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[[Datei:Mercator series.svg|mini|rechts|Eine Funktionenfolge, die im nicht-schraffierten Bereich gegen den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] (rot) konvergiert. In diesem speziellen Fall handelt es sich um eine ''n''-te Partialsumme einer Potenzreihe, und ''n'' gibt die Anzahl der Summanden an.]]
Eine '''Funktionenfolge''' ist eine [[Folge (Mathematik)|Folge]], deren einzelne Glieder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] sind. Funktionenfolgen und ihre [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]]<nowiki></nowiki>eigenschaften sind für alle Teilgebiete der [[Analysis]] von großer Bedeutung. Vor allem wird hierbei untersucht, in welchem Sinne die Folge konvergiert, ob die Grenzfunktion Eigenschaften der Folge erbt oder ob Grenzwertbildungen bei Funktionenfolgen vertauscht werden können. Zu den wichtigsten Beispielen zählen [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] von Funktionen wie [[Potenzreihe]]n, [[Fourier-Reihe]]n oder [[Dirichletreihe]]n. Hier spricht man auch von '''Funktionenreihen'''.

== Definition ==
Eine (reelle) Funktionenfolge ist eine Folge <math>f_1,f_2,f_3,\ldots</math> von Funktionen <math>f_i\colon\R\to\R</math>. Allgemeiner können Definitions- und [[Zielmenge]] auch andere Mengen sein, beispielsweise [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]]; sie müssen jedoch für alle Funktionen dieselben sein.

Abstrakt kann eine Funktionenfolge als Abbildung
: <math>f\colon D\times\mathbb N\to Z,\quad (x,n)\mapsto f_n(x)</math>
für eine [[Definitionsmenge]] <math>D</math> und eine Zielmenge <math>Z</math> definiert werden. Falls als [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] nicht die natürlichen Zahlen gewählt wurden, so spricht man von einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Funktionen.

== Beispiele ==
=== Vertauschung Grenzwert und Integralzeichen ===
Für die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}\;</math>, <math>f_n\colon[0,2]\to\mathbb R</math> mit
:<math>f_n(x)=\begin{cases}n^2x&0\leq x\leq 1/n\\2n-n^2x&1/n\leq x\leq2/n\\0&x\geq2/n\end{cases}</math>
gilt für jedes fixe <math>x</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x) =0</math>,
sie konvergiert punktweise gegen die [[Nullfunktion]]. Jedoch gilt für alle <math>n \in \N</math>
: <math>\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx=1,</math>
also
: <math>\lim_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx\ne\int_0^2\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx.</math>

Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen; damit diese Vertauschung erlaubt ist, ist ein strengeres Konvergenzverhalten, typischerweise [[gleichmäßige Konvergenz]], [[majorisierte Konvergenz]] oder [[monotone Konvergenz]], hinreichend.

=== Potenzreihen ===
In der Analysis treten Funktionenfolgen häufig als Summen von Funktionen, also als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] auf, insbesondere als [[Potenzreihe]] oder allgemeiner als [[Laurentreihe]].

=== Fourieranalyse und Approximationstheorie ===
In der [[Approximationstheorie]] wird untersucht, wie gut sich Funktionen als Grenzwert von Funktionenfolgen darstellen lassen, wobei insbesondere die quantitative Abschätzung des Fehlers von Interesse ist. Die Funktionenfolgen treten dabei üblicherweise als Funktionenreihen auf, also als Summe <math>\textstyle \sum_{n=1}^N f_n(x)</math>. Beispielsweise konvergieren [[Fourierreihe]]n im <math>L^2</math>-Sinn gegen die darzustellende Funktion. Bessere Approximationen im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz erhält man oft mit Reihen aus [[Tschebyschow-Polynom]]en.

=== Stochastik ===
In der [[Stochastik]] ist eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> als messbare Funktion <math>X: \Omega\to\R</math> eines [[Maßtheorie|Maßraums]] <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P(\Omega)=1</math> definiert. Folgen <math>X_n</math> von Zufallsvariablen sind daher spezielle Funktionenfolgen, ebenso sind Statistiken wie z. B. der [[Mittelwert|Stichprobenmittelwert]] <math>\textstyle \bar{X}_N:=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N X_n</math> Funktionenfolgen. Wichtige Konvergenzeigenschaften dieser Funktionenfolgen sind z. B. das [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starke Gesetze der großen Zahlen]] und das [[Schwaches Gesetz der großen Zahlen|schwache Gesetz der großen Zahlen]].

