imported>Bleckneuhaus: /* Definition über die Energie */ Präzisierung (s Disk)

2026-02-07T11:55:30Z

Definition über die Energie: Präzisierung (s Disk)

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt ein Maß für die Dämpfung bzw. den Energieverlust eines [[schwingungsfähiges System|schwingungsfähigen Systems]]; zur Güte eines Filters in der Fluidtechnik siehe [[Staubabscheideleistung]].}}

Der Begriff '''Gütefaktor''', auch '''Q-Faktor''' oder '''Güte''', hat je nach Anwendungsgebiet eine andere Bedeutung. In Bezug auf schwingungsfähige Systeme wird er auch '''Kreisgüte''', '''Filtergüte''', '''Schwingkreisgüte''', '''Oszillatorgüte''' oder '''Resonanzschärfe''' genannt.

Der Gütefaktor ist in der Physik und Technik ein Parameter (eine [[Kennzahl]]):
* In einem frei schwingenden [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillator]] (Resonator) ist er proportional zum Verhältnis der gespeicherten Energie zum (thermischen) [[Dissipation|Energieverlust]] während einer Schwingungs[[Periode (Physik)|periode]] (der Proportionalitätsfaktor ist <math>2\pi</math>).
* Bei Energiespeichern, wie beispielsweise [[Elektrisches Bauelement|elektrischen Bauelementen]] wie [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]] und [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensatoren]] ist der Gütefaktor eine Kennzahl für den Energieverlust.<ref name="zinke1"/> Eine ''hohe Güte'' eines Systems besagt, dass das System die gespeicherte Energie in nur geringem Umfang in thermische Energie umsetzt und die Schwingung nur in geringem Umfang abnimmt.<ref name="gert1"/>
* Der [[Kehrwert]] des Gütefaktors wird (in beiden obigen Bereichen) als [[Verlustfaktor]] bezeichnet.<ref>{{IEV|151-15-47}}</ref>
* Bei einer [[Erzwungene Schwingung|erzwungenen Schwingung]] beschreibt der Gütefaktor das Verhältnis der [[Resonanzfrequenz]] zu seiner [[Bandbreite#3-dB-Bandbreite|Bandbreite]].<ref name="elec1"/>

Der Gütefaktor ist je nach Systemauslegung sehr unterschiedlich. Systeme, bei denen die Dämpfung wichtig ist (beispielsweise [[Stoßdämpfer]]), haben einen Gütefaktor um <math>0{,}5</math>, was dem [[Aperiodischer Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]] entspricht. Systeme, die eine hohe Frequenzstabilität benötigen, haben hohe Gütefaktoren, beispielsweise eine [[Stimmgabel]] um <math>Q=1000</math> und der [[Quarzoszillator]] in einer [[Quarzuhr]] um <math>Q=10000</math> .<ref name="nist1"/>

Die Etablierung des Begriffs Q-Faktor und insbesondere im Englischen des Begriffs {{EnS|Quality Factor}} geht auf Kenneth S. Johnson zurück, der den Gütefaktor zur Bewertung von elektrischen Netzwerken im Jahr 1923 erstmals verwendete.<ref name="pat1628983"/><ref name="storyQ"/> Die Definition des Gütefaktors wurde neben der ursprünglichen Anwendung im Rahmen der elektrischen Netzwerktheorie verallgemeinert und findet Anwendung unter anderem bei [[Hohlraumresonator]]en, bei mechanischen und akustischen Systemen wie beispielsweise [[Lautsprecher]]n, bis hin zur Bewertung von Spektrallinien und Teilchenresonanzen im Rahmen der [[Quantenmechanik]].

== Definitionen ==
Der [[Dimensionslose Größe|dimensionslose]] Gütefaktor <math>Q</math> wird in zwei gebräuchlichen und nicht deckungsgleichen Definitionen verwendet, die bei größerem Q-Faktor in Näherung gleiche Ergebnisse liefern.

