(\vartheta) \quad \mathrm{f\ddot ur\;\;} \vartheta \in \Theta_1 </math>.

=== Einhüllende Gütefunktion ===
Ist eine Menge von Tests <math> \mathcal T </math> gegeben, so heißt die Funktion
:<math> \beta_{\mathcal T}^+ \colon \Theta_1 \to [0,1] </math>

definiert durch
:<math> \beta_{\mathcal T}^+(\vartheta):= \sup_{\varphi \in \mathcal T} G_\varphi(\vartheta) </math>

die ''einhüllende Gütefunktion'' (engl. ''envelope power function''). Sie ordnet jedem Element der Alternative den größten Trennschärfe-Wert aller Tests der Menge <math> \mathcal T </math> zu. Anwendung findet sie beispielsweise bei der Formulierung von Optimalitätskriterien von Tests wie [[gleichmäßig bester Test|gleichmäßig besten Tests]] oder [[Strenger Test|strengen Tests]]. So sind die gleichmäßig besten Tests gerade die Tests, deren Gütefunktion auf der Alternative mit der einhüllenden Gütefunktion übereinstimmen.

== Siehe auch ==
*[[Operationscharakteristik]]
== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Hans-Otto Georgii]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}
*{{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
*{{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}

{{SORTIERUNG:Gutefunktion}}
[[Kategorie:Testtheorie]]

Gütefunktion - Versionsgeschichte

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