=== Numerische Mathematik ===
In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] tauchen Funktionenfolgen beispielsweise bei der Lösung von [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] <math>\mathrm D f=0</math> auf, wobei <math>\mathrm D</math> ein (nicht notwendigerweise linearer) [[Differentialoperator]] und <math>f</math> die gesuchte Funktion ist. Bei der numerischen Lösung etwa mit der [[Finite-Elemente-Methode|finiten Elementmethode]] erhält man Funktionen <math>f_n</math> als Lösung der diskretisierten Version der Gleichung <math>\mathrm D_n f=0</math>, wobei <math>n</math> die Feinheit der [[Diskretisierung]] bezeichnet. Bei der Analyse des numerischen [[Algorithmus]] werden nun die Eigenschaften der diskretisierten Lösungen <math>f_n</math>, die eine Funktionenfolge bilden, untersucht; insbesondere ist es sinnvoll, dass die Folge der diskretisierten Lösungen <math>f_n</math> bei Verfeinerung der Diskretisierung gegen die Lösung des Ausgangsproblems konvergiert.

== Eigenschaften ==
=== Monotonie ===
{{Hauptartikel|Monotone Funktionenfolge}}
Eine Funktionenfolge <math> (f_i)_{i \in \N} </math> heißt monoton wachsend (monoton fallend) auf <math> D </math>, wenn <math> f_i(x) \leq f_{i+1}(x) </math> (<math> f_i(x) \geq f_{i+1}(x) </math>)für alle <math> x \in D </math> ist. Sie heißt monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.

=== Punktweise Beschränktheit ===
Eine Funktionenfolge <math>(f_i)_{i \in \N}</math> auf einer Menge <math>D</math>, deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt, wenn für jeden Punkt <math>x\in D</math> die Menge <math>\{f_i(x)\mid i \in \N\}</math> beschränkt ist. Diese Menge ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle <math>x</math> von einer Funktion der Folge angenommen wird.

=== Gleichmäßige Beschränktheit ===
Eine Funktionenfolge <math>f_i \colon D \to \R;i \in \N</math> ist auf einer Menge <math>A \subset D</math> gleichmäßig beschränkt, falls eine Konstante <math>c \in \R</math> existiert, so dass <math>\left| f_i(x) \right| \leq c </math> für alle <math>i \in \N</math> und alle <math>x \in A</math>.

Eine Funktionenfolge kann also höchstens dann gleichmäßig beschränkt sein, wenn jede einzelne Funktion der Folge beschränkt ist. Für jede einzelne Funktion <math>f_i</math> existiert daher die [[Supremumsnorm]] <math>\|f_i\|_{\infty}=\sup\{|f_i(x)| : x\in X\}</math>. Eine Funktionenfolge ist nun genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie als Menge von Funktionen bezüglich der Supremumsnorm beschränkt ist.

Dies wird auf [[vektorwertige Funktion]]en verallgemeinert: Dabei ist <math>D</math> eine beliebige Menge, <math>Z</math> ein reeller oder komplexer [[normierter Raum]] mit der Norm <math>\|\cdot\|_Z \colon Z\to\R^{+}</math>. Man bezeichnet die Menge der auf <math>D</math> definierten Funktionen, die bezüglich der Norm in <math>Z</math> beschränkt sind, als <math>B(D)</math> und führt auf <math>B(D)</math> mit <math>\|f\|_{\infty}:=\sup\{\|f(x)\|_Z : x\in D\}</math> eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] ein, die <math>B(D)</math> wiederum zu einem normierten Raum macht.
Dann ist eine Funktionenfolge mit auf <math>D</math> definierten Funktionen genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn die Folge eine Teilmenge von <math>B(D)</math> ist und als Teilmenge von <math>(B(D),\|\cdot\|_{\infty})</math> beschränkt ist.

