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Als '''frullanische Integrale''' werden [[uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]] vom Typ
:<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x</math>
bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von [[Giuliano Frullani]] in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:

Sei <math>f(x)</math> eine für <math>x\ge0</math> stetige Funktion mit <math>A:=f(0)</math> und dem endlichen Grenzwert
<math>B:=\lim_{x\to\infty} f(x)</math>, dann gilt
:<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x = (A-B)\ln\frac{b}{a}</math>.

Wichtige Beispiele ergeben sich für <math>f(x)=e^{-x}\ </math> bzw. <math>f(x)=\arctan x\ </math> mit <math>a,b>0</math>:
:<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,{\rm d}x = \ln\frac{b}{a}</math>

:<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x}\,{\rm d}x = \frac{\pi}2 \ln\frac{a}{b}</math>

== Literatur ==

* [[Giuliano Frullani|G. Frullani]], Sopra Gli Integrali Definiti, Memorie della Società Italiana delle Scienze, Modena, XX (1828), pp. 448–467.
* [[Thomas John l%27Anson Bromwich|T. J. Bromwich]], An Introduction to the Theory of Infinite Series, Macmillan, 1908, 432–433.
* [[Alexander Markowitsch Ostrowski|A. M. Ostrowski]]: ''On Some Generalizations of the Cauchy-Frullani Integral.'' In: ''[[Proceedings of the National Academy of Sciences]].'' Band 35, Nummer 10, Oktober 1949, S. 612–616, PMID 16588938, {{PMC|1063092}}.
* [[Francesco Tricomi|Francesco G. Tricomi]]: ''On the theorem of Frullani''. American Mathematical Monthly, '''58''', 1951, Seiten 158–164.
* [[Alexander Markowitsch Ostrowski|A. M. Ostrowski]]: ''On Cauchy-Frullani Integrals'', Commentarii Mathematici Helvetici 51 (1976), 57–91. {{doi|10.1007/BF02568143}} (Coll. Math. Papers 349–383)
* Juan Arias-de-Reyna, [https://www.ams.org/journals/proc/1990-109-01/S0002-9939-1990-1007485-4/S0002-9939-1990-1007485-4.pdf On the Theorem of Frullani] (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165–175.
* Matthew Albano, Tewodros Amdeberhan, Erin Beyerstedt, and Victor H. Moll, {{Webarchiv | url=http://129.81.170.14/~vhm/papers_html/final15.pdf | wayback=20160420133849 | text=The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 15: Frullani integrals}} (PDF; 106 kB), 2010, 7 Seiten.

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Frullanische Integrale - Versionsgeschichte

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