imported>UKoch: /* Auswertungshomomorphismus */ TeX

2019-12-07T19:17:56Z

Auswertungshomomorphismus: TeX

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Ein '''Funktionenring''' ist in der Mathematik (genauer der [[Ringtheorie]]) ein spezieller [[Ring (Algebra)|Ring]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]. Diese spielen eine große Rolle in der abstrakten [[Algebra]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], sowie zahlreichen Anwendungen der [[Mathematik]] in Naturwissenschaften.

== Definition ==
Sei <math>R</math> ein Ring, <math>M</math> eine nichtleere [[Menge (Mathematik)|Menge]] und
:<math>\mathbb F(M,R) := \{ f\colon M\to R \} </math>
die Menge aller auf <math>M</math> definierten Funktionen mit Werten in <math>R</math>.
Dann sind durch
:<math>(f+g)(x):=f(x)+g(x) </math>
:<math> (f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math>
Verknüpfungen erklärt, mit denen <math>\mathbb F(M,R)</math> zu einem Ring wird, dem sogenannten Ring der Funktionen.

== Wichtige Eigenschaften ==
* Der Ring <math>\mathbb F(M,R)</math> "ererbt" gewisse Eigenschaften von <math>R</math>, wie etwa die [[Ringtheorie|Kommutativität]] und das [[Unitärer Ring|Einselement]]. Andere Eigenschaften, wie beispielsweise [[Nullteiler|Nullteilerfreiheit]], werden nicht "vererbt".
* Die Menge der konstanten Funktionen bildet einen zu <math>R</math> [[Ringhomomorphismus|isomorphen]] [[Unterring]] von <math>F</math>. Damit kann <math>R</math> als Teilring von <math>F</math> betrachtet werden.

== Beispiele ==
* Wählt man als <math>R</math> die Menge der reellen Zahlen <math>\mathbb R</math> mit den üblichen Addition und Multiplikation und als <math>M</math> eine [[Offene Menge|offene]] Teilmenge von <math>\mathbb R^n</math>, so kann man von [[Stetige Funktion|stetigen]] beziehungsweise [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] Funktionen sprechen. In diesem Falle sind die Mengen <math>C(M)= \{ f\colon M\to R \mid f\text{ ist stetig}\}</math> und <math>D(M)= \{ f\colon M\to R \mid f\text{ ist differenzierbar}\}</math> Unterringe von <math>\mathbb F(M,R)</math>. Dabei ist <math>D(M)</math> ein Unterring von <math>C(M)</math>.

== Auswertungshomomorphismus ==
Für ein festes <math>a\in M</math> ist die Abbildung
:<math>\phi\colon \mathbb F(M,R) \to R</math>
:<math> f \mapsto f(a) </math>
ein [[Ringhomomorphismus]]. Man bezeichnet ihn als Auswertungshomomorphismus oder auch einfach als die Auswertung an der Stelle <math>a\in M</math>.

== Literatur ==
* [[Albrecht Beutelspacher]]: ''Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen.'' 6. durchgesehene und ergänzte Auflage, Nachdruck. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-528-56508-4 (''Mathematik für Studienanfänger'').
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2 (''Vieweg Mathematik'').

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Funktionenring - Versionsgeschichte

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