imported>Christian1985: Änderung 250503053 von DocHorst1705 rückgängig gemacht; mindestens zwei links passen nicht

2024-11-22T19:15:13Z

Änderung 250503053 von DocHorst1705 rückgängig gemacht; mindestens zwei links passen nicht

Neue Seite

Die '''Frobeniusnorm''' oder '''Schurnorm''' (benannt nach [[Ferdinand Georg Frobenius]] bzw. [[Issai Schur]]) ist in der [[Mathematik]] eine auf der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] basierende [[Matrixnorm]]. Sie ist definiert als die [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] aus der [[Summe]] der [[Betragsquadrat]]e aller Matrixelemente. Für die Frobeniusnorm gibt es noch eine Reihe weiterer Darstellungen, beispielsweise über eine [[Spur (Mathematik)|Spur]], über ein [[Skalarprodukt]], über eine [[Singulärwertzerlegung]] oder über eine [[Schur-Zerlegung]]. Die Frobeniusnorm ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]], mit der euklidischen Vektornorm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]] und [[Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]], sie ist aber keine [[Operatornorm]]. Sie wird beispielsweise in der [[Numerische lineare Algebra|numerischen linearen Algebra]] aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit zur Abschätzung der [[Spektralnorm]] verwendet und bei der Lösung [[Ausgleichungsrechnung|linearer Ausgleichsprobleme]] mittels der [[Moore-Penrose-Inverse]] eingesetzt.

== Definition ==

Die Frobeniusnorm <math>\| \cdot \|_F</math> einer [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] (''m'' × ''n'')-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> mit <math>\mathbb K</math> aus dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als

: <math>\| A \|_F := \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij} |^2 }</math>,

also die [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] aus der [[Summe]] der [[Betragsfunktion|Betragsquadrate]] aller Matrixelemente <math>a_{ij}</math>. Die Frobeniusnorm entspricht damit der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] eines [[Vektor]]s der Länge <math>m \cdot n</math>, in dem alle Einträge der Matrix untereinander notiert sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche in der Definition auch weggelassen werden, im komplexen Fall jedoch nicht.

Die Frobeniusnorm ist nach dem deutschen Mathematiker [[Ferdinand Georg Frobenius]] benannt. Sie heißt nach seinem Schüler [[Issai Schur]] auch Schurnorm und wird manchmal auch Hilbert-Schmidt-Norm genannt (nach [[David Hilbert]] und [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]]), wobei letzterer Name meist bei der Untersuchung bestimmter linearer Abbildungen auf (möglicherweise unendlichdimensionalen) [[Hilbertraum|Hilberträumen]] verwendet wird, siehe [[Hilbert-Schmidt-Operator]].

== Beispiele ==

'''Reelle Matrix'''

Die Frobeniusnorm der reellen (3 × 3)-Matrix

: <math>A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & -3 \\
0 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}</math>

ist gegeben als

: <math>\| A \|_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 | a_{ij} |^2 } = \sqrt{ 1^2 + 2^2 + 1^2 + |{-}1|^2 + 2^2 + |{-}3|^2 + 0^2 + 1^2 + |{-}2|^2 } = \sqrt{ 25 } = 5</math>.

'''Komplexe Matrix'''

Die Frobeniusnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

: <math>A=\begin{pmatrix}
1 & i \\
-2i & 3-i \\
\end{pmatrix}</math>

ist gegeben als

: <math>\| A \|_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 | a_{ij} |^2 } = \sqrt{ | 1 |^2 + | i |^2 + | {-}2i |^2 + | 3-i |^2 } = \sqrt{ 1^2 + 1^2 + 2^2 + (3^2 + 1^2) } = \sqrt{ 16 } = 4</math>.

== Weitere Darstellungen ==

=== Darstellung über eine Spur ===

Ist <math>A^H \in {\mathbb K}^{n \times m}</math> die [[adjungierte Matrix]] (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) von <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math>, dann gilt für die [[Spur (Mathematik)|Spur]] (die Summe der Diagonaleinträge) des [[Matrizenprodukt]]s <math>A^H A</math>

: <math>\operatorname{spur}(A^H A) = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n \bar{a}_{ik} \cdot a_{ik} = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n | a_{ik} |^2 = \| A \|_F^2</math>.

Somit besitzt die Frobeniusnorm die Darstellung

: <math>\| A \|_F = \sqrt{ \operatorname{spur}\left( A^H A \right) } = \sqrt{ \operatorname{spur}\left( A A^H \right) } = \| A^H \|_F</math>

wobei die mittlere Gleichung daraus folgt, dass unter der Spur Matrizen [[Zyklische Permutation|zyklisch vertauscht]] werden dürfen. Die Frobeniusnorm ist damit [[Matrixnorm#Selbstadjungiertheit|selbstadjungiert]].

