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2025-03-07T19:15:29Z

Lineare Funktionale: +quelle

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{{Dieser Artikel|behandelt das mathematische Funktional. Zum Adjektiv ''funktional'' siehe [[Funktionalität]] und [[Funktion]].}}
{{Belege}}

Als '''Funktional''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] in der Regel eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], deren [[Definitionsmenge]] als [[Teilmenge]] in einem [[Vektorraum]] enthalten ist, während ihre [[Zielmenge]] in dem zugehörigen [[Skalarkörper]] liegt.

Der Funktionalbegriff ist eng verbunden mit dem mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]], welches aus dem Studium solcher Funktionale hervorgegangen ist. Hier ist der untersuchte Vektorraum zumeist ein [[Funktionenraum]], also ein Vektorraum, dessen Elemente [[Reelle Zahl|reell]]- oder [[Komplexe Zahl|komplexwertige]] Funktionen sind, wobei diesen durch Funktionale Skalare zugeordnet werden. [[Vito Volterra]] schlug 1887 zum ersten Mal vor, beispielsweise die [[Bogenlänge]] als eine Funktion der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] aufzufassen, er sprach in diesem Zusammenhang von Funktionen, die „von anderen Funktionen abhängen“. Der Begriff des Funktionals selbst wird zuerst 1903 von Jacques Hadamard genutzt.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk Werner |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=8., vollständig überarbeitete Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Jahr=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |Seiten=134}}</ref> Als bedeutendes Beispiel eines Funktionals kann das [[Lebesgue-Integral]] gelten.

Dieser Artikel behandelt die (am meisten untersuchten) Fälle, in denen als [[Skalarkörper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[Körper der reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> oder der [[Körper der komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{C}</math> zugrunde liegt und die Definitionsmenge des jeweiligen Funktionals mit dem Vektorraum <math>V</math> zusammenfällt. Als grundlegende Unterscheidung ist dabei sinnvoll, [[Lineare Abbildung|lineare]] und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden.

== Definition ==
Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-[[Vektorraum]] mit <math>\mathbb{K} \in \{\R , \Complex\}</math>. Ein Funktional <math>T</math> ist eine Abbildung <math>T \colon V \to \mathbb{K}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Deimling |Titel=Nonlinear Functional Analysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1985 |ISBN=978-3-662-00549-1 |Seiten=38}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Funktional |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Beispiele ==
Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum <math>\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{K})</math> der Funktionen auf der reellen Achse ist das Auswertungsfunktional an der Stelle Null
:<math>\delta\colon\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{K})\to\mathbb{K}, \quad
f\mapsto \delta[f]=f(0).</math>
Dieses Funktional heißt [[Delta-Distribution]] oder Dirac-Delta.

Ein nichtlineares Funktional auf dem Vektorraum der Kurven im Raum, speziell hier stetig differenzierbare Funktionen von <math>\left[0,1\right]</math> nach <math>\R^3</math>, ist das [[Bogenlänge]]nfunktional<ref>{{Literatur |Autor=Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton K. Rebhan, Andreas Wipf, Matthias Bartelmann |Titel=Mechanik |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin [Heidelberg] |Datum=2018 |Reihe=Theoretische Physik / Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf |NummerReihe=1 |ISBN=978-3-662-56114-0 |Seiten=187 |Abruf=}}</ref>
:<math>L\colon\mathcal{C}^1\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}^3\right)\to\mathbb{R}, \quad
c\mapsto L[c]=\int_0^1 \left\Vert\dot{c}(t)\right\Vert\ \mathrm{d}t.</math>

== Lineare Funktionale ==
In den meisten Bereichen der Funktionalanalysis, etwa in der Theorie der [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]], wird der Begriff Funktional (ohne weiteren Zusatz) als Synonym für lineare Funktionale benutzt.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk Werner |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=6., korr. Aufl. 2007 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2007 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-540-72533-6 |Seiten=45 |Abruf=}}</ref> Ein solches Funktional ist also definitionsgemäß eine [[Linearform]], also eine [[lineare Abbildung]] des Vektorraumes <math>V</math> in seinen Skalarkörper <math>\mathbb K</math>. Die Menge all dieser Funktionale ist wiederum in natürlicher Form ein Vektorraum über dem gleichen Körper <math>\mathbb K</math>, indem man für zwei Funktionale <math>f</math> und <math>g</math> über <math>V</math> die Addition und [[Skalarmultiplikation]] punktweise definiert, d. h.
:<math> (f+g)(x):=f(x)+g(x) \quad (\lambda f)(x):=\lambda (f(x)), x\in V.</math>
Der Vektorraum der linearen Funktionale auf dem Vektorraum <math>V</math> wird der algebraische [[Dualraum]] genannt und oft mit <math>V^{*}</math> bezeichnet.