=== Definition über die Energie ===
Bei dieser Definition ist der Gütefaktor gegeben durch
:<math>Q \mathrel\stackrel{\text{def}}{=} 2\pi \,\frac{E}{W_V} = \omega\,\frac{E}{P_V}</math>

mit der im System ''gespeicherten Schwingungsenergie'' <math>E</math>, der Verlustleistung <math>P_V</math> und der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega=2\pi f=2\pi/T</math>. Damit ist
:<math>2\pi \frac{E}{Q} = P_V T </math>
der Anteil der Schwingungsenergie, der bei schwacher Dämpfung (also etwa konstant bleibender Verlustleistung) in der nächsten
Periode ''dissipiert'' wird.<ref name="Pfeil"/> Die Verlustleistung entsteht bei mechanischen Schwingungen bspw. durch Reibung, bei elektrischen Schwingkreisen z. B. durch Stromwärmeverluste.

Bei freien Schwingungen setzt man die [[Schwingung#Schwingfall|gedämpfte Eigenfrequenz]] <math>\omega_d</math> ein, bei erzwungenen Schwingungen im [[Eingeschwungener Zustand|eingeschwungenen Zustand]] die [[Resonanzfrequenz]] [[Erzwungene Schwingung#Eingeschwungener Zustand bei sinusförmiger Anregung|<math>\omega_r</math>]]. Hierbei ist darauf zu achten, die Einsetzung ggf. auch bei <math>E=E(\omega)</math>, <math>W_V=W_V(\omega) </math> bzw. <math>P_V=P_V(\omega)</math> vorzunehmen, denn häufig hängen sie von der Frequenz <math>\omega</math> ab (vgl. [[Schwingkreis#Energiebilanz für den Parallelkreis|Parallelschwingkreis]]).

Für schwach gedämpfte, freie Schwingungen mit einer im Vergleich zur [[Relaxationszeit|Energierelaxationszeit]] <math>\tau</math> kleinen Schwingungsperiode <math>T</math>, d. h. <math>T\ll\tau</math>, gilt ferner <math>W_V\approx\frac{E}{\tau}\,T</math> und somit <math>Q =\omega \,\tau=2\pi f\,\tau </math>. In dem Fall gibt die Oszillatorgüte (bis auf den Faktor <math>2\pi</math>) die Anzahl der Schwingungen in der Relaxationszeit der Energie an, d. h. die Anzahl der Schwingungen bis die Energie auf den Bruchteil <math>1/e</math> gefallen ist.

=== Definition über die Bandbreite ===
Bei dieser Definition wird von der Resonanzfrequenz <math>f_r</math> in Relation zur Resonanzbreite <math>\Delta f</math> ausgegangen. Die Resonanzbreite stellt eine [[Bandbreite]] dar, bei der das [[Leistungsdichtespektrum]] auf die Hälfte abgenommen hat, dies entspricht der [[Halbwertsbreite]] und wird im technischen Bezug auch als [[Bandbreite|3-dB-Bandbreite]] bezeichnet:

:<math>Q \mathrel\stackrel{\text{def}}{=}\frac{f_r}{\Delta f} = \frac{\omega_r}{\Delta \omega}</math>

Nach dieser Definition entspricht die relative Bandbreite <math>d</math> dem Kehrwert des Gütefaktors:

:<math>d = \frac{\Delta \omega}{\omega_r} = \frac{1}{Q}</math>

== Elektrische Schaltungstechnik ==
Im folgenden Abschnitt sind einige Beispiele zum Gütefaktor mit Bezug zu [[Netzwerk (Elektrotechnik)|elektrischen Netzwerken]] beschrieben.

