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2025-01-16T15:48:53Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Funktionenraum''' eine Menge von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]],<ref name="Naas">J. Naas, H. L. Schmid: ''Mathematisches Wörterbuch.'' B.G. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02400-4.</ref> die alle denselben [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] besitzen. Allerdings kann der Begriff ''Funktionenraum'' – ähnlich wie der mathematische Begriff ''[[Raum (Mathematik)|Raum]]'' – nicht scharf abgegrenzt werden.

Meist ist ein Funktionenraum mit einer Vektoraddition und [[Skalarmultiplikation]] versehen, so dass er einen [[Vektorraum]] bildet, dann spricht man von einem '''linearen Funktionenraum'''.<ref name="Heuser">H. Heuser: ''Lehrbuch der Analysis Teil 1.'' 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.</ref> Viele wichtige lineare Funktionenräume sind [[Dimension (Mathematik)|unendlichdimensional]]. Diese bilden einen wichtigen Untersuchungsgegenstand der [[Funktionalanalysis]]. Lineare Funktionenräume werden häufig mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] versehen, sodass ein [[normierter Raum]] oder – im Falle der [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] – sogar ein [[Banachraum]] entsteht. In anderen Fällen werden lineare Funktionenräume durch Definition einer [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] zu einem [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] oder einem [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Raum]].

== Begrifflichkeit ==
Funktionenräume sind im Bereich der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] [[Vektorraum|Vektorräume]], deren Elemente als [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] aufgefasst werden. Hauptsächlich werden Funktionenräume allerdings im Bereich der [[Funktionalanalysis]] betrachtet. Hier wird unter einem Funktionenraum ein Vektorraum mit einer topologischen Struktur verstanden, dessen Elemente als Funktionen aufgefasst werden.

=== In der linearen Algebra ===
[[Datei:Example for addition of functions.svg|mini|Addition im Funktionenraum: Die Summe der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion ist <math>\sin+\exp:\R\to\R</math> mit <math>(\sin+\exp)(x)=\sin(x)+\exp(x)</math>]]
Sei <math>D</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] und <math>V</math> ein Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math> K</math>, dann bezeichnet <math>V^D</math> (auch <math>\operatorname{Abb}(D, V)</math> oder <math>\operatorname{F}(D,V)</math><ref>{{BibISBN|3540064176|Seite=160}}</ref>) die Menge aller Funktionen von <math>D</math> nach <math>V</math>. Die Menge <math>V^D</math> wird für <math>f, g \in V^D</math> und für Skalare <math>\lambda \in K</math> durch die folgenden beiden Verknüpfungen zu einem Vektorraum:

* Addition: <math>(f + g)\colon D \to V, \, x \mapsto f(x) + g(x)</math>
* [[Skalarmultiplikation]] <math>\lambda f \colon D \to V, \, x \mapsto \lambda \cdot f(x)</math>

Dieser Vektorraum <math>V^D</math> und die [[Untervektorraum|Untervektorräume]] von <math>V^D</math> werden im Bereich der linearen Algebra als ''linearer Funktionenraum'' bezeichnet.

=== In der Topologie ===
In der Topologie versteht man unter einem Funktionenraum einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]], dessen Elemente Funktionen von einer Menge oder einem topologischen Raum <math>X</math> in einen topologischen Raum <math>Y</math> sind und dessen Topologie von der Topologie von <math>X</math> und <math>Y</math> und eventuellen Zusatzstrukturen, wie zum Beispiel einer [[Metrischer Raum|Metrik]] oder einer [[Uniformer Raum|uniformen Struktur]], abgeleitet ist. Häufig wird die [[Kompakt-Offen-Topologie]] verwendet.

=== In der Funktionalanalysis ===
Sei <math>D</math> eine nichtleere Menge, <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]] (oftmals ein [[Banachraum]] oder [[lokalkonvexer Vektorraum]]) und <math>V^D</math> der Vektorraum aller Abbildungen von <math>D</math> nach <math>V</math>. Ein linearer Funktionenraum im Bereich der [[Funktionalanalysis]] ist ein Untervektorraum von <math>V^D</math>, der mit einer von <math>V</math> abgeleiteten topologischen Struktur versehen ist.

