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2025-01-19T15:08:38Z

"Konstante Garbe" verlinkt.

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Der '''Frobeniushomomorphismus''' oder '''Frobenius-Endomorphismus''' ist in der [[Algebra]] ein [[Endomorphismus]] von [[Ring (Algebra)|Ringen]], deren [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] eine [[Primzahl]] ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem [[Deutschland|deutschen]] [[Mathematiker]] [[Ferdinand Georg Frobenius]] benannt.

== Frobeniusendomorphismus eines Rings ==

=== Definition ===

Es sei <math>R</math> ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik <math>p</math>, wobei <math>p</math> eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung
:<math>\phi_p \colon R \to R,\ \ x \mapsto x^p</math>
bezeichnet. Sie ist ein [[Ringhomomorphismus]].

Ist <math>q=p^e</math>, dann ist auch
:<math>\phi_q=\phi_{p^e} \colon R\to R,\ \ x \mapsto x^q</math>
ein Ringhomomorphismus.

=== Beweis der Homomorphieeigenschaft ===

Die Abbildung <math>\phi_p</math> ist verträglich mit der Multiplikation in <math>R</math>, da aufgrund der Potenzgesetze
:<math>\phi_p(x \cdot y) = (x \cdot y)^p = x^p \cdot y^p = \phi_p(x) \cdot \phi_p(y)</math>
gilt. Ebenso gilt <math>\phi_p(1) = 1^p = 1.</math> Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in <math>R</math> verträglich, das heißt, es gilt <math>\phi_p(x+y) = \phi_p(x) + \phi_p(y)</math>. Mit Hilfe des [[Binomialsatz]]es folgt nämlich
:<math>(x+y)^p = x^p + \left( \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k} x^{p-k}y^{k} \right) + y^p</math>
Da <math>p</math> eine Primzahl ist, teilt <math>p</math> zwar <math>p!</math>, aber nicht <math>m!</math> für <math> m < p</math>. Da die Charakteristik <math>p</math> deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der [[Binomialkoeffizient]]en
:<math>\binom p k = \frac {p!}{k! (p-k)!}</math>
teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu
:<math>(x+y)^p = x^p + y^p.</math>
Daher ist der Frobeniushomomorphismus verträglich mit der Addition in <math>R</math>. Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als ''Freshman’s Dream'' (der Traum des Anfängers) bezeichnet.

=== Verwendung ===

Im Folgenden ist <math>p</math> stets eine Primzahl und <math>q</math> eine Potenz von <math>p</math>. Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik <math>p</math>.
* Nach dem [[Kleiner fermatscher Satz|Kleinen Satz von Fermat]] ist <math>\phi_p</math> auf dem [[Restklassenring]] <math>\Z/p\Z=\mathbb{F}_p</math> die [[Identische Abbildung|Identität]]. Allgemeiner: Ist <math>\mathbb{F}_q</math> ein [[endlicher Körper]], dann ist <math>\phi_q</math> die Identität.
* Ist <math>K</math> ein Körper, dann ist <math>\{x\in K: \phi_p(x)=x\}=\mathbb{F}_p</math>.
* Ist <math>\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q</math> eine Erweiterung endlicher Körper, dann ist <math>\phi_q</math> ein [[Automorphismus]] von <math>\mathbb{F}_{q^n}</math>, der <math>\mathbb{F}_q</math> elementweise fest lässt. Die [[Galoisgruppe]] <math>\text{Gal}(\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q)</math> ist [[Zyklische Gruppe|zyklisch]] und wird von <math>\phi_q</math> erzeugt.
* Ist <math>A</math> ein Ring, dann ist <math>\phi_p \colon A\to A</math> genau dann injektiv, wenn <math>A</math> keine nichttrivialen [[Nilpotenz|nilpotenten Elemente]] enthält. (Der [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>\phi_p</math> ist <math>\{a\in A: a^p=0\}</math>.)
* Ist <math>A</math> ein Ring und ist <math>\phi_p \colon A\to A</math> bijektiv, dann heißt der Ring [[Perfekter Körper|perfekt]] (oder vollkommen).<ref>V §1 Definition 2 in: {{Literatur |Autor=Nicolas Bourbaki |Titel=Elements of Mathematics. Algebra II. Chapters 4-7 |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=978-3-540-00706-7}}</ref> In einem perfekten Ring besitzt jedes Element eine eindeutig bestimmte <math>p</math>-te Wurzel. Perfekte Körper zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine [[Separable Körpererweiterung|inseparablen]] Erweiterungen besitzen.
* Der [[Perfekter Abschluss|perfekte Abschluss]] eines Rings <math>A</math> lässt sich als [[induktiver Limes]] darstellen:
::<math>A^{p^{-\infty}}=\varinjlim\left(A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} \dots\right)</math>
* Die Additivität der Abbildung <math>x\mapsto x^p</math> wird auch in der [[Artin-Schreier-Theorie]] ausgenutzt.

== Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern ==
Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung [[algebraischer Zahlkörper]] als auch [[lokaler Körper]] zu beschreiben. Sei <math>A</math> ein [[Dedekindring]], <math>K</math> sein [[Quotientenkörper]], <math>L/K</math> eine endliche [[Galoiserweiterung]], <math>B</math> der [[Ganzheit (kommutative Algebra)|ganze Abschluss]] von <math>A</math> in <math>L</math>. Dann ist <math>B</math> ein Dedekindring. Sei weiter <math>\mathfrak{P}</math> ein [[maximales Ideal]] in <math>B</math> mit endlichem Restklassenkörper <math>\lambda=B/\mathfrak{P}</math>, außerdem <math>\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap A</math> und <math>\kappa=A/\mathfrak{p}</math>. Die Körpererweiterung <math>\lambda/\kappa</math> ist galoissch. Sei <math>G</math> die [[Galoisgruppe]] von <math>L/K</math>. Sie [[Gruppenoperation|operiert]] transitiv auf den über <math>\mathfrak{p}</math> liegenden Primidealen von <math>B</math>. Sei <math>G_{\mathfrak{P}}</math> die [[Zerlegungsgruppe]], d. h. der Stabilisator von <math>\mathfrak{P}</math>. Der induzierte Homomorphismus
:<math>r: G_{\mathfrak{P}}\to\text{Gal}(\lambda/\kappa)</math>
ist surjektiv.<ref>Lang, VII §2</ref> Sein Kern ist die [[Trägheitsgruppe]].

Es sei nun <math>\mathfrak{P}</math> [[Verzweigung (Algebra)|unverzweigt]], d. h. <math>\mathfrak{p}B_{\mathfrak{P}}=\mathfrak{P}</math>. Dann ist der Homomorphismus <math>r</math> ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus <math>\text{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\text{Gal}(L/K)</math> (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus <math>\phi_{|\kappa|}\in\text{Gal}(\lambda/\kappa)</math> unter <math>r</math>. Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:
:<math>\text{Frob}_{\mathfrak{P}} b \equiv b^{|\kappa|} \mod \mathfrak{P}</math>

Weil <math>G</math> auf den Primidealen über <math>\mathfrak{p}</math> transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]], so dass ihre Konjugationsklasse durch <math>\mathfrak{p}</math> eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung <math>L/K</math> [[Abelsche Erweiterung|abelsch]] ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus <math>\text{Frob}_{\mathfrak{p}}\in\text{Gal}(L/K)</math>.

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die [[Klassenkörpertheorie]]: In der idealtheoretischen Formulierung wird die [[Artinsches Reziprozitätsgesetz|Reziprozitätsabbildung]] von der Zuordnung <math>\mathfrak{p}\mapsto\text{Frob}_{\mathfrak{p}}</math> induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des [[Tschebotarjowscher Dichtigkeitssatz|tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes]]. [[Ferdinand Georg Frobenius]] hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Stevenhagen, Hendrik Lenstra |Titel=Chebotarëv and his density theorem |Sammelwerk=Mathematical Intelligencer |Band=18 |Nummer=2 |Datum=1996 |Seiten=26-37}} Die Originalarbeit ist: {{Literatur |Autor=Georg Ferdinand Frobenius |Titel=Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe |Sammelwerk=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |Datum=1896 |Seiten=689-703}}</ref>

== Absoluter und relativer Frobenius für Schemata ==
=== Definition ===
Sei <math>p</math> eine Primzahl und <math>X</math> ein [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]] über <math>\mathbb{F}_p</math>. Der absolute Frobenius <math>\phi_X \colon X\to X</math> ist definiert als Identität auf dem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] und <math>p</math>-Potenzierung auf der [[Strukturgarbe]]. Auf einem [[Spektrum eines Ringes|affinen Schema]] <math>\text{Spec }A</math> ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz <math>a\in\mathfrak{p}\iff a^p\in\mathfrak{p}</math>.

Sei nun <math>X\to S</math> ein Morphismus von Schemata über <math>\mathbb{F}_p</math>. Das Diagramm
:<math>\begin{matrix}
X & \stackrel{\phi_X}{\longrightarrow} & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S & \stackrel{\phi_S}{\longrightarrow} & S
\end{matrix} </math>
kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus
:<math>F_{X/S} \colon X\to X^{(p/S)}=S\times_{\phi_S,S} X </math>
der ein Morphismus über <math>S</math> ist. Ist <math>S=\text{Spec }A</math> das Spektrum eines perfekten Rings <math>A</math>, dann ist <math>\phi_S</math> ein Isomorphismus, also <math>X^{(p/S)}\cong X</math>, aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über <math>S</math>.