=== Schwingkreise ===
==== Reihenschwingkreis ====
[[Datei:Rajz RLC soros.svg|mini|Reihenschwingkreis]]
Ein [[Reihenschwingkreis]] besteht aus in Reihe liegendem [[elektrischer Widerstand|Widerstand]] <math>R</math>, Induktivität <math>L</math> und einer Kapazität <math>C</math>, welche von einem Wechselstrom <math>I</math> durchflossen werden. Der Gütefaktor wird im Resonanzfall bestimmt, wobei dann die Beträge der Reaktanzen gleich sind, d. h. <math>|X_r| := |X_L| = |X_C| </math>. Der Gütefaktor des Reihenschwingkreises kann dann als Quotient von [[Blindleistung]] <math>P_Q</math> der Spule (oder Kondensator) und [[Wirkleistung]] <math>P_W</math> ausgedrückt werden:

:<math>Q = \frac{P_Q}{P_W} = \frac{I^2 |X_r|}{I^2 R} = \frac{|X_r|}{R}= \frac1R\;\sqrt{\,\frac{L}{C}\,}</math>

mit Resonanzfrequenz <math>\omega_r=\frac1{\sqrt{LC}} </math> und Reaktanzen <math>X_L = \omega_r L</math> bzw. <math>X_C = -\frac1{\omega_r C}</math>.

Für die genaue Herleitung mithilfe der Energiedefinition siehe [[Schwingkreis#Energiebilanz für den Reihenkreis|Energiebilanz]] und [[Schwingkreis#Kreisgüte erzwungener Schwingungen|Kreisgüte]] im [[Schwingkreis#Erzwungene Schwingungen im Reihenkreis|Reihenschwingkreis]].
==== Parallelschwingkreis ====
[[Datei:Rajz RLC parhuzamos.svg|mini|Parallelschwingkreis]]
Ein [[Parallelschwingkreis]] umfasst in [[Parallelschaltung]] einen Widerstand <math>R</math>, eine Induktivität <math>L</math> und eine Kapazität <math>C</math>, welche parallel an einer Wechselspannung <math>U</math> liegen. Auch der Gütefaktor eines Parallelschwingkreises wird im Resonanzfall bestimmt und lässt sich mit den Bezeichnungen von oben <math>|X_r| := |X_L| = |X_C|</math> wie beim Reihenschwingkreis als Quotient von Blindleistung <math>P_Q</math> der Spule (oder Kondensator) und [[Wirkleistung]] <math>P_W</math> ausdrücken:

:<math>Q = \frac{P_Q}{P_W} =\frac{\frac{U^2}{|X_r|}}{\frac{U^2}{R}} = \frac{R}{|X_r|}=R\;\sqrt{\,\frac{C}{L}\,} </math>

wobei die Formel nur bei schwacher Dämpfung gilt, da nur dann <math>\omega_r\approx \frac1{\sqrt{LC}}</math>. Für die genauen Voraussetzungen und die Herleitung mithilfe der Energiedefinition siehe [[Schwingkreis#Energiebilanz für den Parallelkreis|Energiebilanz]] und [[Schwingkreis#Kreisgüte erzwungener Schwingungen|Kreisgüte]] im [[Schwingkreis#Erzwungene Schwingungen im Parallelkreis|Parallelschwingkreis]].
=== Impedanzen ===
Bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauteilen ist der Gütefaktor ein Maß dafür, wie gut das Bauteil dem Ideal nahe kommt, also möglichst keine internen Verluste aufweist. Im Gegensatz zur Begriffsverwendung bei Schwingkreisen kommt dabei keine Resonanzfrequenz als ausgezeichneter Betriebsfall vor, die Frequenz wird von außen vorgegeben, womit der Gütefaktor dann ''frequenzabhängig (!)'' ist.

Im einfachsten Fall werden bei Spule und Kondensator Verluste durch eine Reihenersatzschaltung von idealem Bauteil und Verlustwiderstand modelliert (ESR oder ''[[Equivalent Series Resistance|equivalent series resistance]]'').

