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2021-02-13T07:27:57Z

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'''Funktionalkalküle''' sind ein wichtiges [[Mathematik|mathematisches]] Hilfsmittel zur Untersuchung von [[Banachalgebra|Banachalgebren]]. Im Rahmen der Operatortheorie ist hier insbesondere die Banachalgebra der [[Linearer Operator#Beschränkte lineare Operatoren|beschränkten linearen Operatoren]] von Interesse. Zur Behandlung von [[Linearer Operator#Unbeschränkte lineare Operatoren|unbeschränkten linearen Operatoren]] werden verallgemeinerte Funktionalkalküle betrachtet, bei denen zwar grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen, die aber dennoch ein effektives Werkzeug zum Rechnen mit unbeschränkten Operatoren zur Verfügung stellen.

Ist <math>p(z)=\lambda_nz^n+\ldots+\lambda_1z+\lambda_0</math> ein [[Komplexe Zahl|komplexes]] [[Polynom]] und <math>a</math> ein Element einer <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra mit Einselement <math>e</math>, so kann man <math>a</math> in das Polynom <math>p</math> einsetzen, indem man
<math>p(a)=\lambda_na^n+\ldots+\lambda_1a+\lambda_0e</math> setzt.
Die Grundidee der Funktionalkalküle besteht darin, dieses Einsetzen in Polynome auf größere Klassen von Funktionen auszudehnen.
Für beliebige <math>\mathbb C</math>-Banachalgebren <math>A</math> mit Einselement kann ein Element <math>a\in A</math> in [[holomorphe Funktion]]en, die in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrums]] von <math>a</math> definiert sind, eingesetzt werden.
Für noch größere Funktionsklassen, etwa [[Stetige Funktion|stetige]] oder [[messbare Funktion]]en, die auf dem Spektrum von <math>a</math> erklärt sind, muss man sich auf spezielle Klassen von Banachalgebren beschränken, und zwar auf [[C*-Algebra|C<sup>*</sup>-Algebren]] bzw. [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]].
Dazu muss natürlich erklärt werden, was dieses Einsetzen in Funktionen überhaupt bedeuten soll.

== Polynome ==
Elemente <math>a</math> einer <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra <math>A</math> mit Einselement <math>e</math> können, wie in der Einleitung erwähnt, direkt in Polynome <math>p\in {\mathbb C}[z]</math> eingesetzt werden.
Sind <math>p,q\in {\mathbb C}[z]</math> Polynome, so gilt

<math>(p+q)(a)\,=\,p(a)+q(a)</math>.

Man beachte die unterschiedlichen Rollen des Pluszeichens; auf der linken Seite werden Polynome addiert, auf der rechten Seite Elemente einer Banachalgebra.
Entsprechend gilt

<math>(p\cdot q)(a)=p(a)\cdot q(a)</math>,

<math>(p\circ q)(a)=p(q(a))</math>.

Bezeichnet <math>\sigma(a)</math> das Spektrum von <math>a</math>, so gilt der ''spektrale Abbildungssatz''

<math>\sigma(p(a)) \,=\, p(\sigma(a))</math>.

Auf der linken Seite dieser Formel steht das Spektrum des Banachalgebren-Elementes <math>p(a)</math>, auf der rechten Seite steht das Bild des Spektrums von <math>a</math> unter der [[Polynomfunktion|Polynom-Abbildung]] <math>p: \Complex \rightarrow \Complex</math>.
Der Beweis des spektralen Abbildungssatzes benutzt wesentlich, dass nicht-konstante Polynome eine Nullstelle haben, d. h., es wird der [[Fundamentalsatz der Algebra]] verwendet. Dies erklärt die Einschränkung auf <math>\mathbb C</math>-Banachalgebren.

Diese Situation ist aus der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] wohlbekannt.
Bei der Untersuchung der [[Diagonalisierbarkeit]] oder der [[Jordansche Normalform|Jordanschen Normalform]] werden ebenfalls Banachalgebren-Elemente, nämlich quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]], in Polynome eingesetzt.
Beispielsweise besagt der [[Satz von Cayley-Hamilton]], dass man die [[Nullmatrix]] erhält, wenn man eine quadratische Matrix in ihr eigenes [[charakteristisches Polynom]] einsetzt.

Zur Ausdehnung des Einsetzens auf größere Funktionsklassen betrachten wir das Einsetzen von <math>a\in A</math> in Polynome als Abbildung

<math>\Phi_a: {\mathbb C}[z] \rightarrow A,\,\, p\mapsto p(a) </math>.

Dann ist <math>\Phi_a</math> ein Algebren-[[Homomorphismus]], der sogenannte [[Einsetzungshomomorphismus]] von <math>a</math>, und es gilt <math>\Phi_a(1)=e</math> sowie <math>\Phi_a(z)=a</math>.
Hat man umgekehrt einen solchen Homomorphismus <math>\Phi_a</math> von einer größeren Funktionsklasse in die Banachalgebra <math>A</math> und ist <math>f</math> eine Funktion dieser Klasse, so kann man die Einsetzung von <math>a</math> in die Funktion <math>f</math> durch die Formel <math>f(a):=\Phi_a(f)</math> definieren.

== Funktionalkalküle ==
Die weitere Ausarbeitung der hier vorgestellten Ideen führt zu unterschiedlichen Funktionalkalkülen, die nach der verwendeten Funktionsklasse benannt sind. Als plausible Faustregel kann man sagen, dass mit größer werdenden Funktionsklassen die Situationen, in denen zugehörige Funktionalkalküle eingesetzt werden können, spezieller werden. Typische Anwendungsbeispiele werden in den Artikeln zu den einzelnen Funktionalkalkülen behandelt.

* [[holomorpher Funktionalkalkül]] für beliebige Banachalgebren
* [[holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher]] für kommutative Banachalgebren
* [[stetiger Funktionalkalkül]] für [[C*-Algebra|C*-Algebren]]
* [[beschränkter Borel-Funktionalkalkül]] für [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]]
* [[unbeschränkter Borel-Funktionalkalkül]] für dicht-definierte selbstadjungierte Operatoren

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functional_calculus Functional calculus] (Encyclopedia of Mathematics)

== Quellen ==
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]], Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]], Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0123933013
* [[Masamichi Takesaki|M. Takesaki]], ''Theory of Operator Algebras I'' (Springer 1979, 2002)

{{SORTIERUNG:Funktionalkalkul}}
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Funktionalkalkül - Versionsgeschichte

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