=== Beispiele von Dualräumen ===
Für den Vektorraum <math>V = \R^n</math> ist der Dualraum kanonisch isomorph zum Vektorraum selbst, d. h. <math>V \cong V^*</math>. Der kanonische [[Isomorphismus]] <math>I\colon\R^n\rightarrow(\R^n)^*</math> wird dabei über das [[Standardskalarprodukt]] vermittelt:
:<math>(I(x))(y):=\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i.</math>

Für den Vektorraum <math>V = \Complex^n</math> gilt ähnliches wie im ersten Fall, allerdings ist die kanonische Abbildung <math>I\colon\Complex^n\rightarrow(\Complex^n)^*</math> in diesem Fall [[semilinear]]:
:<math>(I(x))(y):=\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n \overline{x_i} \cdot y_i.</math>
Der Dualraum ist in diesem Fall also gleich groß, hat aber bezüglich der kanonischen Abbildung eine andere Skalarmultiplikation. Im Sinne der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] sagt man auch: Der Dualraum ist kanonisch isomorph zum komplex konjugierten Vektorraum.

Für allgemeine endlichdimensionale Vektorräume kann man durch die Wahl einer Basis und Anwendung der beiden ersten Fälle zeigen, dass der Dualraum immer die gleiche Dimension wie der Ursprungsraum hat. Die Abbildungen zwischen dem Vektorraum und dem Dualraum sind dann aber im Allgemeinen nicht kanonisch.

Für unendlichdimensionale Vektorräume ist der Fall wesentlich komplizierter. In einigen wichtigen Fällen, z. B. für [[Hilbertraum|Hilberträume]], ist der Vektorraum zwar ein kanonischer Unterraum, im Allgemeinen gilt dies allerdings nicht. Der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums hat zudem immer größere Dimension (im Sinne der Kardinalität einer algebraischen Basis) als der Ursprungsraum.

=== Stetige lineare Funktionale ===
Wie gerade gesehen, ist der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums immer größer oder gleich dem ursprünglichen Vektorraum. Das Ziel der Funktionalanalysis ist es nicht zuletzt, die Methoden der mehrdimensionalen Analysis auf unendlichdimensionale Räume auszudehnen und dabei insbesondere Konzepte wie [[Funktionenfolge#Konvergenzbegriffe|Konvergenz]], [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[Differenzierbarkeit]] zu untersuchen. Daher werden a priori nur Vektorräume betrachtet, die zumindest eine [[topologische Struktur]] tragen, also die [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]]. Zu ihnen zählen unter anderem alle [[Normierter Raum|normierten Vektorräume]] und insbesondere die [[Banachraum|Banach-]] und Hilberträume.

In einem topologischen Vektorraum sind im Allgemeinen nicht alle linearen Funktionale stetig. Die stetigen linearen Funktionale innerhalb des algebraischen Dualraums, also die auf <math>V</math> gegebenen stetigen Linearformen, bilden einen [[Linearer Unterraum|linearen Unterraum]] von <math>V^{*}</math>. Dies ist der ''topologische Dualraum von <math>V</math>'', der in der Funktionalanalysis einer der Hauptgegenstände ist. Er wird meist mit der Bezeichnung <math>V'</math> gekennzeichnet, von einigen Autoren jedoch auch mit derselben Bezeichnung wie der algebraische Dualraum, also ebenfalls mit <math>V^{*}</math>.

==== Beispiele topologischer Dualräume ====
Für endlichdimensionale Vektorräume gibt es eine natürliche Topologie ([[Normtopologie]]), die aus der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] hervorgeht (genauer gesagt: aus einer beliebigen euklidischen Norm, wenn man eine Basis wählt). Dies ist gerade die Topologie, die der normalen Standard-Analysis zugrunde liegt, und in dieser ist jedes lineare Funktional stetig. Das heißt, der algebraische Dualraum ist gleich dem topologischen Dualraum.