Eine gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge ist notwendigerweise auch punktweise beschränkt.

=== Lokal gleichmäßige Beschränktheit ===
Eine Funktionenfolge <math>f_i \colon D \to \R;i \in \N</math> ist auf einer offenen Menge <math>A \subset D</math> lokal gleichmäßig beschränkt, falls zu jedem <math>x_0 \in A</math> eine offene Umgebung <math>U(x_0)</math> und eine Konstante <math>c \in \R</math> existiert, so dass <math>\left| f_i(x) \right| \leq c </math> gilt für alle <math>i\in \N</math> und alle <math>x \in U(x_0)</math>.

== Konvergenzbegriffe ==
Der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>f</math> einer Funktionenfolge wird ''Grenzfunktion'' genannt. Da die in den Anwendungen auftretenden Funktionsfolgen sehr unterschiedliches Verhalten bei wachsendem Index haben können, ist es notwendig, sehr viele verschiedene Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen einzuführen. Von einem abstrakteren Standpunkt handelt es sich meist um die Konvergenz bezüglich gewisser [[Norm (Mathematik)|Normen]] oder allgemeiner [[Topologischer Vektorraum|Topologien]] auf den entsprechenden [[Funktionenraum|Funktionenräumen]]; vereinzelt treten aber auch andere Konvergenzbegriffe auf.

Die verschiedenen Konvergenzbegriffe unterscheiden sich vor allem durch die implizierten Eigenschaften der Grenzfunktion. Die wichtigsten sind:

=== Klassische Konvergenzbegriffe ===
==== Punktweise Konvergenz ====
Existiert der [[Punktweise Konvergenz|punktweise]] Grenzwert
: <math>f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math>
in jedem Punkt <math>x</math> des Definitionsbereiches, so wird die Funktionenfolge punktweise konvergent genannt. Beispielsweise gilt
: <math>\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x=\begin{cases}1&x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\\0&\mathrm{sonst},\end{cases}</math>
die Grenzfunktion ist also unstetig.

==== Gleichmäßige Konvergenz ====
Eine Funktionenfolge <math>(f_n)_n</math> ist [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig konvergent]] gegen eine Funktion <math>f</math>, wenn die maximalen Unterschiede zwischen <math>f_n</math> und <math>f</math> gegen null konvergieren. Dieser Konvergenzbegriff ist Konvergenz im Sinne der [[Supremumsnorm]].

Gleichmäßige Konvergenz impliziert einige Eigenschaften der Grenzfunktion, wenn die Folgenglieder sie besitzen:
:* Der gleichmäßige Limes [[Stetige Funktion|stetiger Funktionen]] ist stetig.
:* Der gleichmäßige Limes einer Folge (Riemann- bzw. Lebesgue-) integrierbarer Funktionen auf einem kompakten Intervall ist (Riemann- bzw. Lebesgue-)integrierbar, und das Integral der Grenzfunktion ist der Limes der Integrale der Folgenglieder: Ist <math>(f_n)_n</math> gleichmäßig konvergent gegen <math>f</math>, so gilt
::: <math>\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n=\int_a^b f.</math>
:* Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_n</math> differenzierbarer Funktionen punktweise gegen eine Funktion <math>f</math> und ist die Folge der Ableitungen gleichmäßig konvergent, so ist <math>f</math> differenzierbar und es gilt
::: <math>\lim_{n\to\infty}f_n'=f'.</math>

==== Lokal gleichmäßige Konvergenz ====
Viele Reihen in der [[Funktionentheorie]], insbesondere [[Potenzreihe]]n, sind nicht gleichmäßig konvergent, weil die Konvergenz für zunehmende Argumente immer schlechter wird. Verlangt man die gleichmäßige Konvergenz nur lokal, das heißt in einer Umgebung eines jeden Punktes, so kommt man zum Begriff der [[Lokal gleichmäßige Konvergenz|lokal gleichmäßigen Konvergenz]], der für viele Anwendungen in der Analysis ausreicht. Wie bei der gleichmäßigen Konvergenz überträgt sich auch bei lokal gleichmäßiger Konvergenz die Stetigkeit der Folgenglieder auf die Grenzfunktion.

