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2025-09-22T10:30:34Z

Lehrbücher (Einstieg): + Link zu Dirk Werner (Mathematiker)

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Die '''Funktionalanalysis''' ist der [[Teilgebiet der Mathematik|Zweig]] der [[Mathematik]], der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] und Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden [[Analysis]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und [[Algebra]] verknüpft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen. Die Funktionalanalysis ist der geeignete Rahmen zur [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematischen Formulierung der Quantenmechanik]]<ref>{{Literatur |Autor=Francois David |Titel=The Formalisms of Quantum Mechanics |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2015 |Reihe=Lecture Notes in Physics |BandReihe=893 |ISBN=978-3-319-10538-3 |DOI=10.1007/978-3-319-10539-0}}</ref> und zur Untersuchung [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Haïm Brézis|Haim Brezis]] |Titel=Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=2011 |ISBN=978-0-387-70913-0 |DOI=10.1007/978-0-387-70914-7}}</ref>

== Grundlegende Begriffe ==
Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe
* [[Funktional]] für eine Abbildung von [[Vektor]]en (z. B. [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]) auf [[Skalar (Mathematik)|skalare Größen]] und
* [[Operator (Mathematik)|Operator]] für eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren. Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner. Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Räumen, wie z. B. topologischen, metrischen oder normierten [[Vektorraum|Vektorräumen]] aller Art.

Beispiele für Funktionale sind die Begriffsinhalte [[Grenzwert (Folge)|Folgengrenzwert]], [[Norm (Mathematik)|Norm]], [[bestimmtes Integral]] oder [[Distribution (Mathematik)|Distribution]]. Beispiele für Operatoren sind etwa [[Differentiation]], [[unbestimmtes Integral]], [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] [[Observable]] oder [[Shift-Operator]]en für Folgen.

Grundbegriffe der Analysis wie [[Stetige Funktion|Stetigkeit]], [[Differentialrechnung|Ableitungen]] usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra (beispielsweise den [[Spektralsatz]]) auf [[Topologischer Vektorraum|topologisch lineare Räume]] (beispielsweise [[Hilbertraum|Hilberträume]]) aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist.

Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der [[Fourier-Transformation]] und ähnlicher Transformationen und der Untersuchung von [[Differentialgleichung|Differential-]] und [[Integralgleichung]]en. Der Wortbestandteil „funktional“ geht auf die [[Variationsrechnung]] zurück. Als Begründer der modernen Funktionalanalysis gelten [[Stefan Banach]], [[Frigyes Riesz]] und [[Maurice René Fréchet]]. Weitere Beiträge stammen von z. B. [[Eduard Helly]], [[Mark Grigorjewitsch Krein]], [[John von Neumann]], [[Alexander Grothendieck]], [[Nicolas Bourbaki]].<ref>{{Literatur |Titel=Mathematics Is Made by Mathematicians |Sammelwerk=History of Banach Spaces and Linear Operators |Verlag=Birkhäuser Boston |Ort=Boston, MA |Datum=2007 |ISBN=978-0-8176-4367-6 |DOI=10.1007/978-0-8176-4596-0_8 |Seiten=589–672}}</ref>

== Topologische Vektorräume ==
{{Hauptartikel|Topologischer Vektorraum|Lokalkonvexer Raum}}

Grundlage der Funktionalanalysis sind [[Vektorraum|Vektorräume]] über den [[Reelle Zahlen|reellen]] oder [[Komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen.
Der Grundbegriff ist hier der topologische Vektorraum, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Vektorraumverknüpfungen stetig sind, etwas konkreter werden auch [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe topologische Vektorräume]] und [[Fréchet-Raum|Fréchet-Räume]] untersucht. Wichtige Aussagen sind dabei der [[Satz von Hahn-Banach]], der [[Satz von Baire]] und der [[Satz von Banach-Steinhaus]]. Insbesondere in der Lösungstheorie [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]] spielen diese eine wichtige Rolle, darüber hinaus in der [[Fredholm-Operator|Fredholm-Theorie]].