Im unendlichdimensionalen Fall ist der topologische Dualraum (fast) immer ein echter [[Teilraum]] des algebraischen Dualraumes.

In normierten Vektorräumen ist ein Funktional <math>f</math> genau dann stetig, wenn es beschränkt ist, das heißt
:<math>\sup_{ \| x \| \leq 1} |f(x)| <\infty .</math>
Der topologische Dualraum ist dann automatisch ein Banachraum mit der oben angegebenen [[Supremumsnorm]].

In Hilberträumen ist der topologische Dualraum kanonisch mit dem Ursprungsraum identifizierbar ([[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]]). Die Identifikation erfolgt wie im endlichdimensionalen Fall über das Skalarprodukt:
:<math>(I(y)) :=\langle \cdot ,y\rangle.</math>

Der topologische Dualraum des Raumes der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger auf der reellen Achse (die so genannten Testfunktionen) mit einer bestimmten (hier nicht näher erklärten) Topologie wird als Raum der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] bezeichnet. In diesem Raum liegt auch das weiter oben genannte Beispiel des Dirac-Delta-Funktionals.

== Nichtlineare Funktionale ==
Nichtlineare Funktionale traten historisch erstmals in der [[Variationsrechnung]] auf. Ihr Studium unterscheidet sich grundlegend von dem der oben beschriebenen linearen Funktionale. In der Variationsrechnung setzt man es sich beispielsweise zum Ziel, die Extremalpunkte solcher Funktionalpunkte zu bestimmen. Zu diesem Zweck benötigt man eine Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs der mehrdimensionalen Analysis, d. h. eine Definition des [[Differential (Mathematik)|Differentials]] des Funktionals. In der Variationsrechnung und in den Anwendungen ist dieses Differential unter dem Namen [[Variationsableitung]] bekannt, mathematisch präzisiert wird der Begriff z. B. durch die [[Fréchet-Ableitung]] und die [[Gateaux-Ableitung]].

=== Beispiele von nichtlinearen Funktionalen ===
Große Bedeutung in der Anwendung, insbesondere in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] haben nichtlineare Funktionale auf Kurvenräumen, wie in dem Beispiel des Bogenlängenfunktionals weiter oben. Man kann dieses Beispiel leicht verallgemeinern.

Wir betrachten wiederum einen Kurvenraum und zusätzlich eine stetig differenzierbare Funktion <math>F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>. Damit definieren wir:
:<math>L\colon\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}^3)\to\mathbb{R} \quad c\mapsto L[c]=\int_0^1 F(c(t)) \mathrm{d}t.</math>
Man sagt, das Funktional <math>L</math> habe einen stationären Punkt bei einer Kurve <math>c</math>, wenn das Differential
:<math>\mathcal{D}L_c(h):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(F(c+ s h))</math>
für alle Variationen <math>h</math>, das sind Kurven mit Anfangs- und Endpunkt in der Null, verschwindet. Dies ist hier genau dann der Fall, wenn das (gewöhnliche) Differential von <math>F</math> auf der ganzen Kurve <math>c</math> verschwindet:
:<math>DF(c(t))=0.</math>

Betrachtet man einen Kurvenraum und zweifach stetige Funktionen mit zwei Argumenten <math>F\colon\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>, so erhält man analog:
:<math>L\colon\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}^3)\to\mathbb{R} \quad c\mapsto L[c]=\int_0^1 F(c(t),\dot{c}(t)) \mathrm{d}t,</math>
stationären Punkte bei einer Kurve <math>c</math>, wenn das Differential
:<math>\mathcal{D}L_c(h):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(F(c+ s h))</math>
für alle Variationen <math>h</math>, verschwindet. Dies ist in diesem einfachen Fall genau dann der Fall, wenn <math>c</math> die [[Euler-Lagrange-Gleichung]] erfüllt, d. h.
:<math>D_1F(c(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D_2F(c(t))=0.</math>

Bisweilen, insbesondere in anwendungsnahen Texten, schreibt man eine funktionale Abhängigkeit (im Gegensatz zu der gewöhnlichen funktionellen Abhängigkeit) mit eckigen oder geschweiften statt mit runden Klammern und nennt dabei eventuell ein Dummy-Argument der Argumentfunktion, also <math>I[f]</math> oder <math>I{f(x)}</math> statt <math>I(f)</math>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Funktional - Versionsgeschichte

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