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2026-04-06T03:26:19Z

Literatur

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Der '''Fundamentalsatz der Analysis''', auch bekannt als '''Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung''' (HDI), ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]], der die beiden grundlegenden Konzepte der [[Analysis]] miteinander in Verbindung bringt, nämlich das der [[Integralrechnung|Integration]] und das der [[Differentialrechnung|Differentiation]]. Er sagt aus, dass Ableiten bzw. Integrieren in einem gewissen Sinne jeweils die Umkehrung des anderen ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen, die manchmal als ''erster'' und ''zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung'' bezeichnet werden.<ref>{{Literatur |Autor=T. Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-8274-2347-4 |Seiten=386, 389}}</ref> Die konkrete Formulierung des Satzes und sein Beweis variieren je nach Aufbau der betrachteten Integrationstheorie. Hier wird zunächst das [[Riemann-Integral]] betrachtet.

== Geschichte und Rezeption ==
Bereits [[Isaac Barrow]], der akademische Lehrer Newtons, erkannte, dass Flächenberechnung (Integralrechnung) und Tangentenberechnung (Differentialrechnung) in gewisser Weise invers zueinander sind, den Hauptsatz fand er jedoch nicht. Der Erste, der diesen publizierte, war 1667 [[James Gregory (Mathematiker)|James Gregory]] in ''Geometriae pars universalis.''<ref>{{MacTutor|id=Gregory|title=James Gregory}}.</ref> Die Ersten, die sowohl den Zusammenhang als auch dessen fundamentale Bedeutung erkannten, waren unabhängig voneinander [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] mit ihrer [[Infinitesimalrechnung]]. In ersten Aufzeichnungen zum Fundamentalsatz aus dem Jahr 1666 erklärt Newton den Satz für beliebige Kurven durch den [[Koordinatensystem|Nullpunkt]], weswegen er die Integrationskonstante ignorierte. Newton publizierte dies erst 1686 in seiner ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]].'' Leibniz fand den Satz 1677, er schrieb ihn im Wesentlichen in der heutigen Notation nieder.

Seine moderne Form erhielt der Satz durch [[Augustin Louis Cauchy]], der als Erster eine formelle Integraldefinition sowie einen Beweis mit Hilfe des [[Mittelwertsatz der Integralrechnung|Mittelwertsatzes]] entwickelte. Enthalten ist dies in seiner Fortsetzung des ''Cours d’Analyse'' von 1823. Cauchy untersuchte auch die Situation im [[Komplexe Zahl|Komplexen]] und bewies damit eine Reihe zentraler Resultate der [[Funktionentheorie]]. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand man die Erweiterungen auf höhere Dimensionen. [[Henri Léon Lebesgue]] erweiterte dann 1902 den Fundamentalsatz mit Hilfe seines Lebesgue-Integrals auf unstetige Funktionen.

Der Hauptsatz wurde im 20. Jahrhundert von dem Mathematiker [[Friedrich Wille (Mathematiker)|Friedrich Wille]] humoristisch in der [[Hauptsatzkantate]] vertont.

== Der Satz ==
=== Erster Teil ===
Der erste Teil des Satzes ergibt die Existenz von [[Stammfunktion]]en und den Zusammenhang von [[Differentialrechnung|Ableitung]] und Integral:

Ist <math>f\colon I \to\R</math> eine [[Reelle Zahl|reellwertige]] [[Stetige Funktion|stetige]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] auf einem [[Intervall (Mathematik)|reellen Intervall]] <math>I</math>, so ist für jedes <math>c\in I</math> die Integralfunktion
:<math>F\colon I\to\R</math> mit <math>F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\,{\rm d}t</math>
differenzierbar und eine Stammfunktion von <math>f</math>, das heißt, für alle <math>x \in I</math> gilt <math>F^{\prime}(x)=f(x)</math>.

Dass die Integralfunktion <math>F</math> auf dem ganzen Intervall <math>I</math> definiert ist, folgt aus der Tatsache, dass das Riemann-Integral für jede stetige Funktion über jedem kompakten Intervall existiert.

