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2025-07-30T11:26:57Z

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Die '''Funktionaldeterminante''' oder '''Jacobi-Determinante''' ist eine mathematische Größe, die in der mehrdimensionalen [[Integralrechnung]], also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle spielt. Insbesondere findet sie in der [[Flächenformel]] und dem aus dieser hervorgehenden [[Transformationssatz]] Verwendung.

== Lokales Verhalten einer Funktion ==
[[Datei:Jacobian determinant and distortion.svg|mini|400px|Eine nichtlineare Abbildung <math>\vec{f} \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}</math> transformiert ein Rechteck (links, in rot) zu einer verzerrten Fläche (rechts, in rot). Die [[Jacobi-Matrix]] in einem Punkt ist die [[Taylorapproximation|beste lineare Approximation]] der Funktion um diesen Punkt herum <math>\vec{f}(\vec{x})\approx \vec{f}(\vec{x}_0) + Df(\vec{x}_0) (\vec{x}-\vec{x}_0)) </math>: Das originale Rechteck würde durch die Jacobi-Matrix in das weiße durchsichtige Parallelogramm überführt. Die Funktionaldeterminante ist das Verhältnis der Flächen des approximierenden Parallelogramms und dem originalen Rechteck.]]

Die Funktionaldeterminante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion <math>f</math> in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt <math>p</math> ungleich null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von <math>p</math> invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in <math>p</math> die Funktion ihre [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] beibehält und bei negativer Funktionaldeterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt <math>p</math> gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von <math>p</math> expandiert oder schrumpft.

== Definition ==
Für eine differenzierbare Funktion <math>f\colon \R^n \to \R^n</math> ist die Funktionaldeterminante definiert als die [[Determinante]] der [[Jacobi-Matrix]] von <math>f</math>, also als
:<math>\det \, Df(x)</math>
mit
:<math>Df(x) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\right)_{i,j = 1,\dotsc,n}</math>.

Für die Transformation von Volumenelementen, einen wichtigen Anwendungsfall in der Physik, reicht diese Definition aus. Die Flächenformel der Maß- und Integrationstheorie beschreibt dagegen auch, wie sich Integrale über Funktionen, die Räume unterschiedlicher Dimension ineinander abbilden, transformieren. In diesem Anwendungsfall ist <math>Df</math> keine quadratische Matrix mehr, sodass der Ausdruck oben nicht mehr definiert ist. Man verwendet dann die folgende Definition:

Die verallgemeinerte Funktionaldeterminante einer Funktion <math>f\colon \R^n \to \R^m</math> ist definiert als
:<math>\mathcal J \! f(x) := \sqrt{\det \left( \left(Df(x)\right)^T \cdot Df(x) \right)}</math>
Dabei bezeichnet <math>Df(x) \in \R^{m \times n}</math> die Jacobi-Matrix und <math>(Df(x))^T</math> ihre [[Transponierte]]. Der Ausdruck <math>\det \left( \left(Df(x)\right)^T \cdot Df(x) \right)</math> wird [[gramsche Determinante]] von <math>D f</math> genannt.

Solange die betrachtete Abbildung keine [[Selbstabbildung]] ist, ist es üblich, das Präfix ''verallgemeinerte'' wegzulassen. Bei Selbstabbildungen kann dies allerdings zu Missverständnissen führen, da beide Definitionen im Allgemeinen unterschiedliche Werte annehmen. Es gilt ja
:<math>\mathcal J \! f(x) = \sqrt{(\det Df)^2} = |\det Df| \neq \det Df</math>
Im Kontext der Flächen- bzw. Transformationsformel wird allerdings ohnehin immer der Betrag verwendet.

== Anschauliche Deutung in drei Dimensionen ==

[[Datei:Volume element spherical coordinates.JPG|mini|[[Volumenelement]] in [[Kugelkoordinaten]]: <math>dV = dr \, d\phi \, d\theta \, r^2 \sin(\theta) </math>]]
Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten als [[Spatprodukt]] der (lokalen) [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]]. Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die [[Koordinatenlinie|Koordinatenlinien]] und werden aus der [[Koordinatentransformation]] durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante. Mit der Funktionaldeterminante kann das [[Volumenform|Volumenelement]] der [[Integralrechnung]] bestimmt werden.

Für [[Kugelkoordinaten]] bedeutet dies:
:<math>|\det Df | = (\vec b_r, \vec b_\theta, \vec b_\varphi)=r^2 \sin(\theta)</math>.
Ausführliche Rechnung: siehe unten.

