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2026-02-27T09:35:07Z

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[[Datei:F(x) = x^3 − 9x.PNG|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=x^3-9x</math>]]
[[Datei:Three-dimensional graph.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)</math>]]
Als '''Funktionsgraph''' oder kurz '''Graph''' (seltener: '''Funktionsgraf''' oder '''Graf''') einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math> bezeichnet man in der [[Mathematik]] die Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] <math>(x, f(x))</math> aus den Elementen <math>x</math> der [[Definitionsmenge]] und den zugehörigen Funktionswerten <math>f(x)</math>.

Mitunter können diese Paare als Punkte in der [[Zeichenebene]] oder im [[Anschauungsraum]] interpretiert werden, sie werden auch ''Kurve'', ''Kurvenverlauf'' oder ebenfalls ''Funktionsgraph'' genannt.

== Definition ==
Der Graph einer Funktion <math>f \colon D \to Z</math> mit [[Definitionsmenge]] <math>D</math> und [[Zielmenge]] <math>Z</math> ist die Menge<ref>[[Hermann Schichl|Schichl]] & Steinbauer 2012, S. 160.</ref>

: <math>G_f = \{ (x, f(x)) \in D \times Z \mid x \in D \}</math>.

Der Graph ist somit eine spezielle Teilmenge des [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkts]] aus Definitions- und Zielmenge. Er besteht aus allen [[Geordnetes Paar|Paaren]], bei denen die erste Komponente ein Element der Definitionsmenge und die zweite Komponente das diesem Element durch die Funktion zugeordnete Element der Zielmenge ist.

== Spezialfälle und Beispiele ==
Der Graph einer Funktion <math>f \colon D \to \R</math> mit <math>D \subseteq \R</math> ist eine Teilmenge von <math>\R \times \R = \R^2</math> und kann somit als Punktmenge bzw. [[geometrische Figur]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] aufgefasst werden. Beispiele sind:

* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] <math>f \colon \R \to \R, x \mapsto ax+b</math> ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] <math>f \colon \R \to \R, x \mapsto ax^2+bx+c</math> mit <math>a \neq 0</math> ist eine [[Parabel (Mathematik)|Parabel]].
* Der Graph der [[Kehrwert]]funktion <math>f \colon \R \setminus \{0\} \to \R, x \mapsto \tfrac{1}{x}</math> ist eine [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].

Die Graphen von Funktionen <math>f \colon \R^2 \to \R</math> oder <math>f \colon \R \to \R^2</math> sind Teilmengen von <math>\R^3</math> und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden. Beispiele sind:

* Der Graph einer [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktion <math>f \colon \R^2 \to \R</math> ist eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion <math>f(x,y) = x^2 + y^2</math> ein [[Paraboloid|elliptisches Paraboloid]].
* Der Graph einer stetigen Funktion <math>f \colon \R \to \R^2</math> ist eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion <math>f(t) = (\sin t , \cos t)</math> eine [[Helix|Schraubenlinie]].

== Verwendung in der Mathematik ==
In [[Mengenlehre|mengentheoretischen]] Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt, der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst, also <math>G_f = \{ (x, f(x)) \in D \times Z \mid x \in D \}=f</math>. Auf diese Kuriosität wies bereits 1960 [[Jean Dieudonné]] hin:<ref> Dieudonné 1960, S. 5; Hischer 2016, S. 146, S. 237.</ref>
::It is customary, in the language, to talk of a mapping and a functional graph as if they were two kinds of objects in one-to-one correspondence, and to speak therefore of “the graph of a mapping”, but this is a mere psychological distinction (corresponding to whether one looks on F either “geometrically” or “analytically”).
Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde <math>\sin \cap \cos</math> dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:
* In jedem [[polnischer Raum|polnischen Raum]] ist eine Funktion genau dann [[Messbare Funktion|Borel-messbar]], wenn der Graph eine [[Borel-Menge]] ist.<ref>J. J. Buckley, ''[https://www.ams.org/journals/proc/1974-044-01/S0002-9939-1974-0335728-X/S0002-9939-1974-0335728-X.pdf Graphs of Measurable Functions] (PDF; 304 kB)'', ''Proceedings of the [[American Mathematical Society]]'', Volume 44, Number 1, Mai 1974.</ref>
* [[Satz vom abgeschlossenen Graphen]]: Ein [[linearer Operator]] zwischen [[Banachraum|Banachräumen]] ist genau dann stetig, wenn sein Graph abgeschlossen ist.

== Graphen im Sinne der graphischen Darstellung ==
Die graphische Darstellung ist kein [[mathematisches Objekt]]. Sie dient im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lässt Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

=== Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslücken ===

In der Darstellung der Graphen von [[Stetige Funktion|unstetigen]] Funktionen oder von Funktionen mit [[Definitionslücke]]n wird häufig durch <math>\bullet</math> angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch <math>\circ</math>, dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der [[Vorzeichenfunktion]] (auch „Signumfunktion“).

=== Beispiele ===
Drei Beispiele für Funktionsgraphen:

{| class="wikitable"
! class="hintergrundfarbe1" |Funktion
! class="hintergrundfarbe6" |Graph
! class="hintergrundfarbe6" |Anmerkung
|-
| <math>f(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{falls }x<0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0 \\ 1 & \mbox{falls }x>0 \end{cases}</math>
| [[Datei:mplwp sgn.svg|220px]]
| Der Funktionswert der Vorzeichenfunktion an der Stelle 0 ist 0.
|-
| <math>f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls }x=1 \\ 8 & \mbox{falls }x=2 \\ 15 & \mbox{falls }x=3 \end{cases}</math>
| [[Datei:mplwp 0 8 15.svg|220px]]
| Da der Definitionsbereich die Menge <math>\{1,2,3\}</math> ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten <math>(1,0)</math>, <math>(2,8)</math> und <math>(3,15)</math>.
|-
| <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>
| [[Datei:mplwp 1overx.svg|220px]]
| Für <math>x=0</math> ist die Kehrwertfunktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der <math>x</math>-Koordinate 0.
|}

== Literatur ==
* Jean Alexandre Dieudonné: ''Foundations of Modern Mathematics''. New York / London: Academic Press 1960.
* Horst Hischer: ''Mathematik – Medien – Bildung''. Wiesbaden: Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-658-14166-0.
* [[Hermann Schichl]], Roland Steinbauer: ''Einführung in das mathematische Arbeiten.'' Berlin/Heidelberg: Springer 2012, 2. Auflage, ISBN 978-3-642-28645-2.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=FunctionGraph |title=Function Graph}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analysis]]

Funktionsgraph - Versionsgeschichte

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