==== Kompakte Konvergenz ====
Ein ähnlich guter Konvergenzbegriff ist der der ''[[Kompakte Konvergenz|kompakten Konvergenz]]'', der gleichmäßige Konvergenz lediglich auf kompakten Teilmengen fordert. Aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt die kompakte Konvergenz; für [[lokalkompakter Raum|lokalkompakte Räume]], die häufig in Anwendungen auftreten, gilt die Umkehrung.

==== Normale Konvergenz ====
In der Mathematik dient der Begriff der [[Normale Konvergenz|normalen Konvergenz]] der Charakterisierung von unendlichen Reihen von Funktionen. Eingeführt wurde der Begriff von dem französischen Mathematiker [[René Louis Baire]].

==== Weiteres ====
Die Frage, welche Konvergenzeigenschaften man wirklich benötigt, um auf Stetigkeitseigenschaften der Grenzfunktion schließen zu können, führte zu den heute nur als historisch geltenden Begriffen der [[Einfach-gleichmäßige Konvergenz|einfach-gleichmäßigen Konvergenz]] und [[Quasi-gleichmäßige Konvergenz|quasi-gleichmäßigen Konvergenz]].

=== Maßtheoretische Konvergenzbegriffe ===
Bei den [[Maßtheorie|maßtheoretischen]] Konvergenzbegriffen ist die Grenzfunktion üblicherweise nicht eindeutig, sondern nur fast überall eindeutig definiert. Alternativ lässt sich diese Konvergenz auch als Konvergenz von [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] von Funktionen, die fast überall übereinstimmen, auffassen. Als eine solche Äquivalenzklasse ist dann der Grenzwert eindeutig bestimmt.

==== Punktweise Konvergenz fast überall ====
{{Hauptartikel|Punktweise Konvergenz μ-fast überall}}
Sind ein [[Maßraum]] <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> und eine Folge darauf messbarer Funktionen <math>f_n</math> mit Definitionsmenge <math>\Omega</math> gegeben, so wird die Funktionenfolge ''punktweise konvergent fast überall bezüglich <math>\mu</math>'' genannt, wenn der punktweise Grenzwert
:<math>f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math>
fast überall bezüglich <math>\mu</math> existiert, wenn also eine Menge <math>Z\in\Sigma</math> vom Maß Null (<math>\mu(Z)=0</math>) existiert, sodass <math>f_n</math> eingeschränkt auf das [[Mengenlehre|Komplement]] <math>\Omega\backslash Z</math> punktweise konvergiert.

Die Konvergenz fast überall bezüglich eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es wird in der [[Stochastik]] [[fast sichere Konvergenz]] genannt.

Beispielsweise gilt
:<math>\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x=0</math> punktweise fast überall bezüglich des [[Lebesgue-Maß]]es.

Ein anderes Beispiel ist die Funktionenfolge <math>f_n: [0,1]\to[0,1]</math>, wobei für <math>n=2^r+s\;</math>, <math>0\leq s\leq 2^r-1</math>
:<math>f_{2^r+s}(x):=\begin{cases}1 & \frac{s}{2^r}\leq x\leq \frac{s+1}{2^r}\\ 0 & \mathrm{sonst.}\end{cases}</math>

Diese Folge konvergiert für kein <math>x\in[0,1]</math>, da sie für jedes fixe <math>x</math> die Werte 0 und 1 unendlich oft annimmt. Für jede [[Teilfolge]] <math>f_{n_k}, k\in \N</math> lässt sich aber eine Teilteilfolge <math>f_{n_{k_l}}, l\in\N</math> angegeben, sodass
:<math>\lim_{l\to\infty}f_{n_{k_l}}(x)=0</math> punktweise fast überall bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Gäbe es eine Topologie der punktweisen Konvergenz fast überall, so würde daraus, dass jede Teilfolge von <math>f_n</math> eine Teilteilfolge enthält, die gegen 0 konvergiert, folgen, dass <math>f_n</math> gegen 0 konvergieren muss. Da aber <math>f_n</math> nicht konvergiert, kann es folglich keine Topologie der Konvergenz fast überall geben. Die punktweise Konvergenz fast überall ist damit ein Beispiel eines Konvergenzbegriffes, der zwar den [[Konvergenz (Mathematik)|Fréchet-Axiomen]] genügt, aber nicht durch eine Topologie erzeugt werden kann.<ref name="Cigler/Reichel">J. Cigler, H.-C. Reichel: ''Topologie. Eine Grundvorlesung.'' Bibliographisches Institut, Mannheim 1978. ISBN 3-411-00121-6. S. 88, Aufgabe 6</ref>