== Beispiele ==
Bei der Integration über geometrische Objekte ist es oft unpraktisch, über [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] zu integrieren. So lässt sich in der Physik das Integral über ein [[Radiärsymmetrie|radialsymmetrisches]] [[Potentialfeld]], dessen Wert nur von einem Radius <math>r</math> abhängt, wesentlich leichter in [[Kugelkoordinaten]] berechnen.

Um dies zu tun, wendet man eine [[Koordinatentransformation]] <math>\Phi</math> an. Nach dem [[Transformationssatz]] gilt dann in diesem Beispiel:
:<math>\int_{\Omega} U(\vec r) dV = \int_{\Phi^{-1}(\Omega)} U(\Phi(r,\theta, \varphi)) \cdot \left|\det D \Phi(r, \theta, \varphi)\right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi</math>

Im Folgenden sind Rechnungen zu drei Koordinatensystemen aufgeführt:

=== Polarkoordinaten ===

Die Umrechnungsformeln von [[Polarkoordinate]]n in kartesische Koordinaten lauten:
: <math>x = r \cos \varphi</math>
: <math>y = r \sin \varphi</math>

Die Funktionaldeterminante lautet also:
:<math>\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r, \varphi)} =
\det\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}

\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
\cos\varphi&-r\sin\varphi \\
\sin\varphi&r\cos\varphi
\end{pmatrix}= r \cdot (\cos \varphi)^2 + r \cdot (\sin \varphi)^2 = r</math>

Folglich ergibt sich für das Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math>:

:<math>\mathrm{d}A = \left|\det \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} \right|\, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi. </math>

=== Kugelkoordinaten ===

Die Umrechnungsformeln von [[Kugelkoordinaten]] (<math>r, \theta,\varphi</math>) in kartesische Koordinaten lauten:
: <math>x = r \sin \theta \cos \varphi</math>,
: <math>y = r \sin \theta \sin \varphi</math> und
: <math>z = r \cos \theta \quad</math>.

Die Funktionaldeterminante lautet also:
: <math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}= \det\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\
\sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\theta&-r\sin\theta&0
\end{pmatrix}=r^2\sin\theta.</math>

Folglich ergibt sich für das Volumenelement <math>\mathrm{d}V</math>:

:<math>\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi. </math>

Manchmal ist es praktischer, mit folgender Konvention zu arbeiten:
: <math>x = r \cos \theta \cos \varphi</math>,
: <math>y = r \cos \theta \sin \varphi</math> und
: <math>z = r \sin \theta \quad</math>.

Die Funktionaldeterminante lautet somit:
: <math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}= \det\begin{pmatrix}
\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\cos\varphi&-r\cos\theta\sin\varphi\\
\cos\theta \sin\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi&r\cos\theta\cos\varphi\\
\sin\theta&r\cos\theta&0
\end{pmatrix}=-r^2\cos\theta.</math>

Also ergibt sich für das Volumenelement <math>\mathrm{d}V</math>:

:<math>\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \cos\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi. </math>

=== Zylinderkoordinaten ===

Die Umrechnungsformeln von [[Zylinderkoordinaten]] (<math>\rho</math>, <math>\varphi</math>, <math>z</math>) in kartesische Koordinaten lauten:
:<math>
\begin{align}
x &= \rho \cos\varphi \\
y &= \rho \sin\varphi \\
z &= z \,.
\end{align}
</math>

Die Funktionaldeterminante lautet also:
: <math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,z)}=\det\begin{pmatrix}
\cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \\
\sin\varphi & \rho\cos\varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=\rho.</math>

Folglich ergibt sich für das Volumenelement <math>\mathrm{d}V</math>:

:<math>\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,z)} \right|\, \mathrm{d}\rho \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}z=\rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z.</math>

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Zylinderkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:
: <math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,z,\varphi)}=\det\begin{pmatrix}
\cos\varphi & 0 & -\rho\sin\varphi \\
\sin\varphi & 0 & \rho\cos\varphi \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}=-\rho.</math>

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der [[Betragsfunktion|Betrag]] der [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

== Literatur ==
* {{BibISBN|3-540-60656-4|Kommentar=für die Definition}}
* {{BibISBN|3-540-34832-8}} (Für die Beispiele und den Spezialfall des <math>\R^3</math>)
* {{Literatur
|Autor=K. Endl, W. Luh
|Titel=Analysis
|Band=1
|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft
|Datum=1972
|ISBN=3-400-00185-6}}
* {{Literatur
|Autor=K. Endl, W. Luh
|Titel=Analysis
|Band=2
|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft
|Datum=1973
|ISBN=3-400-00206-2}}

[[Kategorie:Analysis]]

Funktionaldeterminante - Versionsgeschichte

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