=== Darstellung über ein Skalarprodukt ===

Auf dem [[Matrizenraum]] der reellen oder komplexen (''m'' × ''n'')-Matrizen definiert für <math>A,B\in\mathbb K^{m\times n}</math>

: <math>\langle A, B \rangle = \operatorname{spur}\left( A^H B \right)</math>

ein [[Skalarprodukt]], das auch [[Frobenius-Skalarprodukt]] genannt wird. Somit ist die Frobeniusnorm die von dem Frobenius-Skalarprodukt [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]]

: <math>\| A \|_F = \sqrt{ \langle A, A \rangle }</math>.

Der Raum der reellen oder komplexen Matrizen ist mit diesem Skalarprodukt ein [[Hilbertraum]] und mit der Frobeniusnorm ein [[Banachraum]].

=== Darstellung über eine Singulärwertzerlegung ===

Betrachtet man eine [[Singulärwertzerlegung]] der Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math>

: <math>A = U \Sigma V^H</math>

in eine [[unitäre Matrix]] <math>U \in {\mathbb K}^{m \times m}</math>, eine reelle [[Diagonalmatrix]] <math>\Sigma \in {\mathbb R}^{m \times n}</math> und eine adjungierte unitäre Matrix <math>V^H \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>, dann gilt

: <math>\operatorname{spur}\left( A^H A \right) = \operatorname{spur}\left( \left( V \Sigma^H U^H \right) \left( U \Sigma V^H \right) \right) = \operatorname{spur}\left( V \Sigma^H \Sigma V^H \right) = \operatorname{spur}\left( \Sigma^H \Sigma \right) = \sum_{i=1}^r \sigma_i^2</math>,

wobei <math>\sigma_1, \ldots , \sigma_r</math> mit <math>r=\operatorname{rang}(A)</math> die positiven Einträge der Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> sind. Diese Einträge sind die Singulärwerte von <math>A</math> und gleich den Quadratwurzeln der [[Eigenwert]]e von <math>A^HA</math>. Somit hat die Frobeniusnorm die Darstellung

: <math>\| A \|_F = \sqrt{ \sigma_1^2 + \ldots + \sigma_r^2 }</math>,

womit sie der euklidischen Norm des Vektors der Singulärwerte und damit der [[Matrixnorm#Schatten-Normen|Schatten-2-Norm]] entspricht.

=== Darstellung über eine Schur-Zerlegung ===

Betrachtet man weiterhin eine [[Schur-Zerlegung]] einer quadratischen Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>

: <math>A = U R U^H</math>

in eine unitäre Matrix <math>U \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>, eine [[Dreiecksmatrix|obere Dreiecksmatrix]] <math>R \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> und die zu <math>U</math> adjungierte Matrix <math>U^H</math>, dann gilt

: <math>\operatorname{spur}\left( A^H A \right) = \operatorname{spur}\left( \left( U R^H U^H \right) \left( U R U^H \right) \right) = \operatorname{spur}\left( U R^H R U^H \right) = \operatorname{spur}\left( R^H R \right) = \| R \|_F^2</math>.

Zerlegt man nun die Matrix <math>R</math> in ihre [[Hauptdiagonale]] <math>\Lambda \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> bestehend aus den [[Eigenwert]]en <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> von <math>A</math> und eine [[Dreiecksmatrix#Strikte obere und untere Dreiecksmatrix|strikt obere Dreiecksmatrix]] <math>N \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>, dann gilt für die Frobeniusnorm von <math>A</math>

: <math>\| A \|_F = \| R \|_F = \sqrt{ \| \Lambda \|_F^2 + \| N \|_F^2 } = \sqrt{ (|\lambda_1|^2 + \ldots + |\lambda_n|^2) + \| N \|_F^2 }</math>,

wobei die Frobeniusnorm von <math>N</math> genau dann [[Null]] ist, wenn <math>A</math> eine [[normale Matrix]] ist. Ist <math>A</math> nicht normal, dann stellt <math>\| N \|_F</math> ein Maß für die Abweichung von der Normalität dar.