Insbesondere ist <math>F</math> in <math>x_0</math> differenzierbar mit <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>, falls <math>f</math> stetig in <math>x_0</math> ist. Dabei ist die Differenzierbarkeit einseitig zu verstehen, falls <math>x_0</math> Randpunkt des Intervalls <math>I</math> ist.

=== Zweiter Teil ===
Der zweite Teil des Satzes erklärt, wie Integrale berechnet werden können:

Ist <math>f\colon[a,b]\to\R</math> eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[a,b]</math> mit Stammfunktion <math>F\colon[a,b]\to\R</math>, dann gilt die Newton-Leibniz-Formel
:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=F(b)-F(a).</math>
Mit der abkürzenden Schreibweise <math>\Big[F(x)\Big]_a^b:=F(b)-F(a)</math> liest sich der zweite Teil als

:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b.</math>

[[Datei:Fundamental theorem of calculus (animation).gif|Fundamentalsatz der Analysis (Animation)]]

'''Bemerkung'''

Die Anforderung, dass <math>f</math> auf ganz <math>[a,b]</math> stetig ist, lässt sich abschwächen. So kann <math>f</math> beispielsweise auch endlich viele Unstetigkeitsstellen in <math>[a,b]</math> besitzen.

== Beweis ==
=== Erster Teil ===
[[Datei:Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.svg|mini|hochkant=1.8|Zur Erklärung der Notation im Beweis]]

Für den ersten Teil muss gezeigt werden, dass die Ableitung von <math>F</math>, also der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}</math>, existiert und gleich <math>f(x)</math> ist.

Dazu wird ein beliebiger Punkt <math>x\in I</math> gewählt. Für alle <math>h \neq 0</math> mit <math>x + h \in I</math> gilt dann

:<math>\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left(\int_{c}^{x+h} f(t)\,{\rm d}t - \int_{c}^x f(t)\,{\rm d}t \right) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t.</math>

Nach dem [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] existiert eine [[Reelle Zahlen|reelle Zahl]] <math>\xi_h</math> zwischen <math>x</math> und <math>x+h</math>, sodass

:<math>\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t = f(\xi_h).</math>

Wegen <math>\xi_h\to x</math> für <math>h \to 0</math> und der Stetigkeit von <math>f</math> folgt daraus

:<math>\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} f(\xi_h) = f(x),</math>

d. h. <math>F'(x)</math> existiert und ist gleich <math>f(x)</math>.

==== Alternativer Beweis ohne Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung ====
Da der [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] in vielen Texten aus dem Fundamentalsatz gefolgert wird, führen wir hier noch einen Beweis, der lediglich die Definition der Stetigkeit und grundlegende Eigenschaften des Riemann-Integrals verwendet (Linearität, [[Dreiecksungleichung]], Monotonie und Intervalladditivität):

Wir zeigen wie im Beweis oben, dass <math>F</math> an einer beliebigen Stelle <math>x_0</math> differenzierbar ist mit <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>. Dazu weisen wir die [[Grenzwert (Funktion)#Formale Definition des Limes einer reellen Funktion|Grenzwerteigenschaft gemäß Definition]] nach, d. h wir zeigen, dass es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> ein <math>\delta>0</math> gibt, so dass <math display="inline">\left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right|\leq \varepsilon</math> für alle <math>x \in I</math> mit <math>0<|x-x_0|<\delta</math>.