==== Konvergenz dem Maße nach ====
{{Hauptartikel|Konvergenz nach Maß|Konvergenz lokal nach Maß}}
In einem [[Maßraum]] <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> wird eine Folge darauf messbarer Funktionen <math>f_n</math> ''konvergent dem Maße nach'' gegen eine Funktion <math>f</math> genannt, wenn für jedes <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}\mu\left(\{x:\;|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon \}\right)=0</math>
gilt.<ref name="KolmogorovFomin5.4.6.4">[[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A.N. Kolmogorow]] und S.V. Fomin: ''Reelle Funktionen und Funktionalanalysis.'' Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Definition 4.</ref>

In einem endlichen Maßraum, also wenn <math>\mu(\Omega)<\infty</math> gilt, ist die Konvergenz dem Maße nach schwächer als die Konvergenz fast überall: Konvergiert eine Folge messbarer Funktionen <math>f_n</math> fast überall gegen Funktion <math>f</math>, so konvergiert sie auch dem Maße nach gegen <math>f</math>.<ref name="KolmogorovFomin5.4.6.7">[[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A.N. Kolmogorow]] und S.V. Fomin: ''Reelle Funktionen und Funktionalanalysis.'' Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Satz 7.</ref>

In der Stochastik wird die Konvergenz dem Maße nach als [[Stochastische Konvergenz]] oder als ''Konvergenz in Wahrscheinlichkeit'' bezeichnet.<ref name="Fisz212">[[Marek Fisz]]: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.'' Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, S. 212.</ref>

Eine Abschwächung der Konvergenz dem Maße nach ist die [[Konvergenz lokal nach Maß]]. Auf [[Endlicher Maßraum|endlichen Maßräumen]] stimmen beide Begriffe überein.

==== L''p''-Konvergenz und Konvergenz in Sobolew-Räumen ====
{{Hauptartikel|Konvergenz im p-ten Mittel}}
Eine Funktionenfolge <math>f_n</math> heißt <math>L^p</math> konvergent gegen <math>f</math> oder konvergent im p-ten Mittel, wenn sie im Sinne des entsprechenden [[Lp-Raum|L''p''-Raums]] <math>\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E)</math> konvergiert, wenn also
:<math> \lim_{n\to\infty} \| f_n-f \|_p = \lim_{n\to\infty} \left( \int_\Omega \| f_n(x)-f(x) \|^p\, \mathrm d \mu(x) \right)^{1/p} = 0.</math>

Ist <math>\mu</math> ein endliches Maß, gilt also <math>\mu(\Omega)<\infty</math>, so folgt für <math>q\geq p\geq 0</math> aus der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel|Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte]], dass eine Konstante <math>k\in\R^+</math> existiert, sodass <math>\|f\|_p\leq k\|f\|_q</math>; insbesondere folgt dann also aus der <math>L^q</math>-Konvergenz von <math>f_n</math> gegen <math>f</math> auch die <math>L^p</math>-Konvergenz von <math>f_n</math> gegen <math>f</math>.

Aus der <math>L^p</math>-Konvergenz folgt die Konvergenz dem Maße nach, wie man aus der [[Tschebyschow-Ungleichung]] in der Form
:<math>\mu\{x: |f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\}\leq \frac{1}{\varepsilon^p}\int_\Omega |f_n(x)-f(x)|^p {\rm d}\mu(x)</math>
sieht.<ref name="Ash2.5.1">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.1.</ref>

Eine Verallgemeinerung der L''p''-Konvergenz ist die Konvergenz in [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räumen]], die nicht nur die Konvergenz der Funktionswerte, sondern auch die Konvergenz gewisser [[Differentialrechnung|Ableitungen]] berücksichtigt. Der Sobolewschen Einbettungssatz beschreibt die Abhängigkeiten der Konvergenzbegriffe in den unterschiedlichen Sobolew-Räumen.

