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2026-04-09T18:20:20Z

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{{Lückenhaft |Angaben zur Geschichte des [[Lemma (Lexikographie) |Lemma]]s! Die [[Kategorientheorie]] selbst ist offenbar recht jung. |Diesem Artikel}}
'''Funktoren''' sind ein zentrales Grundkonzept des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Kategorientheorie]]. Ein Funktor ist eine strukturerhaltende [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] zwischen zwei Kategorien. Konkrete Funktoren haben in vielen Teilgebieten der Mathematik eine besondere Bedeutung. Funktoren werden auch '''Diagramme''' genannt (mitunter nur in bestimmten Kontexten), da sie eine formale Abstraktion [[Kommutatives Diagramm|kommutativer Diagramme]] darstellen.

== Definition ==
Seien <math>\mathcal{C}, \mathcal{D}</math> Kategorien. Ein ('''kovarianter''') '''Funktor''' ist eine Abbildung <math>F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math>, die:
* Objekte auf Objekte abbildet: <math>F:\rm{Ob}(\mathcal{C})\to \rm{Ob}(\mathcal{D}) </math>
* [[Morphismus|Morphismen]] auf Morphismen abbildet: seien <math>X,Y,Z</math> Objekte in <math>\mathcal C</math>, dann gilt <math>F\colon \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y) \to \operatorname{Mor}_\mathcal{D}(F(X), F(Y))</math> so dass:
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math>
** <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math> für alle Morphismen <math>f \colon X \to Y\,\!</math> und <math>g \colon Y\to Z</math>.

=== Erläuterungen ===
Der Funktor erhält somit Identitätsmorphismen und [[Komposition (Mathematik)|Kompositionen]]. Für jeden Morphismus <math>u\colon A \to B</math> in <math>\mathcal{C}</math> gilt <math>F(u)\colon F(A) \to F(B)</math>.

Ein Funktor <math>F\colon\mathcal{C} \to \mathcal{C}</math> von einer Kategorie auf sich selbst heißt '''Endofunktor'''.

Funktoren ermöglichen den Übergang von einer Kategorie zu einer anderen, wobei die genannten Regeln gelten. Das Bestehen dieser Regeln nennt man auch die '''Funktorialität''' dieses Übergangs, oder man sagt, die diesem Übergang zu Grunde liegende Konstruktion sei '''funktoriell'''.

=== Kontravarianter Funktor ===
Ein kovarianter Funktor auf der [[Duale Kategorie|dualen Kategorie]], <math>F\colon \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \to \mathcal{D}</math>, wird als '''kontravarianter Funktor''' (oder '''Kofunktor''') <math>F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> bezeichnet und kann als Abbildung von <math>\mathcal{C}</math> nach <math>\mathcal{D}</math> angesehen werden, indem man die Morphismen in <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{C}^{\operatorname{op}}</math> miteinander identifiziert. Konkret ist eine Abbildung <math>F\colon \mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> genau dann ein kontravarianter Funktor, wenn
* Objekte auf Objekte abgebildet werden und
* Morphismen auf Morphismen abgebildet werden: seien <math>X,Y,Z</math> Objekte in <math>\mathcal C</math>, dann gilt <math>F\colon \operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y) \to \operatorname{Mor}_\mathcal{D}(F(Y), F(X))</math>, so dass:
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math>
** <math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)</math> für alle Morphismen <math>f \colon X \to Y\,\!</math> und <math>g \colon Y\to Z</math>. (beachte die geänderte Reihenfolge auf der rechten Seite)