== Geschichte ==
Die Geschichte der Funktionenräume kann in drei Phasen unterteilt werden. Die erste Phase begann etwa zu Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts und dauerte bis in die Mitte der 1930er-Jahre. In dieser Zeit entstanden die Funktionenräume <math>C^k</math> der <math>k</math>-mal stetig-differenzierbaren Funktionen, genauso wie die klassischen [[Lp-Raum|Lebesgue-Räume]] der <math>p</math>-integrierbaren Funktionen. Außerdem werden noch die Räume der [[Hölderraum|hölderstetigen Funktionen]] und die klassischen [[Hardy-Raum|Hardy-Räume]] zu dieser Phase gerechnet.<ref name="triebelI3335">Hans Triebel: ''Theory of function spaces.'' Birkhäuser Verlag, 1983, ISBN 3-7643-1381-1, S. 33–35.</ref>

Die zweite, die konstruktive Phase, begann mit den Veröffentlichungen von [[Sergei Lwowitsch Sobolew]] aus den Jahren 1935 bis 1938, in denen er die heute nach ihm benannten (ganzzahligen) [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räume]] einführte. Die Theorie der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] entstand und neue Techniken, wie zum Beispiel [[Einbettung (Mathematik)|Einbettungssätze]], wurden zum Lösen [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]] entwickelt. In dieser Phase wurden Funktionenräume mit [[Norm (Mathematik)|Normen]] beziehungsweise [[Quasinormierbarer Raum|Quasi-Normen]] ausgestattet. Wichtige neuentwickelte Räume dieser Zeit sind die [[Zygmund-Raum|Zygmund-Räume]] (oder Klassen), die [[Slobodeckij-Raum|Slobodeckij-Räume]], die klassischen [[Besov-Raum|Besov-Räume]] und die [[Bessel-Potenial-Raum|Bessel-Potential-Räume]]. In den 1960er-Jahren wurden außerdem der [[BMO-Raum]] von [[Fritz John]] und [[Louis Nirenberg]] und die [[Reeller Hardy-Raum|reellen Hardy-Räume]] von [[Elias Stein (Mathematiker)|Elias Stein]] und [[Guido Weiss (Mathematiker)|Guido Weiss]] eingeführt.<ref name="triebelI3335" />

Die dritte Phase, welche als systematische Phase bezeichnet wird, begann in den 1960er-Jahren und überschnitt sich klar mit der konstruktiven Phase. Hier wurden die Techniken der [[Fourier-Analysis]] weiterentwickelt und sogenannte Maximalungleichungen untersucht. Mit Hilfe dieser Werkzeuge wurden die Besov-Lebesgue-Räume <math>B^s_{p,q}</math> und die [[Lizorkin-Triebel-Raum|Lizorkin-Triebel-Räume]] <math>F^s_{p,q}</math> entwickelt. Diese beiden Räume lassen sich in den Raum der [[Temperierte Distribution|temperierten Distributionen]] <math>S'</math> einbetten. Wie ihre Definitionen vermuten lassen, sind diese Räume sehr eng mit Fourier-Analysis verflochten.<ref name="triebelI3335" /> Ein ähnliches Konzept, allerdings mit kongruenten statt dyadischen Überdeckungen verfolgen die [[Modulationsraum|Modulationsräume]].

== Beispiele ==

=== Topologie ===
* Sind <math>M</math> und <math>N</math> [[Topologischer Raum|topologische Räume]], so schreibt man <math>\mathcal C (M, N)</math> für die Menge der [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] <math>f\colon M\to N</math>.
* Ist auf <math>N</math> eine [[Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben, dann kann man sinnvoll von der Menge der beschränkten Funktionen sprechen (auch ohne Topologie auf <math>M</math>). Für diese Abbildungsmenge wird unter anderem die Notation <math>B(M,N)</math> verwendet. Ist auch auf <math>M</math> eine Topologie definiert, schreibt man <math>\mathcal C_b(M, N)</math> für die Menge der beschränkten stetigen Funktionen. Auf diesen Räumen wird durch
:: <math>d_\infty\colon (f, g) \mapsto \sup_{x \in M}d(f(x),g(x))</math>
: eine Metrik definiert. Alternativ ist auch die Metrik
:: <math>d'_\infty\colon (f, g) \mapsto \min\{1, \sup_{x \in M}d(f(x), g(x) ) \} </math>
: möglich. Diese beiden Metriken erzeugen aber dieselben [[Offene Menge|offenen Mengen]], sodass sie äquivalent behandelt werden können.
* Sind die Topologien auf <math>M</math> und <math>N</math> durch eine [[Pseudometrik]] oder eine [[Metrischer Raum|Metrik]] gegeben, dann schreibt man <math>\mathcal C_u (M, N)</math> für die Menge der [[Gleichmäßige Stetigkeit|gleichmäßig stetigen Funktionen]]. Sind <math>M</math> und <math>N</math> [[Uniformer Raum|uniforme Räume]], dann bezeichnet diese Notation die Menge der uniform-stetigen Funktionen, das heißt jener Funktionen, die die uniformen Strukturen respektieren.
* Ist <math>N</math> der Körper der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] oder der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] und ist aus dem Zusammenhang klar, in welchen Körper die Funktionen abbilden, wird dieser bei der Notation meist weggelassen, und man schreibt dann kurz <math>\mathcal C (M)</math>, <math>\mathcal C_b(M)</math> bzw. <math>\mathcal C_u (M)</math>.