Sei dazu <math>\varepsilon > 0</math> beliebig. Für alle <math>x\in I</math> mit <math>x\neq x_0</math> gilt

:<math>
\begin{align}
\left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| & = \left| \frac{1}{x-x_0} \left( \int_c^x f(t)\,\mathrm dt - \int_c^{x_0} f(t)\,\mathrm dt \right) -f(x_0) \right|\\
& = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm dt - \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, \mathrm dt \right|\\
& = \left| \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x (f(t)-f(x_0))\, \mathrm dt \right|\\
& \leq \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt.
\end{align}
</math>

Um den Betrag des Ausdrucks auf der linken Seite weiter abschätzen zu können, benutzen wir die Stetigkeit von <math>f </math> im Punkt <math>x_0</math>. Diese garantiert die Existenz eines <math>\delta > 0</math>, so dass <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math> für alle <math>x \in I</math> mit <math>0<|x-x_0|<\delta</math>. Für diese <math>
x
</math> lässt sich das Integral in der letzten Zeile somit abschätzen durch <math display="inline">\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\,\mathrm dt\leq |x-x_0|\varepsilon</math>; insgesamt erhält man damit <math display="inline">\left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right|\leq \varepsilon</math> für alle <math>x\in I</math> mit <math>0<|x-x_0|<\delta</math>.

=== Zweiter Teil ===
<math>f</math> sei eine stetige Funktion auf dem Intervall <math>[a,b]</math>. Setzt man bei der Integralfunktion des ersten Teils <math>c=a</math>, so ist <math>F(a)=0</math> und <math>\textstyle F(b) = \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x</math> und damit gilt <math>\textstyle \int_a^b f(t)\,\mathrm dt = F(b)-F(a)</math> für diese spezielle Stammfunktion. Alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich von jener aber nur durch eine Konstante, die bei der Subtraktion verschwindet. Somit ist der Satz für alle Stammfunktionen bewiesen.

'''Bemerkung'''

Der zweite Teil des Hauptsatzes lässt sich unabhängig vom ersten Teil desselben beweisen, indem man auf die Definition des Riemann-Integrals als Grenzwert von Ober- und Untersummen zurückgreift. Hierbei muss der Integrand nur als Riemann-integrierbar, nicht jedoch als stetig vorausgesetzt werden.

== Anschauliche Erklärung ==
Zur anschaulichen Erklärung wird ein Teilchen betrachtet, das sich entlang einer Geraden bewegt, beschrieben durch die Ortsfunktion <math>x(t)</math>. Die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit ergibt die [[Geschwindigkeit]]:

:<math>\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} = v(t)</math>.

Die Ortsfunktion ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion. Rechnet man mit den Differentialen <math>\mathrm dx</math> und <math>\mathrm dt</math> wie mit gewöhnlichen Termen, so erhält man aus dieser Gleichung durch Multiplikation mit <math>\mathrm dt</math> die Gleichung

:<math>{\rm d}x(t) = v(t) \,\mathrm dt</math>.

Diese Gleichung besagt, dass das Teilchen in der unendlich kurzen („[[Infinitesimal|infinitesimalen]]“) Zeit <math>\mathrm dt</math> eine ''unendlich kleine'' Ortsänderung <math>\mathrm dx</math> erfährt. Eine ''endliche'' Ortsänderung <math>\Delta x=x_2-x_1</math> ergibt sich als „Summe“ der infinitesimalen Ortsänderungen <math>{\rm d}x</math>. Da aber das Summieren infinitesimaler Größen dem Integrieren entspricht, ist

:<math>x_2-x_1=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,\mathrm dt.</math>

Dies ist gerade der zweite Teil des Hauptsatzes mit <math>f(t)=v(t)</math>, <math>F(t)=x(t)</math>, <math>x_1=x(t_1)</math> und <math>x_2=x(t_2)</math>.

Setzt man <math>x(0)=0</math>, so erhält man mit dem zweiten Teil des Hauptsatzes <math>\textstyle x(t)=\int_0^t v(t')\, \mathrm dt'</math>, woraus einerseits <math>\textstyle x'(t)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_0^t v(t')\, \mathrm dt'</math> folgt. Andererseits ist <math>x'(t)=v(t)</math>. Gleichsetzen liefert

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_0^t v(t')\, \mathrm dt' = v(t)</math>,

und dies ist die [[Kinematik|kinematische]] Version des ersten Teils des Hauptsatzes.