== Normierte Räume, Banachräume ==
{{Hauptartikel|Normierter Raum|Banachraum}}

Der wichtigste Spezialfall lokalkonvexer topologischer Vektorräume sind [[Normierter Raum|normierte Vektorräume]]. Sind diese zusätzlich [[Vollständiger Raum|vollständig]], dann heißen sie [[Banachraum|Banachräume]]. Noch spezieller betrachtet man [[Hilbertraum|Hilberträume]], bei denen die [[Norm (Mathematik)|Norm]] von einem [[Skalarprodukt]] erzeugt wird. Diese Räume sind von grundlegender Bedeutung für die mathematische Formulierung der [[Quantenmechanik]]. Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind [[Stetiger linearer Operator|stetige lineare Operatoren]] auf Banach- oder Hilberträumen.

Hilberträume können vollständig klassifiziert werden: Für jede [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer [[Orthonormalbasis]] existiert (bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]]) genau ein Hilbertraum zu einem [[Körper (Algebra)|Körper]]. Da endlich-dimensionale Hilberträume von der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilberträumen in Morphismen von Hilberträumen mit [[Abzählbare Menge|abzählbarer]] Orthonormalbasis zerlegt werden kann, betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsächlich Hilberträume mit abzählbarer Orthonormalbasis und ihre Morphismen. Diese sind isomorph zum [[Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller [[Folge (Mathematik)|Folgen]] mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.

Banachräume sind dagegen viel komplexer. Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis, so lassen sich Basen vom unter [[Basis (Vektorraum)]] beschriebenen Typ (auch [[Hamelbasis]] genannt) im unendlich-dimensionalen Fall nicht konstruktiv angeben und sind auch stets überabzählbar (siehe [[Satz von Baire]]). Verallgemeinerungen der Hilbertraum-Orthonormalbasen führen zum Begriff der [[Schauderbasis]], aber nicht jeder Banachraum hat eine solche.

Für jede reelle Zahl <math>p \geq 1</math> gibt es den Banachraum „aller [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbaren]] Funktionen, deren <math>p</math>-te Potenz des [[Absoluter Betrag|Betrags]] ein endliches Integral hat“ (siehe [[Lp-Raum|''L<sup>p</sup>''-Raum]]), dieser ist genau für <math>p=2</math> ein Hilbertraum.

Beim Studium normierter Räume ist die Untersuchung des [[Dualraum]]es wichtig. Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom normierten Raum in seinen [[Skalarkörper]], also in die reellen oder komplexen Zahlen. Der [[Dualraum|Bidual]], also der Dualraum des Dualraums, muss nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein, aber es gibt stets einen natürlichen [[Monomorphismus]] von einem Raum in seinen Bidual. Ist dieser spezielle Monomorphismus auch [[surjektiv]], dann spricht man von einem [[Reflexiver Raum|reflexiven Banachraum]].

Der Begriff der [[Differentialrechnung|Ableitung]] lässt sich auf Funktionen zwischen Banachräumen zur sogenannten [[Fréchet-Ableitung]] verallgemeinern, so dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist.

== Operatoren, Banachalgebren ==
{{Hauptartikel|Banachalgebra|C*-Algebra}}

Während die Banachräume bzw. Hilberträume Verallgemeinerungen der endlich-dimensionalen Vektorräume der linearen Algebra darstellen, verallgemeinern die stetigen, [[linearer Operator|linearen Operatoren]] zwischen ihnen die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] der linearen Algebra. Die Diagonalisierung von Matrizen, die eine Matrix als direkte Summe von Streckungen von sogenannten [[Eigenvektor]]en darzustellen versucht, erweitert sich zum [[Spektralsatz]] für selbstadjungierte oder [[Normaler Operator|normale]] Operatoren auf Hilberträumen, was zur [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematischen Formulierung der Quantenmechanik]] führt. Die Eigenvektoren bilden die quantenmechanischen Zustände, die Operatoren die quantenmechanischen [[Observable]]n.

Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind, erhält man [[Algebra (Struktur)|Algebren]] von Operatoren, die mit der [[Operatornorm]] Banachräume sind, so dass für zwei Operatoren <math>A</math> und <math>B</math> auch die multiplikative Dreiecksungleichung <math>\|A\circ B\|\le \|A\|\|B\|</math> gilt. Dies führt zum Begriff der [[Banachalgebra]], deren zugänglichste Vertreter die [[C*-Algebra|C*-Algebren]] und [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]] sind.