=== Beispiel ===
* Mit <math>X=S[T_1,\dots,T_n]</math> ist <math>X^{(p)}\cong S[T_1,\dots,T_n]</math> (über <math>S</math>), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:
::<math>T_i\mapsto T_i^p</math>
* Ist <math>B=A[T_1,\dots,T_n]/(f_1,\dots,f_m)</math>, dann ist <math>(\text{Spec }B)^{(p/\text{Spec }A)}=A[T_1^p,\dots,T_n^p]/(\tilde f_1,\dots,\tilde f_m)</math>, wobei <math>\tilde f</math> bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die <math>p</math>-te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius <math>(\text{Spec }B)^{(p/\text{Spec }A)}\to B</math> wird von <math>T_i\mapsto T_i^p</math> induziert.

=== Eigenschaften ===
* <math>F_{X/S}</math> ist ganz, surjektiv und radiziell. Für <math>X/S</math> lokal von endlicher Präsentation ist <math>F_{X/S}</math> genau dann ein Isomorphismus, wenn <math>X/S</math> étale ist.<ref>Houzel, §1 Proposition 2</ref>
* Wenn <math>X/S</math> flach ist, besitzt <math>X^{(p/S)}</math> die folgende lokale Beschreibung: Sei <math>\text{Spec }A</math> eine offene affine Karte von <math>X</math>. Mit der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_p</math> und <math>\textstyle N=\sum_{\sigma\in S_p}\sigma</math> setze <math>A^{(p)}=(A^{\otimes p})^{S_p}/N\cdot A^{\otimes p}</math>. Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus <math>A^{(p)}\to A</math>, und durch Verkleben von <math>\text{Spec }A^{(p)}</math> erhält man das Schema <math>X^{(p)}</math>.<ref>Gabriel, 4.2</ref>

=== {{Anker|Lang-Isogenie}} Satz von Lang ===
Ein Satz von [[Serge Lang]] besagt: Sei <math>G</math> ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper <math>\mathbb{F}_q</math>. Dann ist der Morphismus
:<math>L: x\mapsto x^{-1}\cdot F_q(x)</math>
treuflach. Ist <math>G</math> algebraisch und kommutativ, ist <math>L</math> also eine [[Isogenie]] mit Kern <math>G(\mathbb{F}_q)</math>, die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder <math>G</math>-[[Torsor]] trivial ist.<ref>Demazure-Gabriel, III §5, 7.2. Die Originalarbeit ist: {{Literatur |Autor=Serge Lang |Titel=Algebraic Groups Over Finite Fields |Sammelwerk=Amer. J. Math. |Band=78 |Nummer=3 |Datum=1956 |Seiten=555-563}}</ref>

Beispiele:
* Für <math>G=\mathbb{G}_a</math> erhält man den [[Artin-Schreier-Theorie|Artin-Schreier-Morphismus]].
* Für <math>G=\text{GL}_n</math> erhält man die Aussage, dass jede [[zentrale einfache Algebra]] vom Rang <math>n</math> über einem endlichen Körper eine Matrizenalgebra ist, für alle <math>n</math> zusammengenommen also den [[Satz von Wedderburn]].

=== {{Anker|Verschiebung}} Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen ===
Sei <math>S</math> ein Schema und <math>G/S</math> ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert <math>G^{(p/S)}</math> als Unterschema des [[Symmetrisches Produkt|symmetrischen Produkts]] <math>G^p/S_p</math> (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von <math>G^p</math> arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus <math>V_{G/S} \colon G^{(p/S)}\to G</math>, die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei [[Wittvektor]]en die Abbildung
:<math>(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,\dots)</math>
ist.

Es gilt:<ref>Demazure-Gabriel, II §7</ref>
*:<math>V_{G/S}\circ F_{G/S}=p,\ \ F_{G/S}\circ V_{G/S}=p</math>
:(Multiplikation mit <math>p</math> in der Gruppe <math>G</math> bzw. <math>G^{(p)}</math>).
* <math>\text{Lie}(G/S)=\text{Lie}(\ker(F_{G/S})/S)</math>
* Ist <math>G/S</math> ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die [[Cartier-Dualität]] Frobenius und Verschiebung:
::<math>F_{D(G)/S}=D(V_{G/S}),\ \ V_{D(G)/S}=D(F_{G/S})</math>
Eine endliche kommutative Gruppe <math>G</math> über einem Körper ist genau dann
* vom [[Torus (Algebraische Gruppe)|multiplikativen Typ]], wenn <math>V</math> ein Isomorphismus ist.
* étale, wenn <math>F</math> ein Isomorphismus ist.
* infinitesimal, wenn <math>F^n=0 \colon G\to G^{(p^n)}=((G^{(p)})\dots)^{(p)}</math> für <math>n</math> groß.
* unipotent, wenn <math>V^n=0 \colon G^{(p^n)}\to G</math> für <math>n</math> groß.
Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von <math>F</math> und <math>V</math> ist der Ausgangspunkt der [[Dieudonné-Theorie]].