== Anwendungen ==
=== Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen ===
Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt darin, dass er die Berechnung von Integralen auf die Bestimmung einer Stammfunktion, sofern eine solche überhaupt existiert, zurückführt.

==== Beispiele ====
* Die auf ganz <math>\R</math> definierte Funktion <math>f(x) = x^2</math> besitzt die Stammfunktion <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}</math>. Man erhält somit

::<math>\int_0^2 x^2\,{\rm d}x = F(2) - F(0) = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac 8 3</math>.

* Die auf <math>I = [-1,1]</math> definierte Funktion <math>g(x) = \sqrt{1-x^2}</math>, deren Graph den Rand eines [[Kreis (Geometrie)|Einheitshalbkreises]] beschreibt, besitzt die Stammfunktion
::<math>G(x) = \frac12 (\arcsin x + x\cdot \sqrt{1-x^2})</math>.
: Für die Fläche des halben Einheitskreises erhält man somit den Wert
::<math>\int_{-1}^1 g(x)\,{\rm d}x = G(1) - G(-1) = \frac{1}{2}\arcsin (1) -\frac{1}{2}\arcsin (-1)=\frac\pi2</math>,
: für die Fläche des ganzen Einheitskreises also den Wert <math>\pi</math>.

Am letzten Beispiel zeigt sich, wie schwierig es sein kann, Stammfunktionen gegebener Funktionen zu finden. Gelegentlich erweitert dieser Prozess die Klasse bekannter Funktionen. Etwa ist die Stammfunktion der auf <math>\R \setminus \{0\}</math> definierten Funktion <math>f(x)=\tfrac{1}{x}</math> keine [[rationale Funktion]], sondern hängt mit dem [[Logarithmus]] zusammen und ist <math>\ln \left| x \right|</math>.

=== Herleitung von Integrationsregeln ===
Der Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung erlaubt es, aus [[Ableitungsregel]]n, die direkt aus der Definition der Ableitung gefolgert werden können, Integrationsregeln zu gewinnen. Zum Beispiel kann die [[Potenzregel]] benutzt werden, um Integrale von Potenzfunktionen direkt hinzuschreiben. Interessanter sind Aussagen, die für allgemeinere Klassen von Funktionen gelten. Dabei ergibt sich dann als Übertragung der [[Produktregel]] die [[partielle Integration]], die deswegen auch ''Produktintegration'' genannt wird, und aus der [[Kettenregel]] die [[Integration durch Substitution|Substitutionsregel]]. Erst dies liefert praktikable Verfahren zum Auffinden von Stammfunktionen und damit zur Berechnung von Integralen.

Auch in mit diesen Möglichkeiten und auf diese Weise erstellten Tabellenwerken von Stammfunktionen gibt es allerdings Integranden, für die keine Stammfunktion angegeben werden kann, obwohl das Integral existiert. Die Berechnung muss dann mit anderen mathematischen Werkzeugen erfolgen, beispielsweise mithilfe der [[Kurvenintegral#Komplexe Wegintegrale|Integration im Komplexen]] oder [[Numerische Integration|numerischer Integration]].

== Verallgemeinerungen ==

=== Der Hauptsatz für uneigentliche Integrale ===
Sei <math>-\infty < a < b \leq \infty</math> und <math>f \colon {[a,b[} \to \R</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die über jedem abgeschlossenen Teilintervall <math>[a,\beta] \subset[a,b[</math> Riemann-integrierbar ist, und sei <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, für die der Grenzwert <math display="inline">\lim_{x \nearrow b} F(x) </math> existiert. Dann existiert auch das [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]] <math display="inline">\int_a^b f(x)\, \mathrm d x</math> und es gilt

:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm d x = \lim_{x \nearrow b} F(x) - F(a) </math>.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Timmann |Titel=Repetitorium der Analysis Teil 1 |Auflage=2. |Verlag=Binomi Verlag |Datum=2003 |ISBN=3-923923-50-3 |Seiten=294}}</ref>
Mit der abkürzenden Schreibweise <math>\Big[F(x)\Big]_a^b:=\lim_{x\nearrow b}F(x)-F(a)</math> liest sich dies in der gewohnten Form als

:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm d x = \Big[F(x)\Big]_a^b</math>.

