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2025-01-06T09:22:13Z

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In der [[Mathematik]] kann jede im [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] Sinn [[geschlossene Fläche]] erzeugt werden, indem man die Seiten eines Polygons mit gerader Seitenanzahl paarweise [[Identifizierungstopologie|identifiziert]]. Dieses Polygon nennt man '''Fundamentalpolygon'''.

[[Datei:Fundamental polygon of the 2-sphere.png|miniatur|Fundamentalpolygon der [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]: aa−1]]
[[Datei:Fundamental polygon of the projective plane.png|miniatur|Fundamentalpolygon der [[Projektive Ebene|Projektiven Ebene]]: aa]]
[[Datei:Fundamental polygon of the torus.png|miniatur|Fundamentalpolygon des [[Torus]]: aba−1b−1]]
[[Datei:Fundamental polygon of the Klein bottle.png|miniatur|Fundamentalpolygon der [[Kleinsche Flasche|Kleinschen Flasche]]: aba−1b]]

Diese Polygone kann man durch eine [[Zeichenkette]] beschreiben, die jeder Seite ein Symbol zuordnet. Seiten, die miteinander identifiziert werden erhalten dabei das gleiche Symbol. Ein zusätzlicher Exponent 1 oder −1 gibt die Orientierung der Seite an.

== Kanonische Form für kompakte Flächen (ohne Rand) ==

Gemäß dem [[Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten|Klassifikationssatz]] kann man Flächen in drei Äquivalenzklassen einteilen. Jeder dieser Klassen lässt sich eine kanonische Form der Fundamentalpolygone zuordnen:
* einer Sphäre
*: <math>a a^{-1}</math>
* einer orientierbaren Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>n</math>
*: <math>a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1} \dots a_n b_n a_n^{-1} b_n^{-1}</math>
* einer nichtorientierbaren Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>n</math>
*: <math>a_1 a_1 a_2 a_2 \dots a_n a_n</math>

== Kanonische Form für kompakte Flächen mit Rand ==

[[Fläche (Mathematik)|Flächen]] mit [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Rand]] unterscheiden sich von denen ohne dadurch, dass sie zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Randkomponenten haben. Die kanonische Form erhält man, indem man die Fundamentalpolygone der unberandeten Flächen um eine entsprechende Zahl von Randkomponenten erweitert:
* eine Sphäre mit <math>k</math> Randkomponenten <math>B_1, \dots, B_k</math>
*: <math>a a^{-1} c_1 B_1 c_1^{-1} \dots c_k B_k c_k^{-1}</math>
* eine [[Orientierte Fläche|orientierbare Fläche]] vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>n</math> mit <math>k</math> Randkomponenten <math>B_1, \dots, B_k</math>
*: <math>a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \dots a_n b_n a_n^{-1} b_n^{-1} c_1 B_1 c_1^{-1} \dots c_k B_k c_k^{-1}</math>
* eine nichtorientierbare Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>n</math> mit <math>k</math> Randkomponenten <math>B_1, \dots, B_k</math>
*: <math>a_1 a_1 \dots a_n a_n c_1 B_1 c_1^{-1} \dots c_k B_k c_k^{-1}</math>

== Literatur ==

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra: ''Riemann Surfaces.'' Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost: ''Compact Riemann Surfaces.'' Springer, New York 2002, ISBN 3-540-43299-X.
* William S. Massey: ''Algebraic Topology: An Introduction.'' 1. Auflage. Springer, Berlin 1967, ISBN 3540902716

== Weblinks ==
{{Commons|Fundamental polygon|Fundamentalpolygon}}

[[Kategorie:Geometrische Topologie]]

Fundamentalpolygon - Versionsgeschichte

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