== Beispiele ==
*Der identische Funktor <math>\mathrm{id}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}</math>, der jedem Morphismus sich selbst zuordnet, ist ein kovarianter Funktor.
*Ist <math>\mathcal{C}</math> die Kategorie der [[Vektorraum|Vektorräume]] mit den [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] als Morphismen und ordnet <math>F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}</math> jedem Vektorraum <math>V</math> seinen [[Dualraum]] <math>V^*</math> zu und jeder linearen Abbildung <math>f\colon V\rightarrow W</math> die [[duale Abbildung]] <math>f^*\colon W^*\rightarrow V^*</math> zu, so ist <math>F</math> ein kontravarianter Funktor.
*Häufig anzutreffen sind [[Vergissfunktor]]en: Beispielsweise sind in der Kategorie der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] die Objekte Gruppen, also mit einer Verknüpfung versehene Mengen, und die Morphismen [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]], also bestimmte Abbildungen zwischen diesen Mengen. Die Verkettung von Morphismen ist dabei nichts anderes als die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von Abbildungen. Der Vergissfunktor ist nun ein Funktor in die Kategorie der Mengen, er „vergisst“ die Zusatzstruktur und weist jeder Gruppe die [[Grundmenge|zugrundeliegende Menge]] und jedem Gruppenhomomorphismus die zugehörige Abbildung auf dieser Menge zu. Entsprechende Vergissfunktoren gibt es für alle Kategorien [[Algebraische Struktur|algebraischer Strukturen]] und ebenso für Kategorien [[Topologischer Raum|topologischer Räume]] mit stetigen Abbildungen etc.
*Die duale Kategorie einer Kategorie besteht aus denselben Morphismen, wobei jedoch die Verkettung umgekehrt definiert ist. Der ''Dualitätsfunktor'' <math>\omega\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}^{\operatorname{op}}</math>, der jedem Morphismus sich selbst zuordnet, ist also ein kontravarianter Funktor.
*Auf der Kategorie der Mengen definiert man den [[Potenzmengenfunktor]], der jeder Menge ihre Potenzmenge zuordnet und jeder Abbildung <math>f\colon A\to B</math> die [[Urbild (Mathematik)|Urbildbildung]] <math>\mathcal{P}(B)\to\mathcal{P}(A), S\mapsto f^{-1}(S)</math> zuordnet. Der Potenzmengenfunktor ist kontravariant. Ähnliche Funktoren tauchen auch in anderen Kategorien auf, bei denen man nur bestimmte Abbildungen als Morphismen zulässt und statt der Potenzmenge und Abbildungen zwischen ihnen bestimmte [[Verband (Mathematik)|Verbände]] und Homomorphismen zwischen ihnen betrachtet, siehe etwa [[Darstellungssatz für Boolesche Algebren]].
*Sind <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{D}</math> Kategorien und <math>D\in \mathcal{D}</math> ein Objekt, so heißt der Funktor <math>\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}</math>, der jedes Objekt auf <math>D</math> und jeden Morphismus auf <math>1_D</math> abbildet, der [[Konstanter Funktor|konstante Funktor]] mit Wert <math>D</math>.

== Elementare Eigenschaften ==
*Die Verkettung zweier kovarianter Funktoren ist wieder ein kovarianter Funktor.
*Die Verkettung zweier kontravarianter Funktoren ist ein kovarianter Funktor.
*Die Verkettung eines kovarianten mit einem kontravarianten Funktor ist ein kontravarianter Funktor.
*Das Bild eines [[Isomorphismus]] unter einem Funktor ist wiederum ein Isomorphismus.
*Das Bild einer [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]] bzw. einer Koretraktion unter einem kovarianten Funktor ist wiederum eine Retraktion bzw. eine Koretraktion.
*Das Bild eines [[Epimorphismus]] bzw. eines [[Monomorphismus]] unter einem kovarianten Funktor ist im Allgemeinen ''kein'' Epimorphismus bzw. Monomorphismus, da die Kürzbarkeit durch eine Nichtsurjektivität des Funktors nicht erhalten bleiben muss.
*Das Bild eines Funktors ist im Allgemeinen ''keine'' [[Unterkategorie]] der Zielkategorie, denn es können verschiedene Objekte auf dasselbe Objekt abgebildet werden, wodurch Verkettungen von Morphismen des Bildes des Funktors nicht mehr im Bild liegen müssen. Betrachte etwa eine Kategorie <math>\mathcal{C}</math> mit den Objekten <math>A, B_0, B_1, C</math> und Morphismen <math>u\colon A \to B_0</math>, <math>v\colon B_1\to C</math> und eine Kategorie <math>\mathcal{D}</math> mit den Objekten <math>A, B, C</math> und Morphismen <math>f\colon A \to B</math>, <math>g\colon B \to C</math>, <math>gf\colon A \to C</math>. <math>F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> sei ein Funktor mit <math>F(A)=A</math>, <math>F(B_0)=F(B_1)=B</math>, <math>F(C)=C</math>, <math>F(u)=f</math>, <math>F(v)=g</math>. Dann liegen <math>F(u)</math> und <math>F(v)</math> im Bild von <math>F</math>, nicht aber <math>F(v)F(u)=gf</math>.