=== Funktionalanalysis ===
Die meisten Funktionenräume werden in der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Die folgende Liste ist eine Auswahl der dort untersuchten Räume. Sei <math> D </math> die Definitionsmenge der untersuchten Funktionen. Dann ist

* <math>\mathcal{C}^p(D)</math> der Raum der <math>p</math>-fach [[Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen|stetig differenzierbaren]] Funktionen mit <math>p \in \mathbb N \cup \{0, \infty\} </math>. Falls <math>D</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] ist, ist der Raum für p=0 bezüglich der üblichen Norm
::<math>\|f\|_{\mathcal{C}^p(D)} = \sup_{k \leq p}\, \sup_{x \in D} |f^{(k)}(x)|</math>
: ein [[Banachraum]].<ref>{{BibISBN|9783834812537| Seite=5 und 39f | Kommentar=Beweis nur für <math>p=0</math>}}</ref> Siehe [[Differentiationsklasse]].

* <math>\mathcal{C}^{p,\alpha}(D)</math> der Raum der <math>p</math>-fach stetig differenzierbaren Funktionen, die [[Hölder-Stetigkeit|hölderstetig]] mit Exponenten <math>\alpha\in (0,1]</math> sind. Ist <math>D</math> kompakt, so ist <math>\mathcal{C}^{p,\alpha}(D)</math> versehen mit der Norm
::<math>\|f\|_{C^{p,\alpha}}:=\sum_{|\beta|\leq p}{\sup_{x\in D}{\|(D^\beta f)(x)\|}}+\sum_{|\beta|= p}\sup_{x\neq y}{\frac{|(D^\beta f)(x)-(D^\beta f)(y)|}{|x-y|^\alpha}}</math>
: ein Banachraum, wobei <math>\beta</math> ein [[Multiindex]] ist. <math>\mathcal{C}^{p,1}(D)</math> wird auch als Raum der [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetigen]] Funktionen bezeichnet.

* <math>C^\infty_0</math>, <math>C^\infty_c</math> oder <math>\mathcal{D}(D)</math> der Raum der [[Testfunktion]]en. Er enthält alle glatten Funktionen mit kompaktem Träger und ist mit der Topologie versehen, welche durch den Konvergenzbegriff induziert wird. Eine Folge <math>(\phi_j)_{j \in J}</math> konvergiert in <math>\mathcal{D}(D)</math> gegen <math>\phi</math>, wenn es ein Kompaktum <math>K \subset D</math> gibt mit <math>\operatorname{supp}(\phi_j) \subset K </math> für alle j, und
::<math>\lim_{j \to \infty} \sup_{x \in K} \left|\partial^\alpha_x(\phi_j(x) - \phi(x))\right| = 0</math>
: für alle Multiindizes <math>\alpha \in \N^n</math> gilt.

* <math>L^p(D)</math> der Raum der <math>p</math>-fach [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbaren]] Funktionen (siehe [[Lp-Raum|''L<sup>p</sup>'']]). Dieser Raum besteht nicht aus einzelnen Funktionen, sondern aus [[Äquivalenzklasse#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] von Funktionen, welche sich nur auf einer Lebesgue-[[Nullmenge]] unterscheiden. Aus diesem Grund ist für <math>p\ge 1</math> auch die <math>L^p</math>-Norm
::<math>\|f\|_{L^p (D)} = \left( \int_D |f(x)|^p \, \mathrm{d} x \right)^\frac{1}{p}</math>
: positiv definit und damit wirklich eine Norm. Bezüglich dieser Norm ist der <math>L^p</math>-Raum auf kompakten Mengen ebenfalls ein Banachraum. Der Spezialfall [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|''L''<sup>2</sup>]] ist sogar ein [[Hilbertraum]]. Dieser Raum wird in der Quantenmechanik häufig benutzt. Es ist der Raum der Wellenfunktionen. Für <math>0<p<1</math> kann man die <math>L^p</math>-Räume analog definieren, jedoch sind diese keine normierten Räume.