Beispiele:
* Für konstante Gruppen ist <math>F=\text{id}</math> und <math>V=p</math>.
* Für diagonalisierbare Gruppen ist <math>F=p</math> und <math>V=\text{id}</math>.
* Für <math>G=\mathbb{G}_a</math> ist <math>F</math> der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus <math>\phi_p \colon A\to A</math> für Ringe <math>A=\mathbb{G}_a(A)</math>. (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion <math>\mathbb{G}_m(A)\subseteq\mathbb{G}_a(A)</math> mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: <math>V=0</math>.
* Ist <math>X</math> eine [[abelsche Varietät]] über einem Körper der Charakteristik <math>p</math> (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn <math>{}_FX</math> jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus <math>F \colon X\to Y</math> steht:<ref>Proposition 2.3 in: {{Literatur |Autor=Tadao Oda |Titel=The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules |Sammelwerk=Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4 |Band=2 |Nummer=1 |Datum=1969 |Seiten=63-135 |Online=[http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1969_4_2_1_63_0 online]}}</ref>
::<math>0\to {}_{F^n} X \to {}_{p^n} X \stackrel{F^n}{\longrightarrow} {}_{V^n} X^{(p^n)} \to 0</math>

== Arithmetischer und geometrischer Frobenius ==
Sei <math>X</math> ein Schema über <math>k=\mathbb{F}_q</math>, weiter <math>\bar{k}</math> ein [[algebraischer Abschluss]] von <math>k</math> und <math>\overline{X}=X\times_{\text{Spec }k} \text{Spec }\bar{k}</math>. Der Frobeniusautomorphismus <math>\phi_q\in\text{Gal}(\bar{k}/k)</math> wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus <math>\phi_q^{-1}</math> geometrischer Frobenius. Weil <math>\overline{X}</math> über <math>k</math> definiert ist, ist <math>\overline{X}^{(q/\bar{k})}\cong\overline{X}</math>, und der relative Frobenius ist <math>F_{\overline{X}/\bar{k}}=\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}}</math>. Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)
:<math>\phi_{q,\overline{X}}=(\text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}})\circ(\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}})</math>
Ist <math>G</math> eine [[konstante Garbe]] auf <math>\overline{X}_{\text{et}}</math>, induziert <math>\phi_{q,\overline{X}}</math> die Identität auf der [[Étale Kohomologie|Kohomologie]] von <math>G</math>, so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius <math>\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}}</math> mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente <math>\phi_{q,X}</math> und der geometrische Frobenius <math>\text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}}^{-1}</math> dieselbe Wirkung haben.<ref>Houzel, §2 Proposition 2</ref>

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=Serge Lang
|Titel=Algebra
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=211
|Auflage=3.
|Verlag=Springer
|Ort=New York
|Datum=2002
|ISBN=0-387-95385-X}}
* {{Literatur
|Autor=Michel Demazure, Pierre Gabriel
|Titel=Groupes algébriques. Tome 1
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam
|Datum=1970
|ISBN=978-0-7204-2034-0}}
* {{Literatur
|Autor=Pierre Gabriel
|Hrsg=Michel Demazure, Alexander Grothendieck
|Titel=Exposé VII<sub>A</sub>. Étude infinitesimale des schémas en groupes
|Sammelwerk=Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1962–1964 (SGA 3): Schémas en groupes. Tome 1: Propriétés générales des schémas en groupes
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=1970
|ISBN=978-3-540-05180-0}}
* {{Literatur
|Autor=Christian Houzel
|Hrsg=Luc Illusie
|Titel=Exposé XV. Morphisme de Frobenius et rationalité des fonctions L
|Sammelwerk=Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois-Marie 1965-66 (SGA 5): Cohomologie l-adique et Fonctions L
|Reihe=Lecture Notes in Mathematics
|Band=589
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=1977
|ISBN=3-540-08248-4}}

== Fußnoten ==

<references />

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber]]

Frobeniushomomorphismus - Versionsgeschichte

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