== Multifunktoren ==
Sei eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Kategorien <math>(\mathcal{C}_i)_{i\in I}</math> bezüglich einer (kleinen) Menge <math>I</math> gegeben. Ein kovarianter Funktor <math>F</math> von der [[Produktkategorie]] <math>\textstyle\prod_i \mathcal{C}_i</math> in eine Kategorie <math>\mathcal{D}</math> heißt nun kovarianter '''Multifunktor'''. Nun betrachtet man auch Multifunktoren, die in manchen Komponenten ko- und in manchen kontravariant sind. <math>F\colon \textstyle\prod_i \mathcal{C}_i\to\mathcal{D}</math> heißt genau dann Multifunktor der '''Varianz''' <math>v\colon I\to\{0,1\}</math> (die <math>0</math> zeige Kovarianz, die <math>1</math> Kontravarianz an), wenn er aufgefasst als Abbildung von
:<math>\prod_i \begin{cases} \mathcal{C}_i & \text{wenn } v(i)=0 \\ \mathcal{C}_i^{\operatorname{op}} & \text{wenn } v(i)=1 \end{cases}</math>
nach <math>\mathcal{D}</math> ein kovarianter Multifunktor ist. Ein Multifunktor auf dem Produkt zweier Kategorien heißt '''Bifunktor'''. Schränkt man den Definitionsbereich eines Multifunktors in einzelnen Komponenten auf ein einzelnes Objekt ein, so erhält man einen '''partiellen Funktor''', ebenfalls ein Multifunktor, der in den übrigen Komponenten seine Varianz behält.

=== Bemerkung ===
Die Varianz eines Funktors ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Trivialbeispiel: Auf der Kategorie, die nur aus einem einzigen Objekt mit seinem Identitätsmorphismus besteht, ist der Identitätsfunktor ko- und kontravariant. Dies gilt auch allgemeiner in Kategorien, deren Morphismen alle [[Automorphismus|Automorphismen]] sind, sodass die Automorphismengruppen abelsch sind. Beispiel für Mehrdeutigkeit bei Multifunktoren ist eine kanonische Projektion von einer Produktkategorie in eine Komponente, dieser Funktor ist in allen anderen Komponenten sowohl ko- als auch kontravariant.

=== Beispiele ===
* Ein überall in der Kategorientheorie besonders wichtiger Funktor ist der [[Hom-Funktor]] <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}</math>, der für jede [[lokal kleine Kategorie]] <math>\mathcal{C}</math> auf dem Produkt <math>\mathcal{C}\times\mathcal{C}</math> als Bifunktor der Varianz <math>(1,0)</math> in die Kategorie der Mengen definiert ist: Für zwei Objekte <math>A,B</math> in der Kategorie <math>\mathcal{C}</math> sei zunächst <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math> als die Menge aller Morphismen von <math>A</math> nach <math>B</math> definiert. Für zwei Morphismen <math>f\colon A\to B, g\colon C\to D</math> in <math>C</math> sei
::<math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(f,g)\colon \operatorname{Hom}_\mathcal{C}(B, C)\to \operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,D), m\mapsto gmf</math>
:definiert. Für jedes Objekt <math>A</math> sind die partiellen Hom-Funktoren <math>\operatorname{Hom}(A,-)</math> bzw. <math>\operatorname{Hom}(-,A)</math> ko- bzw. kontravariante Funktoren.
* Das [[Kronecker-Produkt]] ist ein Bifunktor der Varianz <math>(0,0)</math> in der Kategorie der Matrizen (dies gilt auch allgemeiner für [[Tensorprodukt]]e).
* In der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] spielen der [[Ext-Funktor]] und der [[Tor-Funktor]] eine besondere Rolle.

== Eigenschaften von Funktoren ==
Wie bei den meisten [[Mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]] üblich, liegt es nahe, [[Injektivität|injektive]], [[surjektiv]]e und [[bijektiv]]e Funktoren zu betrachten. Die Umkehrfunktion eines bijektiven Funktors ist wie bei allen [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] wiederum ein Funktor, man spricht daher in diesem Fall von einem [[Isomorphismus]] zwischen Kategorien. Dieser Isomorphismenbegriff ist jedoch für die Kategorientheorie in einem gewissen Sinne unnatürlich: Für die Struktur einer Kategorie spielt es nämlich im Wesentlichen keine Rolle, ob zu einem Objekt weitere isomorphe Objekte vorhanden sind. Die Morphismen von zwei isomorphen Objekten zu einem beliebigen Objekt entsprechen einander vollkommen, und umgekehrt. Für einen Isomorphismus im obigen Sinne ergibt es jedoch einen Unterschied, wie viele (angenommen, man bewegt sich in einer [[Kleine Kategorie|kleinen Kategorie]], sodass man von [[Kardinalität (Mathematik)|Anzahlen]] sprechen kann) isomorphe Objekte jeweils vorhanden sind, eine Eigenschaft, die für kategorientheoretische Betrachtungen im Allgemeinen keine Rolle spielt. Solche Anzahlen können etwa von völlig belanglosen Details in der Konstruktion einer Kategorie abhängen – definiert man [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en als Teilmengen der [[Euklidischer Raum|<math>\R^n</math>]] (in dem Fall gibt es eine Menge aller Mannigfaltigkeiten) oder als beliebige Mengen mit einer differenzierbaren Struktur (diese bilden eine [[echte Klasse]])? Sind je zwei nulldimensionale [[Vektorraum|Vektorräume]] gleich (entsprechend der Sprechweise ''der [[Nullvektorraum]]'') oder nur isomorph? etc. Daher definiert man gewisse Eigenschaften von Funktoren, die „unempfindlich“ unter Hinzufügen oder Entfernen von isomorphen Objekten sind:

Ein Funktor <math>F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}</math> heißt ''[[Treuer Funktor|treu]]'', wenn keine zwei verschiedenen Morphismen zwischen denselben Objekten auf denselben Morphismus abgebildet werden, d. h., er ist injektiv auf jeder Klasse <math>\mathcal{C}(A,B)</math> von Morphismen zwischen <math>A</math> und <math>B</math>. Analog dazu heißt er ''voll'', wenn er auf jeder Klasse <math>\mathcal{C}(A,B)</math> surjektiv ist. Ein ''volltreuer'' Funktor ist ein Funktor, der voll und treu ist. Ein [[wesentlich surjektiv]]er Funktor ist nun ein Funktor, sodass für jedes Objekt in <math>\mathcal{D}</math> ein isomorphes Objekt existiert, das im Bild von <math>F</math> liegt. Eine ''[[Äquivalenz (Kategorientheorie)|Äquivalenz]]'' ist nun ein Funktor, der volltreu und wesentlich surjektiv ist. Dies stellt in gewisser Hinsicht einen natürlicheren Isomorphiebegriff für Kategorien dar. Eine Äquivalenz besitzt zwar keine [[inverse Funktion]] im wörtlichen Sinne, wohl aber etwas Ähnliches in Form einer Äquivalenz von <math>D</math> nach <math>C</math>, sodass bei Verkettung der beiden Äquivalenzen Objekte auf isomorphe Objekte abgebildet werden. Betrachtet man statt Kategorien nur [[Skelett (Kategorientheorie)|Skelette]] von Kategorien, so stimmt der Begriff der Äquivalenz mit dem der Isomorphie überein.

== Natürliche Transformationen ==
{{Hauptartikel|Natürliche Transformation}}
Funktoren können nicht nur als Morphismen in Kategorien von Kategorien aufgefasst werden, sondern können auch als Objekte von Kategorien aufgefasst werden. Als Morphismen zwischen Funktoren betrachtet man dabei meist ''natürliche Transformationen''.

== Diagramme und Limites ==
{{Hauptartikel|Limes (Kategorientheorie)}}
Viele Begriffe werden in der Mathematik über [[Kommutatives Diagramm|kommutative Diagramme]] definiert. Beispielsweise lässt sich das Inverse <math>f^{-1}</math> eines Morphismus <math>f</math> in einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> so definieren, dass das folgende Diagramm ''kommutiert'':
:[[Datei:Inverse.svg]]
Dies lässt sich so formalisieren, dass ein Funktor von einer Kategorie mit zwei Objekten und zwei nicht-identischen Morphismen zwischen ihnen (entsprechend der Form des Diagramms) in die Kategorie <math>\mathcal{C}</math> existiert, sodass das Bild des einen nicht-identischen Morphismus <math>f</math> und das des anderen <math>f^{-1}</math> ist. Dieser Funktor wird dann auch Diagramm genannt. Als Verallgemeinerung typischer Definitionen über [[universelle Eigenschaft]]en ergibt sich der Begriff des ''[[Limes (Kategorientheorie)|Limes]]'' eines Funktors.

== Siehe auch ==
* [[Adjunktion (Kategorientheorie)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker
|Titel=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=New York
|Datum=1990
|ISBN=0-471-60922-6
|Sprache=en
|Online=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
|Format=PDF
|KBytes=4200}}
* {{Literatur
|Autor=Dieter Pumplün
|Titel=Elemente der Kategorientheorie
|Auflage=1.
|Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
|Ort=Heidelberg
|Datum=1999
|ISBN=3-86025-676-9}}

== Weblinks ==
* ''[https://ncatlab.org/nlab/show/principle+of+equivalence principle of equivalence]'', Erläuterung im ''nLab'', abgerufen am 22. August 2012

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Funktor (Mathematik) - Versionsgeschichte

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