Zur Untersuchung [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakter]] [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] <math>G</math> zieht man den Banachraum [[Lp-Raum|<math>L^1(G)</math>]] der bezüglich des [[Haarmaß]]es integrierbaren Funktionen heran, der mit der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] als Multiplikation zu einer Banachalgebra wird. Dies begründet die [[Harmonische Analyse]] als funktionalanalytischen Zugang zur Theorie der lokalkompakten Gruppen; die [[Fourier-Transformation]] ergibt sich bei dieser Sichtweise als Spezialfall der in der Banachalgebren-Theorie untersuchten [[Gelfand-Transformation]].

== Partielle Differentialgleichungen ==
{{Hauptartikel|Partielle Differentialgleichung}}

Die Funktionalanalysis bietet einen geeigneten Rahmen zur Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen. Solche Gleichungen haben häufig die Form <math>Du\,=f</math>, wobei die gesuchte Funktion <math>u</math> und die rechte Seite <math>f</math> Funktionen auf einem Gebiet <math>\Omega\subset \R^n</math> sind und <math>D</math> ein Differentialausdruck ist. Dazu kommen sogenannte Randbedingungen, die das Verhalten der gesuchten Funktion <math>u</math> auf dem Rand <math>\partial\Omega</math> von <math>\Omega</math> vorschreiben. Ein Beispiel für einen solchen Differentialausdruck ist etwa der [[Laplace-Operator]] <math>\textstyle D = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\dotsb+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}</math>, weitere wichtige Beispiele ergeben sich aus der [[Wellengleichung]] oder aus der [[Wärmeleitungsgleichung]].

Der Differentialausdruck wird nun als Operator zwischen Räumen differenzierbarer Funktionen angesehen, im Beispiel des Laplace-Operators etwa als Operator zwischen dem Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und dem Raum der stetigen Funktionen auf <math>\Omega</math>. Derartige Räume von im klassischen Sinne differenzierbaren [[Funktionenraum|Funktionenräumen]] erweisen sich allerdings für eine erschöpfende Lösungstheorie als ungeeignet. Durch Übergang zu einem allgemeineren Differenzierbarkeitsbegriff ([[schwache Ableitung]], [[Distributionstheorie]]) kann man den Differentialausdruck als Operator zwischen Hilberträumen, sogenannten [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räumen]], die aus geeigneten [[Lp-Raum|''L''<sup>2</sup>]]-Funktionen bestehen, ansehen. In diesem Rahmen lassen sich in wichtigen Fällen befriedigende Sätze über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen beweisen. Dazu werden Fragen wie die Abhängigkeit von der rechten Seite <math>f</math>, sowie Fragen nach der Regularität, das heißt Glattheitseigenschaften der Lösung <math>u</math> in Abhängigkeit von Glattheitseigenschaften der rechten Seite <math>f</math>, mit funktionalanalytischen Methoden untersucht. Dies lässt sich weiter auf allgemeinere Raumklassen, etwa Räume von Distributionen, verallgemeinern. Ist die rechte Seite <math>f</math> gleich der [[Delta-Distribution]] und hat man für diesen Fall eine Lösung gefunden, eine sogenannte [[Fundamentallösung]], so kann man in manchen Fällen Lösungen für beliebige rechte Seiten mittels [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] konstruieren.

In der Praxis werden numerische Methoden zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen solcher Differentialgleichungen herangezogen, etwa die [[Finite-Elemente-Methode]], insbesondere dann, wenn keine Lösung in geschlossener Form angegeben werden kann. Auch bei der Konstruktion solcher Näherungen und der Bestimmung der [[Approximation]]sgüte spielen funktionalanalytische Methoden eine wesentliche Rolle.

== Literatur ==
Für spezielle Fachliteratur zu Einzelthemen, siehe die Literaturangaben in [[Linearer Operator|Lineare Operatoren]], [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektraltheorie]] usw.