Für Funktionen <math>f \colon {]a,b]} \to \R</math> mit <math>-\infty \leq a < b < \infty</math> gilt eine entsprechende Aussage.

Für die praktischen Auswertung von uneigentlichen Integralen genügt jedoch der „gewöhnliche“ Hauptsatz: Dieser wird zuerst für das Integral auf einem kompakten Intervall <math>[a,\beta]</math> angewendet, was im Regelfall einen von <math>\beta</math> abhängigen Ausdruck liefert, und im Anschluss wird der Grenzübergang <math>\beta \to b</math> vollzogen.

==== Beispiel ====
Die Funktion <math>f(x)=e^{-x}</math> ist auf jedem Intervall <math>[0,\beta]</math> mit <math>\beta >0</math> Riemann-integrierbar und hat <math>F(x)=-e^{-x}</math> als Stammfunktion. Der Grenzwert <math display="inline">\lim_{x \to \infty} -e^{-x}</math> existiert und hat den Wert null. Mit dem Hauptsatz für uneigentliche Integrale folgt

:<math>\int_0^\infty e^{-x} \, \mathrm d x = \lim_{x \to \infty} -e^{-x} - (-e^{0})=1. </math>

=== Der Hauptsatz für Lebesgue-Integrale ===
In seiner obigen Form gilt der Satz nur für stetige Funktionen, was eine starke Einschränkung bedeutet. Tatsächlich können auch unstetige Funktionen eine Stammfunktion besitzen. Beispielsweise gilt der Satz auch für das Regel- oder Cauchyintegral, bei dem [[Regelfunktion]]en untersucht werden. Diese besitzen an jeder Stelle einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert, können also sehr viele Unstetigkeitsstellen haben. Auch diese Funktionenklasse ist noch nicht ausreichend, daher folgt hier der Hauptsatz für das sehr allgemeine [[Lebesgue-Integral]].

Ist <math>f</math> auf <math>I</math> [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbar]], so ist für alle <math>c\in I</math> die Funktion
:<math>F(x)=\int_{c}^{x}f\,{\rm d}\lambda</math> mit <math>x\in I</math>
[[Absolut stetige Funktion|absolut stetig]] (insbesondere ist sie [[fast überall]] differenzierbar), und es gilt <math>F'(x)=f(x)</math> <math>\lambda</math>-fast überall.

Sei umgekehrt die Funktion <math>F</math> auf <math>[a,b]</math> absolut stetig. Dann ist <math>F</math> <math>\lambda</math>-fast überall differenzierbar. Definiert man <math>f</math> als <math>f(x)=F'(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>, in denen <math>F</math> differenzierbar ist, und identisch null für die anderen <math>x \in [a,b]</math>, so folgt, dass <math>f</math> Lebesgue-integrierbar ist mit
:<math>F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f\,{\rm d}\lambda.</math>

=== Der Hauptsatz im Komplexen ===
Der Hauptsatz lässt sich auch auf [[Kurvenintegral]]e in der [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlenebene übertragen. Seine Bedeutung liegt dabei im Gegensatz zur reellen Analysis weniger in der Aussage selbst und ihrer Bedeutung für die praktische Berechnung von Integralen, sondern darin, dass aus ihm drei wichtige Sätze der [[Funktionentheorie]] folgen, nämlich der [[Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] und daraus dann die [[cauchysche Integralformel]] und der [[Residuensatz]]. Es sind diese Sätze, die zur Berechnung von komplexen Integralen herangezogen werden.