==== Fast gleichmäßige Konvergenz ====
{{Hauptartikel|Fast gleichmäßige Konvergenz}}
In einem [[Maßraum]] <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> wird eine Folge darauf messbarer reell- oder komplexwertiger Funktionen <math>f_n</math> ''fast gleichmäßig konvergent'' gegen eine Funktion <math>f</math> genannt, wenn für jedes <math>\varepsilon>0</math> eine Menge <math>A\in\Sigma</math> existiert, sodass <math>\mu(A)<\varepsilon</math> und <math>f_n</math> auf dem Komplement <math>\Omega\backslash A</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert.<ref name="AshS93">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. S. 93.</ref>

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz fast überall;<ref name="Ash2.5.2">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.2.</ref> aus dem [[Satz von Jegorow]] folgt, dass in einem endlichen Maßraum auch umgekehrt aus der punktweisen Konvergenz fast überall die fast gleichmäßige Konvergenz folgt.<ref name="Ash2.5.5">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.5.</ref> In einem endlichen Maßraum, also insbesondere für reellwertige Zufallsvariablen, sind Konvergenz fast überall und fast gleichmäßige Konvergenz von reellwertigen Funktionenfolgen äquivalent.

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt außerdem die Konvergenz dem Maße nach.<ref name="Ash2.5.2"/> Umgekehrt gilt, dass eine dem Maße nach konvergente Folge eine Teilfolge enthält, die fast gleichmäßig (und damit auch fast überall) gegen die gleiche Grenzfolge konvergiert.<ref name="Ash2.5.3">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.3.</ref>

==== Fast überall gleichmäßige Konvergenz ====
{{Hauptartikel|Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall}}
In einem [[Maßraum]] <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> wird eine Folge darauf messbarer reell- oder komplexwertiger Funktionen <math>f_n</math> ''fast überall gleichmäßig konvergent'' gegen eine Funktion <math>f</math> genannt, wenn es eine Nullmenge <math>Z\in\Sigma</math> gibt, sodass <math>f_n</math> auf dem Komplement <math>\Omega\backslash Z</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert. Für Folgen beschränkter Funktionen ist das im Wesentlichen die Konvergenz im Raum <math>L^\infty(\Omega,\Sigma,\mu)</math>. Fast überall gleichmäßige Konvergenz kann wegen der sehr ähnlichen Bezeichnung leicht mit fast gleichmäßiger Konvergenz verwechselt werden, wie [[Paul Halmos]] in seinem Lehrbuch zur Maßtheorie kritisiert.<ref>Paul Halmos: ''Measure Theory'', Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-1-4684-9442-6, §22, Seite 90</ref>

==== Schwache Konvergenz ====
{{Hauptartikel|Schwache Konvergenz in Lp}}
Die schwache Konvergenz für Funktionenfolgen ist ein Spezialfall der [[Schwache Konvergenz|schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis]], die allgemein für [[Normierter Raum|normierte Räume]] definiert wird. Zu beachten ist, dass es in der [[Funktionalanalysis]], der [[Maßtheorie]] und der [[Stochastik]] mehrere verschiedene Konzepte von [[Schwache Konvergenz (Begriffsklärung)|schwacher Konvergenz]] gibt, die nicht miteinander verwechselt werden sollten.

Für <math> p \in [1, \infty) </math> heißt eine Funktionenfolge <math> (f_n)_{n \in \N} </math> aus <math>\mathcal L^p </math> schwach konvergent gegen <math> f </math>, wenn für alle <math> g \in \mathcal L^q </math> gilt, dass
:<math> \lim_{n \to \infty}\int_{X}f_ng \mathrm d \mu = \int_X f g \mathrm d \mu </math>

ist. Dabei ist <math> q </math> durch <math> \frac 1p + \frac 1q =1 </math> definiert.