== Eigenschaften ==

=== Normeigenschaften ===

Da die [[Matrizenaddition|Summe]] zweier Matrizen <math>A, B \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und die [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] einer Matrix mit einem [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der euklidischen Norm. Insbesondere folgt die Gültigkeit der Dreiecksungleichung

: <math>\| A + B \|_F \leq \| A \|_F + \| B \|_F</math>

aus der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] über

: <math>\| A + B \|^2_F = \| A \|_F^2 + 2 \operatorname{Re} \langle A, B \rangle + \| B \|_F^2 \leq \| A \|_F^2 + 2 \| A \|_F \| B \|_F + \| B \|_F^2 = \left( \| A \|_F + \! \| B \|_F \right)^2</math>,

wobei <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> obiges Skalarprodukt auf Matrizen ist und <math>\operatorname{Re}</math> den Realteil der komplexen Zahl angibt.

=== Submultiplikativität ===

Die Frobeniusnorm ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]], das heißt für Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math> gilt

: <math>\| A \, B \|_F \leq \| A \|_F \, \| B \|_F</math>,

wie ebenfalls mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung durch

: <math>\begin{align}
\| A \, B \|^2_F & = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^l \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk} \right|^2 \! = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^l \left| \langle a^H_{i \ast}, b_{\ast k} \rangle \right|^2 \leq \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^l \| a^H_{i \ast} \|_2^2 \, \| b_{\ast k} \|_2^2 \\
&= \sum_{i=1}^m \| a^H_{i \ast} \|_2^2 \, \sum_{k=1}^l \| b_{\ast k} \|_2^2 = \| A \|^2_F \, \| B \|^2_F
\end{align}</math>

gezeigt werden kann. Hierbei ist <math>a_{i \ast}</math> die <math>i</math>-te Zeile von <math>A</math>, <math>b_{\ast k}</math> die <math>k</math>-te Spalte von <math>B</math>, <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] auf Vektoren und <math>\| \cdot \|_2</math> die euklidische Vektornorm.

=== Verträglichkeit mit der euklidischen Norm ===

Die Frobeniusnorm ist mit der euklidischen Norm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], das heißt für eine Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und einen Vektor <math>x \in {\mathbb K}^n</math> gilt die Ungleichung

: <math>\| A \, x \|_2 \leq \| A \|_F \, \| x \|_2</math>,

was wiederum über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung aus

: <math>\| A \, x \|^2_2 = \sum_{i=1}^m \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right|^2 = \sum_{i=1}^m \left| \langle a^H_{i \ast}, x \rangle \right|^2 \leq \sum_{i=1}^m \| a^H_{i \ast} \|_2^2 \, \| x \|_2^2 = \| A \|^2_F \, \| x \|^2_2</math>

folgt und was lediglich den Spezialfall der Submultiplikativität für <math>l=1</math> darstellt.

=== Unitäre Invarianz ===

Die Frobeniusnorm ist [[Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]] (im reellen Fall [[Orthogonale Matrix|orthogonalen Transformationen]]), das heißt

: <math>\| U A V \|_F = \| A \|_F</math>

für alle [[Unitäre Matrix|unitären Matrizen]] <math>U \in {\mathbb K}^{m \times m}</math> und <math>V \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>. Dies folgt direkt über die Spurdarstellung aus

: <math>\| U A V \|^2_F = \operatorname{spur}\left( \left( V^H A^H U^H \right) \left( U A V \right) \right) = \operatorname{spur}\left( A^H A \right) = \| A \|^2_F</math>.

Durch diese Invarianz ändert sich auch die [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] einer Matrix bezüglich der Frobeniusnorm nach einer Multiplikation mit einer unitären Matrix von links oder rechts nicht.

=== Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm ===

Die Frobeniusnorm ist keine [[Operatornorm]] und damit keine [[natürliche Matrixnorm]], das heißt, es gibt keine Vektornorm <math>\| \cdot \|</math>, sodass

: <math>\max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|}{\| x \|} = \| A \|_F</math>

gilt, da jede Operatornorm für die [[Einheitsmatrix]] <math>I</math> den Wert [[Eins]] besitzen muss, jedoch <math>\| I \|_F = \sqrt{\min\{ m,n \}}</math> für <math>m,n \geq 2</math> einen Wert größer als Eins ergibt. Selbst eine entsprechend skalierte Version der Frobeniusnorm ist keine Operatornorm, da diese Norm dann nicht submultiplikativ ist, was eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist.

== Spezialfälle ==

=== Normale Matrizen ===

Ist die Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> normal mit Eigenwerten <math>\lambda_1, \ldots , \lambda_n</math>, dann gilt

: <math>\| A \|_F = \sqrt{|\lambda_1|^2 + \ldots + |\lambda_n|^2}</math>.

Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm des Vektors der Eigenwerte der Matrix.

=== Unitäre Matrizen ===

Ist die Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> unitär (im reellen Fall orthogonal), dann gilt

: <math>\| A \|_F = \sqrt{\operatorname{spur}\left( A^H A \right)} = \sqrt{\operatorname{spur}\left( I \right)} = \sqrt{n}</math>.

Die Frobeniusnorm hängt in diesem Fall also nur von der Größe der Matrix ab.

=== Rang-Eins-Matrizen ===

Besitzt die Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] null oder eins, das heißt <math>A = x y^T</math> mit <math>x \in {\mathbb K}^{m}</math> und <math>y \in {\mathbb K}^{n}</math>, dann gilt

: <math>\| A \|_F = \| x \|_2 \cdot \| y \|_2</math>,

wobei <math>\| \cdot \|_2</math> wieder die euklidische Vektornorm ist.

== Anwendungen ==

=== Abschätzung der Spektralnorm ===

Die Frobeniusnorm wird in der [[Numerische lineare Algebra|numerischen linearen Algebra]] aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit häufig zur Abschätzung der [[Spektralnorm]] eingesetzt, denn es gilt

: <math> \| A \|_2 \leq \| A \|_F \leq \sqrt{\min\{m,n\}} \cdot \| A \|_2</math>.

Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn der Rang der Matrix null oder eins ist. Diese beiden Abschätzungen folgen aus der Darstellung der Frobeniusnorm über die Singulärwertzerlegung aus

: <math> \| A \|_2^2 = \sigma^2_{\max} \leq \sigma^2_1 + \ldots + \sigma^2_r = \| A \|_F^2 = \sigma^2_1 + \ldots + \sigma^2_r \leq r \cdot \sigma^2_{\max} = r \cdot \| A \|_2^2</math>,

wobei <math>\sigma_1, \ldots , \sigma_r</math> mit <math>r \leq \min\{m,n\}</math> die Singulärwerte von <math>A</math> sind und <math>\sigma_{\max}</math> der maximale Singulärwert von <math>A</math> ist, der gerade der Spektralnorm entspricht. Die Summe der Quadrate der Singulärwerte wird dabei durch das Quadrat des größten Singulärwerts nach unten und durch das ''r''-fache des Quadrats des größten Singulärwerts nach oben abgeschätzt.

=== Lineare Ausgleichsprobleme ===

Ist <math>A</math> eine [[Singuläre Matrix|singuläre]] oder nichtquadratische Matrix, so stellt sich oft die Frage nach ihrer näherungsweisen [[Inverse Matrix|Inversen]], also einer Matrix <math>Z</math>, sodass

: <math>A \cdot Z \approx I</math>.

mit <math>I</math> als der Einheitsmatrix gilt. Die [[Pseudoinverse|Moore-Penrose-Inverse]] <math>A^{+}</math> ist eine wichtige solche Pseudoinverse und definiert als diejenige Matrix, für die die Abweichung in der Frobeniusnorm

: <math>\| I - A \cdot Z \|_F</math>

minimal wird. Sie hat mittels einer Singulärwertzerlegung von <math>A</math> die Darstellung

: <math>A^{+} = V \Sigma^{+} U^H</math>,

wobei <math>\Sigma^{+}</math> aus der Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> dadurch entsteht, dass die von Null verschiedenen Elemente invertiert werden. Über eine Pseudoinverse lassen sich beispielsweise [[Matrixgleichung]]en

: <math>A \cdot X = B</math>

durch

: <math>X \approx A^{+}B</math>

näherungsweise lösen, wobei die Näherungslösung über die Moore-Penrose-Inverse dann den Fehler

: <math>\| B - A \cdot X \|_F</math>

in der Frobeniusnorm im Sinne der [[Methode der kleinsten Quadrate]] minimiert.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gene Golub]], Charles van Loan
|Titel=Matrix Computations
|Auflage=3.
|Verlag=Johns Hopkins University Press
|Datum=1996
|ISBN=978-0-8018-5414-9}}
* {{Literatur
|Autor=Roger Horn, Charles R. Johnson
|Titel=Matrix Analysis
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=1990
|ISBN=978-0-521-38632-6}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=FrobeniusNorm|title=Frobenius Norm}}
* {{PlanetMath|id=FrobeniusMatrixNorm|title=Frobenius matrix norm|author=Cam McLeman, Logan Hanks}}

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber]]

Frobeniusnorm - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: Änderung 250503053 von DocHorst1705 rückgängig gemacht; mindestens zwei links passen nicht