Sei <math>\gamma</math> eine komplexe [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] mit Parameterintervall <math>[a,b]</math> und <math>F</math> eine komplexe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, die den Abschluss von <math>\gamma</math> enthält. Ferner sei <math>F</math> komplex differenzierbar auf <math>U</math> und stetig auf dem Abschluss von <math>\gamma</math>. Dann ist

:<math>\int_{\gamma}F'(z)\,{\rm d}z = F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).</math>

Insbesondere ist dieses Integral null, wenn <math>\gamma</math> eine geschlossene Kurve ist. Der Beweis führt das Integral auf reelle Integrale von Realteil und Imaginärteil zurück und benutzt den reellen Hauptsatz.

=== Mehrdimensionale Verallgemeinerungen ===
Abstrakt gesprochen hängt der Wert eines Integrals auf einem Intervall nur von den Werten der Stammfunktion am Rand ab. Dies wird auf höhere Dimensionen durch den [[Gaußscher Integralsatz|gaußschen Integralsatz]] verallgemeinert, der das [[Volumenintegral]] der [[Divergenz eines Vektorfeldes]] <math>\mathrm F</math> mit einem Integral über den Rand in Verbindung bringt.

Es sei <math>V \subset \R^n</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] mit abschnittsweise glattem Rand <math>S</math>, der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld <math>\rm n</math>, ferner sei das Vektorfeld <math>\rm F</math> stetig auf <math>V</math> und [[stetig differenzierbar]] im [[Innerer Punkt|Inneren]] von <math>V</math>. Dann gilt:

:<math>\int_V \operatorname{div} {\rm F} \; {\rm d}V = \oint_{\partial V} {\rm F} \cdot {\rm d} {\rm S}</math>.

Noch allgemeiner betrachtet der [[Satz von Stokes]] Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. Sei <math>M</math> eine orientierte [[Dimension (Mathematik)|<math>n</math>-dimensionale]] [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] mit abschnittsweise [[Mannigfaltigkeit mit Rand|glattem Rand]] <math>\partial M</math> mit induzierter [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre), gegeben. Ferner sei <math>\omega</math> eine stetig differenzierbare [[Differentialform]] vom Grad <math>n-1</math>. Dann gilt

:<math>\int_M {\rm d}\omega = \int_{\partial M} \omega,</math>

wobei <math>{\rm d}</math> die [[Cartan-Ableitung#Äußere Ableitung|Cartan-Ableitung]] bezeichnet.

== Literatur ==
* C. H. Edwards Jr.: '' The Historical Development of the Calculus.'' Springer, New York 1979.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 12. Auflage. Springer, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11545-6.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis.'' Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, insbesondere S. 450–453, 462–463.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1.'' Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, insbesondere S. 197–198.
* H. A. Priestley: ''Introduction to Complex Analysis.'' Revised edition. Oxford Science Publications, 1995.
* O. A. Hernandez Rodriguez, J. M. Lopez Fernandez: ''Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection.'' In: ''Convergence,'' 2012, Mathematical Association of America ([https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/teaching-the-fundamental-theorem-of-calculus-a-historical-reflection-introduction maa.org]).
* [[Sylvestre Lacroix|Sylvestre François Lacroix]]: ''Einleitung in die Differential- und Integral-Rechnung.'' Reimer, Berlin 1833 ({{ULBDD|urn:nbn:de:hbz:061:1-499989}})

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}}
* G. Wittstock: ''[https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node83.html Hauptsatz der Integral- und Differential-Rechnung.]'' Analysis-I-Skript (Html), Universität des Saarlandes.
* J. Cleven: ''[ftp://www.inf.fh-dortmund.de/pub/professors/cleven/kapitel5.pdf Kapitel 5 Integralrechnung.]'' Analysis-Skript, Fachhochschule Dortmund.
* {{TIBAV |11443 |Linktext=Die „Hauptsatzmaschine“ – Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung |Herausgeber=IWF |Jahr=1983 |DOI=10.3203/IWF/C-1489 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Lesenswert|1. Dezember 2007|39557035}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Fundamentalsatz der Analysis - Versionsgeschichte

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