=== Lehrbücher (Einstieg) ===

* {{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=8., vollständig überarbeitete Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Jahr=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] |Titel=Linear Functional Analysis |Verlag=Springer London |Ort=London |Jahr=2016 |Sprache=en |Reihe=Universitext |ISBN=978-1-4471-7279-6 |DOI=10.1007/978-1-4471-7280-2}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Voigt |Titel=A Course on Topological Vector Spaces |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2020 |Sprache=en |Reihe=Compact Textbooks in Mathematics |ISBN=978-3-030-32944-0 |DOI=10.1007/978-3-030-32945-7}}

=== Monografien und Weiterführend ===

* {{Literatur |Autor=V. Hutson, J. S. Pym, Michael J. Cloud |Titel=Applications of functional analysis and operator theory |Auflage=2. |Verlag=Elsevier |Ort=Amsterdam; Boston |Jahr=2005 |Sprache=en |Reihe=Mathematics in science and engineering |BandReihe=200 |ISBN=978-0-444-51790-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Martin Schechter]] |Titel=Principles of Functional Analysis |Auflage=2. |Verlag=American Mathematical Society |Ort=Providence, RI |Jahr=2002 |Sprache=en |Reihe=Graduate studies in mathematics |BandReihe=36 |ISBN=978-0-8218-2895-3}}

=== Historie und Andere ===

* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] u. a. |Titel=Contributions to Functional Analysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1966 |Sprache=en |ISBN=978-3-642-85999-1 |DOI=10.1007/978-3-642-85997-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Pietsch]] |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators |Verlag=Birkhäuser Boston |Ort=Boston, MA |Jahr=2007 |Sprache=en |ISBN=978-0-8176-4367-6 |DOI=10.1007/978-0-8176-4596-0}}

=== Klassische Werke ===

* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Jahr=1986 |Reihe=Mathematische Leitfäden |HrsgReihe=G. Köthe, K.-D. Bierstedt, G. Trautmann |ISBN=978-3-519-12206-7 |DOI=10.1007/978-3-322-96755-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]] |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis |Auflage=Unveränd. Nachdr. d. 1. Aufl. v. 1971 |Verlag=Spektrum, Akad. Verl |Ort=Heidelberg Berlin Oxford |Jahr=1996 |Reihe=Hochschultaschenbuch |ISBN=978-3-86025-429-5 |Online=https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/117/1/M5.pdf}}
* {{Literatur |Autor=[[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|A.N. Kolmogorow]], [[Sergei Wassiljewitsch Fomin|S.W. Fomin]] |Titel=Reelle Funktionen und Funktionalanalysis |Hrsg= |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1975 |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=78 |ISBN=}}
* {{Literatur |Autor=Reinhold Meise, Dietmar Vogt |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Jahr=1992 |ISBN=978-3-528-07262-9 |DOI=10.1007/978-3-322-80310-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Friedrich Riesz]], [[Béla Sz.-Nagy]] |Titel=Vorlesung über Funktionalanalysis |Auflage=2. |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Jahr=1968 |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=27}}
* {{Literatur |Autor=[[Sergei Lwowitsch Sobolew|S.L. Sobolew]] |Titel=Einige Anwendungen der Funktionalanalysis auf Gleichungen der mathematischen Physik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Jahr=1964}}
* {{Literatur |Autor=[[Wladimir Iwanowitsch Sobolew|W.I. Sobolew]], [[Lasar Aronowitsch Ljusternik|L.A. Ljusternik]] |Titel=Elemente der Funktionalanalysis |Auflage=3. |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Jahr=1965 |Reihe=Mathematische Lehrbücher und Monographien |BandReihe=8}}
* {{Literatur |Autor=[[Angus Ellis Taylor]], David C. Lay |Titel=Introduction to Functional Analysis |Auflage=2nd |Verlag=Wiley |Ort=New York |Jahr=1980 |ISBN=978-0-471-84646-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Kôsaku Yosida|Kosaku Yosida]] |Titel=Functional Analysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1995 |Reihe=Classics in Mathematics |BandReihe=123 |ISBN=978-3-540-58654-8 |DOI=10.1007/978-3-642-61859-8}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Functional analysis|Funktionalanalysis}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4018916-8}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Funktionalanalysis - Versionsgeschichte

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