Mit der Energiedefinition lässt sich zeigen, dass der Gütefaktor als Quotient von Blind- und Wirkleistung des Bauteils ausdrückbar ist:

:<math>Q = \frac{P_Q}{P_W} = \frac{I^2 |X|}{I^2 R} = \frac{|X|}{R}</math>

Eine hohe [[Spulengüte]]<ref name="IEV2">{{IEV|151-15-45}}</ref> ist vor allem dann erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird. Der Gütefaktor ist bei Netzwerkelementen zugleich der Kotangens des [[Verlustwinkel]]s.<ref>{{IEV|151-15-48}}</ref>

== Bandbreite ==
[[Datei:Bandwidth.svg|mini|[[Resonanzkurve]] bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit <math>f_c</math> bezeichnet ist]]
Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz. Diese wird durch die [[Bandbreite#3-dB-Bandbreite|3-dB-Bandbreite]] <math>B</math> ausgedrückt:<ref name="Böhmer">Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: ''Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf.'' 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69</ref>

: <math>B = f_2-f_1 = \frac{f_0}{Q}</math>

mit dem daraus gebildeten Gütefaktor:

: <math>Q = \frac{f_0}{B}</math>

Die obere [[Grenzfrequenz]] <math>f_2</math> und die untere Grenzfrequenz <math>f_1</math> sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung <math>\hat u</math> bzw. der Strom <math>\hat\imath</math> auf den <math>\frac1{\sqrt2} \approx 0{,}707</math>-fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des [[Logarithmische Größe|Pegels]] in Abhängigkeit von der [[Frequenz]] ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die [[Leistungswurzelgröße]] um 3 [[Dezibel|dB]] abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus:
: <math>f_1 = \frac{ \sqrt{R^2 + 4\frac LC} - R}{4 \pi L}</math>   und   <math>f_2 = \frac{\sqrt{R^2 + 4\frac LC} + R}{4 \pi L}</math>

Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch:
: <math>f_0 = \sqrt{f_1\,f_2}</math>.

== Mechanischer Schwingkreis ==
In der [[Mechanik]] geht man bei einem [[Federpendel]] (Masse-Feder-System) von folgenden Differentialgleichungen aus:
: <math>m \ddot x + d \dot x + k x = 0 \qquad\text{oder}\qquad \ddot x + 2 \delta\dot x + \omega_0^2 x = 0</math>
Dabei bedeutet <math>x</math> die Auslenkung aus der Ruhelage und <math>m</math> die Masse. Weitere Terme sind die vorzugsweise durch Reibung bestimmte [[Dämpfungskonstante]] <math>d</math>, die [[Federkonstante]] <math>k</math>, der Dämpfungskoeffizient <math>\delta</math> und die Eigenkreisfrequenz <math>\omega_0= \sqrt{k/m}</math> des ungedämpften Systems.

Ist die gespeicherte Energie gegeben durch <math>E_0=\frac 12 kx^2_0=\frac 12 mv^2_0</math>, so klingt diese im Schwingfall gemäß <math>E(t)=E_0\, \mathrm e^{-\frac{t}{\tau}}</math>ab. Die Verlustleistung ist daher <math>P_V=-\dot{E}=E/ \tau</math>; die Energiedefinition ergibt daher für <math>\delta\, T\ll 1</math> <ref>[[Dieter Meschede]] (Hrsg.), [[Christian Gerthsen]]: ''[[Gerthsen Physik]].'' 25. Auflage. Springer, 2015, S. 150f</ref><ref>Alan M. Portis, Hugh D. Young: ''Physik im Experiment.'' Vieweg, 1978, S. 34</ref>
: <math>Q = \omega_d\;\frac {E} {P_V}=\omega_d\,\tau</math>
mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz <math>\omega_d= \sqrt{\omega^2_0-\delta^2}</math> des schwach gedämpften Systems und der Energierelaxationszeit <math>\tau=1/2\delta</math>.

