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2024-10-15T08:39:24Z

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Unter einer '''Frobeniusgruppe''' (nach [[Ferdinand Georg Frobenius]]) versteht man in der [[Gruppentheorie]], einem Teilgebiet der [[Algebra]], eine [[endliche Gruppe]] <math>G</math>, in der eine [[Untergruppe]] <math>1 \subsetneqq H \subsetneqq G</math> existiert, welche die Eigenschaft <math>\forall\, g \in G\setminus H: H^g \cap H = 1</math> besitzt (Wobei <math>H^g</math> definiert ist durch <math>H^g:=\{ g^{-1} h g | h \in H \}</math>).

Eine solche Untergruppe nennt man dann ''Frobeniuskomplement''.

Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Struktur von Frobeniusgruppen spielt der sogenannte Frobeniuskern, welcher durch

:<math>K := \left(G\setminus\bigcup_{g \in G}H^g \right) \cup \left\{ 1\right\} </math>

definiert ist. Genauer spricht man dann von dem ''Frobeniuskern'' in <math>G</math> bezüglich des Frobeniuskomplementes <math>H</math>.

== Struktur von Frobeniusgruppen ==

Der Satz von Frobenius über Frobeniusgruppen besagt, dass <math>K \le G</math> gilt. In der Tat ist sogar <math>K \triangleleft G</math> und es gilt <math>G = HK</math> als [[semidirektes Produkt]]. Ferner sind <math>H, K</math> [[Hallsche Untergruppe|hallsch]] in <math>G</math> und für je zwei Frobeniuskomplemente <math>A, B</math> von <math>G</math> gibt es ein <math>g \in G</math> mit der Eigenschaft <math>A^g \le B</math> oder <math>B^g \le A</math>.

== Struktur ohne Darstellungstheorie ==

Der oben erwähnte Satz von Frobenius lässt sich bis heute nur mit Mitteln der [[Darstellungstheorie endlicher Gruppen|Darstellungstheorie]] beweisen. Daher ist es aus heutiger Sicht interessant, einen Beweis auf ausschließlich gruppentheoretischer Ebene zu erbringen. Dies ist bisweilen noch nicht geglückt, doch es sind Teilbeweise erfolgt, welche die Untergruppeneigenschaft von <math>K</math> unter stärkeren Voraussetzungen nachweisen. Gilt eine der folgenden Eigenschaften, so ist <math>K \le G</math>
* <math>\left| H \right| \equiv 0 \mod 2 </math>
* <math>H</math> ist auflösbar
* <math>\exists\, 1\neq D \triangleleft G: D \subseteq K</math>
* <math>\exists\, 1\neq D \le G: H \le N_G(D)</math>
* <math>\exists\, h \in H^\#\, \forall\, g \in G: \left\langle h, h^g\right\rangle </math> auflösbar
* <math>G</math> ist nicht [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfach]]
* <math>\exists\, 1 \neq D \le G: D \subseteq K \; \wedge\; \pi(D) \neq \left\{2\right\} \;\wedge\; N_G(D) \cap K \neq N_G(D)</math>
* <math>\exists\, L \le G\, \exists\, l \in L\cap K: L</math> auflösbar <math>\;\wedge\; L\cap K \neq 1 \;\wedge\; L\cap K \neq L \;\wedge\; o(l) \equiv 1 \mod 2</math>
All diese Ergebnisse lassen sich ohne Zuhilfenahme der Darstellungstheorie erzielen. Man beachte, dass die ersten beiden Aussagen mit Hilfe des [[Satz von Feit-Thompson|Satzes von Feit & Thompson]] bereits liefern, dass <math>K</math> immer eine Untergruppe ist. Der Satz von Feit und Thompson besagt, dass Gruppen ungerader Ordnung stets auflösbar sind. Ist also die Ordnung einer Frobeniusgruppe gerade, so liefert Punkt 1 <math>K \le G</math>, anderenfalls ist die Ordnung ungerade, so dass nach Feit-Thompson die Gruppe auflösbar ist, so dass Punkt 2 <math>K \le G</math> ergibt.

Allerdings wird auch dieser Satz unter Zuhilfenahme der Darstellungstheorie bewiesen, so dass er in diesem Zusammenhang nicht benutzt werden kann.

== Beispiele ==
* Die [[symmetrische Gruppe]] vom Grad 3 ist eine Frobeniusgruppe. Dabei kommen drei verschiedene Frobeniuskomplemente in Frage, nämlich jeweils <math>\left\langle \tau\right\rangle</math> für <math>\tau \in \left\{(12), (13), (23) \right\}</math>, die drei [[Vertauschung|Transpositionen]] der Gruppe. Der Frobeniuskern ist dann jeweils die [[alternierende Gruppe]] <math>A_3</math>.
* Die Gruppe der invertierbaren <math>2 \times 2</math>--Dreiecks[[Matrix (Mathematik)|matrizen]] mit [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] 1 über einem endlichen [[Körper (Algebra)|Körper]] mit <math>\left|K \right| \ge 3</math> ist eine Frobeniusgruppe. Dabei ist die Untergruppe der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]] das Frobeniuskomplement und die Gruppe der strikten Dreieckmatrizen (in der [[Hauptdiagonale]] nur Einsen) ist der Frobeniuskern.

== Quellen ==
* Paul J. Flavell: ''A Note on Frobenius groups'', Journal of Algebra 228, S. 367 ff. ([https://web.mat.bham.ac.uk/P.J.Flavell/research/start.html pdf-File])
* [[Nathan Jacobson]]: ''Basic Algebra II''. S. 317 1980 W. H. Freeman and Company ISBN 071671079X.

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]
[[Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber]]

Frobeniusgruppe - Versionsgeschichte

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