* <math>L^1_\mathrm{loc}(D)</math> der Raum der [[Lokal integrierbare Funktion|lokal integrierbaren Funktionen]]. Sei <math>f \colon D \to \R</math> eine [[messbare Funktion]]. Lokal integrierbar bedeutet, dass für alle kompakten Teilmengen <math>K \subset D</math> das Integral
::<math>\int_K | f(x) | \,\mathrm{d} x</math>
: endlich ist. Genauso wie die <math>L^p</math>-Räume besteht der Raum <math>L^1_\mathrm{loc}(D)</math> aus Äquivalenzklassen von Funktionen. Insbesondere sind stetige Funktionen und Funktionen aus <math>L^p</math> lokal integrierbar. Der Raum <math>L^1_\mathrm{loc}(\R)</math> wird bei der Betrachtungen [[Reguläre Distribution|regulärer Distributionen]] benötigt.

* <math>W^{k,p}(D)</math> der Raum der [[Schwache Ableitung|schwach differenzierbaren]] Funktionen. Er trägt den Namen [[Sobolew-Raum]]. Dieser Raum wird oft als Ansatzraum zum Lösen von Differentialgleichungen benutzt. Denn jede stetig differenzierbare Funktion ist auch schwach differenzierbar.

* <math>S(\R^n)</math> der Raum der Funktionen, die schneller fallen als jede [[Polynomfunktion]]. Die Menge heißt [[Schwartz-Raum]], benannt nach dem gleichnamigen, französischen Mathematiker [[Laurent Schwartz]]. Der Raum wurde so konstruiert, dass die [[Kontinuierliche Fouriertransformation|Fourier-Transformation]] ein [[Isomorphismus]] auf ihm ist. Der [[Dualraum]] des Schwartz-Raums ist der Raum der [[Temperierte Distribution|Temperierten Distributionen]].

* Indem man reelle oder komplexe [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]] als Abbildungen von <math>\N</math> nach <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\Complex</math> auffasst, kann man auch jeden Vektorraum von Folgen als Funktionenraum verstehen.

* <math>\mathcal{O}(D)</math> ist der Raum der [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen. Diese Funktionen sind beliebig oft differenzierbar, und ihre [[Taylor-Reihe]] konvergiert gegen die Ausgangsfunktion. Oftmals nennt man holomorphe Funktionen auch analytisch. Manchmal notiert man diesen Raum auch mit <math>C^\omega(D)</math>.

* <math>H^p(D)</math> ist der Raum der holomorphen, integrierbaren Funktionen, er heißt [[Hardy-Raum]] und ist ein Analogon zum <math>L^p</math>-Raum. Üblicherweise wird als Definitionsmenge die Einheitssphäre verwendet.

== Funktionenräume in der theoretischen Informatik ==

Hier werden insbesondere Funktionenräume im Zusammenhang mit Modellen des [[Lambda-Kalkül]]s verwendet. Dessen Objekte treten gleichermaßen als Funktionen, aber auch als deren Argumente und Resultate auf. Wünschenswert ist daher ein Gegenstandsbereich <math>D</math>, dessen Funktionenraum <math>D^D</math> isomorph zu <math>D</math> selbst ist, was aus Kardinalitätsgründen aber nicht möglich ist. [[Dana Scott]] konnte dieses Problem 1969 durch Einschränkung von <math>D^D</math> auf stetige Funktionen bzgl. einer geeigneten Topologie auf <math>D</math> lösen.<ref>H. P. Barendregt: ''The Lambda Calculus.'' Elsevier, 1984, ISBN 0-444-87508-5, S. 86.</ref> Bezeichnet <math>[D \rightarrow D]</math> die [[Ordnungsrelation#Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff|stetigen]] Funktionen einer [[Partielle Ordnung#Vollständige Halbordnung|vollständigen Halbordnung]], dann ist <math>D \cong [D \rightarrow D]</math>. Diese Form von Funktionenräumen ist heute Gegenstand der [[Bereichstheorie]]. Später konnte ein ebenfalls geeigneter Funktionenraum <math>D^D</math> als [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]] eines Objekts <math>D</math> in einer [[Kartesisch abgeschlossene Kategorie|kartesisch abgeschlossenen Kategorie]] gefunden werden.

== Literatur ==
* Hans Triebel: ''Theory of function spaces.'' Birkhäuser Verlag, 1983, ISBN 3-7643-1381-1.
* {{Literatur |Autor=Wen Yuan, [[Winfried Sickel]] und Dachun Yang |Titel=Morrey and Campanato Meet Besov, Lizorkin and Triebel |Hrsg=Springer Berlin, Heidelberg |Ort=Deutschland |Datum=2010 |DOI=10.1007/978-3-642-14606-0 |ISBN=978-3-642-14605-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Vektorraum]]

Funktionenraum - Versionsgeschichte

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