== Beispiele ==
In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! System
! Gütefaktor Q
|-
| [[Aperiodischer Grenzfall]] || <math>0{,}5</math>
|-
| Elektrodynamischer [[Lautsprecher]] || typ. <math>0{,}2 \, \ldots \, 1{,}2</math>
|-
| Elektrischer [[Schwingkreis]] || <math>10^2</math>
|-
| [[Pendeluhr]] || <math>10^4</math>
|-

| [[Schwingquarz]] 10 MHz || <math>(3 \,\ldots \, 10) \cdot 10^5</math>
|-
| Frequenzstabilisierter [[Laser]] || <math>10^9</math>
|-
| Supraleitender [[Hohlraumresonator]] || <math>10^9 \, \ldots \, 10^{11}</math>
|-
| Cäsium-[[Atomuhr]] || <math>10^{13}</math>
|-
| [[Mößbauer-Effekt]] bei [[Gammastrahlung]] || <math>10^{15}</math>
|}

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783835101760}}

== Weblinks ==
* [https://www.sengpielaudio.com/Rechner-bandbreite.htm Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' ''N'' in Gütefaktor ''Q'' und Gütefaktor ''Q'' in 'Bandbreite in Oktaven' ''N'']
* [https://www.sengpielaudio.com/Rechner-grenzfrequenzen.htm Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite)]
* [https://www.sengpielaudio.com/EBS-Guetefaktor-in-Bandbreite-Oktave.xls Gütefaktor Q in „Bandbreite in Oktaven“ N - und zurück] – Excel

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="gert1">{{Literatur | Autor = Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel | Titel = Physik - Ein Lehrbuch | Auflage = 16. | Jahr = 1989 | ISBN = 3-540-51196-2 | Kapitel = Kapitel 4.1.2 | Seiten = 140 - 141}}</ref>
<ref name="Pfeil">{{Literatur | Autor = Wolfgang Pfeiler, Anton Zeilinger | Titel = Experimentalphysik Band 1 | Auflage = 2. | Jahr = 2020 | ISBN = 978-3-11-067562-7 | Kapitel = Kapitel 5.2.4 | Seiten = 298 - 299}}</ref>
<ref name="zinke1">{{Literatur | Autor = Otto Zinke, Heinrich Brunswig | Titel = Physik - Ein Lehrbuch | Auflage = 16. | Jahr = 1989 | ISBN = 3-540-51196-2 | Kapitel = Kapitel 4.1.2 | Seiten = 140 - 141}}</ref>
<ref name="elec1">{{Literatur | Autor = Mike Tooley | Titel = Electronic Circuits - Fundamentals And Applications | Verlag = Routledge | Jahr = 2020 | Auflage = 5. | ISBN = 978-0-367-82265-1 | Kapitel = Chapter 2: Passive circuits | Seiten = 79 - 81 }}</ref>
<ref name="nist1">{{Internetquelle | url = http://tf.nist.gov/general/enc-q.htm | titel = Time and Frequency from A to Z: Quality Factor, Q | hrsg = NIST | zugriff = 2022-12-03 | archiv-url = https://web.archive.org/web/20080504160852/http://tf.nist.gov/general/enc-q.htm | archiv-datum = 2008-05-04 | offline = ja }}</ref>
<ref name="storyQ">{{Internetquelle | url = https://www.collinsaudio.com/Prosound_Workshop/The_story_of_Q.pdf | titel = The Story of Q | autor = Estill Green | hrsg = Bell Telephone Laboratories | datum = 1955 | zugriff = 2022-12-03}}</ref>
<ref name="pat1628983">{{Patent | Land = US | V-Nr = 1628983 | Titel = Electrical network | V-Datum = 1923 | Erfinder = Kenneth S. Johnson | Anmelder = [[Western Electric]]}}</ref>
</references>

{{SORTIERUNG:Gutefaktor}}
[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Messgröße zur elektromagnetischen Verträglichkeit]]

Gütefaktor - Versionsgeschichte

imported>Bleckneuhaus: /* Definition über die Energie */ Präzisierung (s Disk)