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2025-12-04T19:28:23Z

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Die '''Funktionalableitung''' auch '''Variationsableitung'''<ref name="DensityFunctionalTheory405406">{{Literatur |Autor= Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler |Titel=Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics) |Auflage= |Verlag=Springer |Ort= |Datum=17. Februar 2011 |ISBN=978-3642140891 |Seiten=405–406}}</ref> ist eine verallgemeinerte [[Richtungsableitung]] eines Funktionals. Ein [[Funktional]] ist dabei eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende [[Vektorraum]] in diesem Fall also ein [[Funktionenraum]] ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die [[erste Variation]].

Die Funktionalableitung ist in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] relevant. Dort wird sie unter anderem in der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]] und der [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]] verwendet.

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine Untermenge eines [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraumes]] und <math>F \colon M \to \mathbb{K}</math> mit <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math> ein (nicht zwingend lineares) [[Funktional]], dann ist die [[erste Variation]] von <math>F</math> definiert durch
:<math>\delta F[y]:= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[y+\varepsilon \phi]-F[y]}{\varepsilon} = \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\bigg\vert_{\varepsilon=0}</math>
für eine beliebige Funktion <math>\phi</math> (in einem nicht näher bestimmten [[Funktionenraum]] <math>\Omega(D)</math>) mit der einzigen Bedingung, dass <math>F</math> auf <math>y+\varepsilon \phi</math> eindeutig definiert ist für hinreichend kleine <math>\varepsilon > 0</math>. Der Funktionenraum <math>\Omega(D)</math> muss kein Unterraum von <math>M</math> sein, so lange <math>y+\varepsilon \phi \in M</math> für alle <math>\varepsilon > 0</math> ist.

Die Funktionalableitung <math>\tfrac{\delta F[y]}{\delta y(x)}</math> von <math>F</math> ist dann definiert durch
:<math>\int_D \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} \phi(x) \mathrm{d} x:= \left. \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\right |_{\varepsilon=0}</math>.

Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen [[Integraloperator]]s mit [[Integralkern]] <math>\tfrac{\delta F[Y]}{\delta y(x)}</math> gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige <math>y</math> nicht möglich. Ein Funktional, für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.<ref name="DensityFunctionalTheory405406" /><ref name="ParrYang">R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: [https://books.google.com/?id=mGOpScSIwU4C&printsec=frontcover&dq=Density-Functional+Theory+of+Atoms+and+Molecules&cd=1#v=onepage&q Density-Functional Theory of Atoms and Molecules]. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254.</ref>

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]], was durch die Notation <math>\tfrac{\delta}{\delta y(x)}</math> ausgedrückt werden soll.

== Eigenschaften ==
Analog zur üblichen [[Richtungsableitung]] hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften.
# Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung<ref name="ParrYang" />:
#:<math>\frac{\delta}{\delta y(x)} (\alpha F[y] + \beta G[y]) = \alpha \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} + \beta \frac{\delta G[y]}{\delta y(x)}</math>
# Für ein Produkt aus Funktionalen <math>H[y] = F[y] G[y]</math> gilt die Produktregel<ref name="ParrYang" />:
#:<math>\frac{\delta}{\delta y(x)} (F[y] G[y]) = F[y] \frac{\delta G[y]}{\delta y(x)} + \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} G[y] </math>
# Falls <math>F</math> linear ist, dann ist
#:<math>F[y] = \int_{D} y(x) \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} dx</math>.
#:Dies ist auch ein Folgerung aus dem [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]]: Weil <math>F</math> hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt <math>\textstyle \left\langle y, \frac{\delta F[y]}{\delta y} \right\rangle</math> darstellen.
# Operiert das Funktional <math>F</math> zwischen Teilmengen von [[Banachraum|Banachräumen]] und ist die Funktionalableitung <math>y \mapsto \tfrac{\delta F[y]}{\delta y(x)}</math> von <math>F</math> eine lineare Abbildung, dann existiert auch die [[Fréchet-Ableitung]] von <math>F</math> und stimmt mit <math>\textstyle \int_D y(x) \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} dx</math> überein.<ref name="DensityFunctionalTheory405406" />

