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[[Datei:H2checkers 237.png|mini|Die Symmetriegruppe dieser Triangulierung ist die [[(2,3,7)-Dreiecksgruppe]], eine Fuchssche Gruppe.]]
[[Datei:Infinite-order triangular tiling.svg|mini|Die Symmetriegruppe dieser Triangulierung ist eine weitere Fuchssche Gruppe.]]

'''Fuchssche Gruppen''' sind diskrete Gruppen von [[Isometrie]]n der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]]. Unter Fuchsschen Gruppen versteht man gewisse Untergruppen der <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})</math>. Sie spielen insbesondere in der Theorie der [[Modulform]]en eine bedeutende Rolle.

Der Begriff Fuchssche Gruppe wurde von [[Henri Poincaré]] geprägt, der damit die Vorarbeiten von [[Lazarus Immanuel Fuchs]] hervorhob.

== Definition ==
Eine Fuchssche Gruppe ist eine [[diskrete Untergruppe]] der <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})</math>, d. h. mit anderen Worten, dass sie aus orientierungserhaltenden [[Isometrie]]n der oberen komplexen Halbebene besteht und es keine Häufung ihrer Elemente gibt.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass die Wirkung der Gruppe auf der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]] [[Eigentlich diskontinuierliche Wirkung|eigentlich diskontinuierlich]] ist. Hierbei wirkt eine Matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in \operatorname{SL}(2,\R)</math> auf der oberen Halbebene <math>\H=\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Im}{z}>0\}</math> durch die [[Möbius-Transformation|gebrochen-lineare Transformation]]

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z = \frac{az + b}{cz + d}.</math>

Diese Wirkung ist [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|isometrisch]] bezüglich der [[Riemannsche Metrik|Metrik]] <math>\mathrm ds=\frac{1}{y}\sqrt{\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2}</math> und sie gibt eine [[treue Wirkung]] der [[Projektive lineare Gruppe|projektiven speziellen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> auf <math>\H</math>.

Die Gruppenwirkung ist genau dann eigentlich diskontinuierlich, wenn für jedes <math>z\in\H</math> die [[Gruppenoperation#Bahn|Bahn]] <math>\Gamma z = \{\gamma z \mid \gamma\in\Gamma\}</math> keine [[Häufungspunkt]]e in <math>\H</math> hat.

== Beispiel ==
Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel einer Fuchsschen Gruppe ist die [[Modulgruppe]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb{Z})</math>. Weitere bekannte Beispiele sind [[Kongruenzuntergruppe]]n. Man beachte, dass für einen beliebigen Zahlkörper <math>K \neq \mathbb{Q}</math> mit Ganzheitsring <math>\mathcal{O}_K </math> die Gruppe <math>\operatorname{PSL}(2;\mathcal{O}_K)</math> niemals Fuchssch ist, weil <math>\mathcal{O}_K</math> dicht in <math>\mathbb{R}</math> liegt. Weitere Beispiele sind hyperbolische [[Dreiecksgruppe]]n, also Gruppen, die von den [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] an den Seiten eines hyperbolischen Dreiecks mit Innenwinkeln <math>\frac{\pi}{k},\frac{\pi}{l},\frac{\pi}{m}</math> mit natürlichen Zahlen <math>k,l,m</math> erzeugt werden.

== Typen Fuchsscher Gruppen ==
Man unterscheidet Fuchssche Gruppen erster und zweiter Art. Ein entscheidender Unterschied dieser beiden Typen von Fuchsschen Gruppen ist die geometrische Struktur ihrer [[Fundamentalbereich]]e. Eine endlich erzeugte Fuchssche Gruppe ist genau dann eine Fuchssche Gruppe erster Art, wenn das [[Hyperbolisches Volumen|hyperbolische Volumen]] ihres Fundamentalbereiches endlich ist. Äquivalent dazu ist eine Fuchssche Gruppe von erster Art, wenn ihre [[Kleinsche Gruppe#Limesmenge|Limesmenge]] der gesamte [[Geodätische Kompaktifizierung|Kreis im Unendlichen]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Quasifuchssche Gruppe]]
* [[Kleinsche Gruppe]]

== Literatur ==
* [[Svetlana Katok]]: ''Fuchsian Groups''. The University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1992, ISBN 0-226-42583-5.
* Donal O’Shea: ''Poincarés Vermutung. Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers''. S. Fischer, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-10-054020-1.
* Toshitsune Miyake: ''Modular Forms''. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-50268-8.

[[Kategorie:Symmetriegruppe]]
[[Kategorie:Theorie der Kleinschen Gruppen]]

Fuchssche Gruppe - Versionsgeschichte

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