==== Übersicht über die maßtheoretischen Konvergenzarten ====
[[Datei:MaßtheoretischeKonvergenzarten.png|mini|300px|rechts|Die maßtheoretischen Konvergenzarten im Überblick]]
Die nebenstehende Übersicht entstammt dem Lehrbuch ''Einführung in die Maßtheorie'' von [[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]], der dafür seinerseits auf ältere Vorgänger verweist.<ref>Ernst Henze: ''Einführung in die Maßtheorie'', BI, Mannheim, 1971, ISBN 3-411-03102-6, Kapitel 4.6, Seite 146</ref> Sie verdeutlicht die logischen Beziehungen zwischen den Konvergenzarten für eine Folge messbarer Funktionen auf einem Maßraum <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math>. Ein schwarzer, durchgehender Pfeil bedeutet, dass die Konvergenzart an der Pfeilspitze aus der Konvergenzart am Pfeilursprung folgt. Für die blauen gestrichelten Pfeile gilt dies nur, wenn <math>\mu(\Omega)<\infty</math> vorausgesetzt ist. Für die roten Strichpunktpfeile gilt die Implikation, wenn die Folge durch eine <math>\mu</math>-integrierbare Funktion beschränkt ist.

== Hierarchische Ordnung Konvergenzbegriffe in Räumen mit endlichem Maß ==
In Maßräumen <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> mit [[endliches Maß|endlichem Maß]], wenn also <math>\mu(\Omega)<\infty</math> gilt, ist es großteils möglich, die unterschiedlichen Konvergenzbegriffe nach ihrer Stärke zu ordnen. Dies gilt insbesondere in [[Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsräumen]], da dort ja <math>\mu(\Omega)=1</math> gilt.

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die Konvergenz dem Maße nach auf zwei unterschiedlichen Wegen, der eine führt über die punktweise Konvergenz:
* <math>f_n\to f </math> gleichmäßig <math>\Rightarrow f_n \to f </math> lokal gleichmäßig (d. h. gleichmäßig auf einer Umgebung eines jeden Punktes).
* <math>f_n\to f </math> lokal gleichmäßig <math>\Rightarrow f_n \to f </math> kompakt (d. h. gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge).
* <math>f_n\to f </math> kompakt <math>\Rightarrow f_n \to f </math> punktweise (jeder einzelne Punkt ist ja eine kompakte Teilmenge).
* <math>f_n\to f </math> punktweise <math>\Rightarrow f_n \to f </math> punktweise fast überall (bzw. fast sicher).
* <math>f_n\to f </math> punktweise fast überall <math>\Leftrightarrow f_n \to f </math> fast gleichmäßig.
* <math>f_n\to f </math> fast gleichmäßig <math>\Rightarrow f_n \to f </math> dem Maße nach (bzw. stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit).

Der andere Weg von der gleichmäßigen Konvergenz zur Konvergenz dem Maße nach führt über die <math>L^p</math>-Konvergenz:
* <math>f_n\to f </math> gleichmäßig <math>\Rightarrow f_n \to f </math> in <math>L^\infty</math>.
* <math>f_n\to f </math> in <math>L^\infty</math> <math>\Rightarrow f_n \to f </math> in <math>L^p</math> für alle reellen <math>0<p<\infty</math>.
* <math>f_n\to f </math> in <math>L^p</math> <math>\Rightarrow f_n \to f </math> in <math>L^q</math> für alle reellen <math>0<q<p</math>.
* <math>f_n\to f </math> in <math>L^p</math> für <math>0<p\leq\infty\quad\Rightarrow f_n \to f </math> dem Maße nach (bzw. stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit).

Von der Konvergenz dem Maße nach gelangt man zur schwachen Konvergenz:
* <math>f_n\to f </math> dem Maße nach <math>\Rightarrow f_n \to f </math> schwach (bzw. in Verteilung).

== Wichtige Theoreme über Funktionenfolgen ==
* [[Satz von Arzelà-Ascoli]]
* [[Satz von Dini]]
* [[Satz von Jegorow]]

== Literatur ==
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert), ab S. 91 (§15 Konvergenzsätze) und ab S. 128 (§20 Stochastische Konvergenz).
* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie'' 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, (Beschreibt ausführlich die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Konvergenzarten).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Funktionenfolge - Versionsgeschichte

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