== Beispiele ==
* Das nicht-lineare Funktional
::<math>F[y] = \int_{\mathbb{R}} y(x)^2 g(x) dx</math>
:hat die Funktionalableitung <math>\tfrac{\delta F[y]}{\delta y(x)} = 2 y(x) g(x)</math>, wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:
::<math>
\begin{align}
\int_{\mathbb{R}} \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} h(x) dx &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} (F[y+\varepsilon h]-F[y]) \\
&= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} \left( \int_{\mathbb{R}} (y(x) + \varepsilon h(x))^2 g(x) dx - \int_{\mathbb{R}} y(x)^2 g(x) dx \right) \\
&= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} \int_{\mathbb{R}} 2 y(x) \varepsilon h(x) g(x) + \varepsilon^2 h(x)^2 g(x) dx \\
&= \int_{\mathbb{R}} 2 y(x) g(x) h(x) dx
\end{align}
</math>.
: Da dies für alle Testfunktionen <math>h</math> gelten muss, folgt
::<math>\frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} = 2 y(x) g(x)</math>.
* Ein anderes Beispiel stammt aus der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]]. In der [[Lokale Dichtenäherung|LDA-Näherung]] ist dort die Austauschenergie
:: <math>E_x[\varrho] := c \int_{\mathbb{R}} \varrho(r)^{4/3} d^3 r</math>
: ein Funktional der Dichte <math>\varrho</math>.<ref>Klaus Capelle, [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0211443 A bird's-eye view of density-functional theory], Version 5, November 2006, Gleichung (83)</ref> Das zugehörige Austauschpotential ist
:: <math>V_x(r) := \frac{\delta E_x[\varrho]}{\delta \varrho(r)} = c \frac{4}{3} \varrho(r)^{1/3}</math>.
* Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional <math>F</math> der Dichte <math>\varrho</math>:
:: <math>F[\varrho] = \frac{k}{2} \iint_{\mathbb{R}^6} \frac{\varrho(\mathbf{r}) \varrho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .</math>
: Es gilt
::<math>
\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta F[\varrho]}{\delta \varrho(\mathbf{r})} h(\mathbf{r}) d\boldsymbol{r} &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} (F[\varrho+\varepsilon h]-F[\varrho]) \\
&= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} \frac{k}{2} \left( \iint_{\mathbb{R}^6} \frac {[\varrho(\boldsymbol{r}) + \epsilon h(\boldsymbol{r})] \, [\varrho(\boldsymbol{r}') + \epsilon h(\boldsymbol{r}')] }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' - \iint_{\mathbb{R}^6} \frac {\rho(\boldsymbol{r}) \, \rho(\boldsymbol{r}')}{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \right) \\
&= \frac{k}{2}\iint_{\mathbb{R}^6} \frac {\varrho(\boldsymbol{r}') h(\boldsymbol{r}) }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' +
\frac{k}{2}\iint_{\mathbb{R}^6} \frac {\varrho(\boldsymbol{r}) h(\boldsymbol{r}') }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \\
&= \frac{2k}{2} \iint_{\mathbb{R}^6} \frac {\varrho(\boldsymbol{r}') h(\boldsymbol{r}) }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r}' d\boldsymbol{r} \\
&= \int_{\mathbb{R}^3} \left( k \int_{\mathbb{R}^3} \frac {\varrho(\boldsymbol{r}') }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert}\, d\boldsymbol{r}' \right) h(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r}
\end{align}
</math>.
: Da dies für alle Testfunktionen <math>h</math> gelten muss, folgert man das<ref name="ParrYang" /> Ergebnis
::<math>\frac{\delta F[y]}{\delta \varrho(\boldsymbol{r})} = k \int_{\mathbb{R}^3} \frac {\varrho(\boldsymbol{r}') }{\vert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \vert} d\boldsymbol{r}'</math>.
* In der [[Quantenfeldtheorie]] ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
:: <math> F[y]= e^{\int_{\mathbb{R}} y(x) g(x) dx}</math>.
: Mithilfe des Grenzwerts
::<math>\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{e^{\varepsilon a} - 1}{\varepsilon} = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1 + \varepsilon a + \frac{\varepsilon^2}{2} a^2 + ... - 1}{\varepsilon} = a</math>
:zeigt man
:: <math> \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} = e^{\int_{\mathbb{R}} y(x) g(x) dx} g(x) = F[y] g(x)</math>.
* Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion <math>f</math> mithilfe der [[Delta-Distribution]] als Funktional schreiben:
::<math>f(x) = F_x[f] := \int_{\mathbb{R}} f(y) \delta(x - y) dy</math>.
:In diesem Sinne ist<ref name="DensityFunctionalTheory407408">{{Literatur |Autor= Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler |Titel=Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics) |Auflage= |Verlag=Springer |Ort= |Datum=17. Februar 2011 |ISBN=978-3642140891 |Seiten=407–408}}</ref>
:: <math>\frac{\delta f(x)}{\delta f(y)} = \delta(x - y)</math>.

== Mögliche Voraussetzungen für die Existenz der Funktionalableitung ==
Die Abbildung
:<math>\phi \mapsto \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}</math>
ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der [[Darstellungssatz von Riesz-Markow]] angewandt werden. Dann gibt es ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math>, so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung
:<math>\delta F[y] = \int_D y(x) \mathrm{d} \mu(x)</math>.
Kann man zusätzlich den [[Satz von Radon-Nikodým]] anwenden, so gibt es eine Dichtefunktion, so dass
:<math>\delta F[y] = \int_D y(x) \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} \mathrm{d} x</math>
gilt. Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung.

== Siehe auch ==
* [[Variation (Mathematik)|Variation]]
* [[Hamiltonsches Prinzip]]
* [[Euler-Lagrange-Gleichung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Optimierung]]
[[Kategorie:Variationsrechnung]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Funktionalableitung - Versionsgeschichte

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